函数值域的求法_分类例析函数值域的常用求法

　　函数知识是高中数学的重要组成部分。一般地，函数y=f(x)由定义域、解析式、值域三部分组成，如何正确求值域是重点与难点。本文介绍几种常用方法，供读者参考。　　1.定义法
　　在函数y=f(x)中，给定一个x的值，有唯一的函数值y与之对应，所有y值的集合叫函数的值域。
　　例1已知函数f(x)=y=x2+1，x∈{-2,-1,0,1,2}，求值域。
　　解析：本题中函数表达式已知，自变量x有5个值，与之对应的y值有5个，即5，2，1，2，5。
　　用集合知识，所求值域为{5,2,1}。
　　2.配方法
　　先将函数解析式配方，用二次函数图象，求出函数值域。
　　例2已知函数f(x)=y=-x2-3x+1，x∈(-2,1］，求函数f(x)的值域。
　　解析：y=-x2-3x+1=-(x+32)2+134，对称轴x0=-32∈［-2,1)，
　　ymax=134,ymin=-3，所以值域为［-3,134］。
　　3.观察法
　　先将函数等价变形后，观察表达式，得到值域。
　　例3函数y=2x-3x+1的值域为______。
　　解析：y=2x-3x+1=2x+2-5x+1=2-5x+1，
　　因为5x+1可正可负不为0，故y≠2。
　　4.基本不等式法
　　对形如y=ax+bx(a,b∈[WTHZ]R[WTBX]+)的函数，使用基本不等式，可求出值域，但一定要注意使用条件：一正、二定值、三相等。x+1x2-x+2的值域。
　　分析：由x∈[WTHZ]R，有yx2-(y+1)x+2y-1=0。
　　①当y=0时，x=-1；
　　(y+1)2-4y(2y-1)≥0。
　　②当y≠0时，Δ≥0有-7y2+6y+1≥0,
　　解之，得-17≤y≤1且y≠0。
　　由①及②知，-17≤y≤1。
　　6.导数法
　　对高次函数或含logax,ax的函数，可采用导数方法求最值与值域。其一般步骤是：求导y′；令y′=0，求出极值点并列表，求极值；比较极值与端点值求出最值。
　　7.单调性法
　　先考虑函数的定义域，观察随着x的变化，y值的变化情况，判定函数的单调性，用增（减）函数的性质求值域。
　　例5求y=2x-3-x的值域。
　　解析：由3-x≥0，有x≤3，
　　易知，y在(-
　　䥺SymboleB@,3］上是增函数，所以y≤6。
　　8.数形结合法
　　对已知f(x,y)=0，求υ=φ(x,y)的值域，可利用已学知识采用数形结合的方法，求υ的值域。
　　（作者单位：湖南省桃江县第一中学）