矩阵的秩怎么数 七矩阵的秩数

矩阵的秩数

1 矩阵的秩数的定义

零矩阵的秩数规定为零；对于非零矩阵，规定其非零值子式的最高阶数r为其秩数。A的秩数记为R(A)。

2 主要结论

（1）初等变换不改变矩阵的秩数。

（2）R(AT)R(A)。

（3）R(AB)R(A),R(AB)R(B)。

（4）R(AB)R(A)R(B)n，n是A之列数与B之行数。

（5）R(AB)R(A)R(B)。

（6）设A为mn矩阵，B为np矩阵，且AB0，则R(A)R(B)n。

（7）若P，Q均为可逆矩阵，则R(A)R(PA)R(AQ)R(PAQ)。

（8）设A为n阶方阵，则A可逆的充分必要条件是R(A)n。

例 题

1

2 （1）求矩阵3221343416022013的秩数。 42

（2）设A为mn矩阵，B为nm矩阵，且mn，证明AB0。

1

1 （3）设A

1k11k11k11k1，且R(A)3，求k。 11

（4）设A为n阶方阵，则

n,R(A)n

*R(A)1,R(A)n1 0,R(A)n1

a

 （5）设Ab

bbabbb，R(A*)1，求a,b的关系。 a

2

4

63t，且AB0，则 91（6）设A为3阶非零方阵，B23

A t6时A的秩必为1； B t6时A的秩必为2； C t6时A的秩必为1； D t6时A的秩必为2；

（7）设A为3阶方阵，且A2E，但AE。证明R(EA)与R(EA)必有一个是1，而另一个是2。

作 业

a

 1 设A1

11a111。（1）当秩A=2时，求a。（2）求A的秩数。 a

2 设A为n阶方阵，证明R(A)R(EA)n。 3 设A为n阶方阵，且A2A2E，证明R(2EA)R(EA)n。

1

4设A为3阶非零方阵，B2

31241t，且R(AB)1，则 5

（1）t2时A的秩必为1； （2）t2时A的秩必为2；

（3）t2时A的秩必为1； （4）t2时A的秩必为2；

注：第６次作业中第６题的第２小题中Ｂ改为Ｘ