[透析与0有关的两个争议问题] 糖尿病患者的透析问题

　　摘要：本文以位数和数位的定义为基础，从十进制计数法的位值原则和位数公式及整数的内部规律等视角阐述“0不是一位数”。通过分析整除、因数、倍数和偶数的定义，明确了要讨论“最小的偶数”，主要看研究的范围。这样解决了长期困惑小学教学的两个争议问题：“最小的一位数是几”与“0是不是最小的偶数”。
　　关键词：小学数学；自然数；整数0；一位数；偶数
　　中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568(2012)25-0151-03
　　去年某区一年级期终考试的试卷上出现一道与“0”有关的填空题：“最小的一位数是（ ）”，五年级的试卷上也有类似的问题：“最小的偶数是（ ）”，答案在教师之间引发了很大的争议，一时间无法定论。笔者现针对“最小的一位数是几”与“0是不是最小的偶数”这一问题进行了讨论。
　　一、最小的一位数是0吗
　　在网上搜索“最小的一位数”，网友的主要观点有三种：①在正整数范围内，最小的一位数是1；②在自然数范围内，最小的一位数是0；③在整数范围内，则最小的一位数是-9。果真如此吗？其实不然。笔者认为无论在正整数范围内，在自然数范围内，还是在整数范围内，最小的一位数都是1。
　　下面从位数和数位的定义开始讨论。
　　位数与数位的区别。从文献上看，研究者在讨论“位数”的定义时都是指“整数位数”。实际上，在小学数学中“位数”有整数位数和小数位数之分。人们在表述“位数”时，通常是指“整数位数”，这是一般意义上的“位数”。
　　“小数位数”的意义与作用。小数位数是指一个小数的小数部分的位数，与小数的整数部分的位数无关。一个小数的小数点右边有几位，我们就说这个小数是几位小数。表述时，一般说几位小数，比如：0.3、7.5是一位小数，15.02、0.98是二位小数，200.4016是四位小数。
　　小数位数的作用，主要是应用于小数的四则运算，在小数乘法中作用比较大。一是在小数乘法中确定积的小数位数，也就是小数乘法中积的小数点的定位问题。二是用小数位数来判定一个小数是有限小数还是无限小数。
　　“整数位数”的意义与作用。整数位数的意义，指一个整数的位数。整数位数的主要作用是比较整数的大小，在同一进位制中，位数多的数比位数少的数大。所以有研究者认为：“一个正整数的‘位数’所蕴含的本质属性是‘大小关系’。”
　　位数的定义。事实上，“位数”的定义与“计数法”有关。在十进制计数法中数“8”是一个一位数，而在二进制计数法中就写成了(1000)2，是一个四位数。通常所说的“一个数是几位数”的前提是十进制计数法，除非特别注明。
　　在《小学生数学词典》中，位数：指一个数用几个数字写出来（最左端的数字不能是0），有几个数字就是几位数；或者说一个自然数含有几个数位，就是几位数。在《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页是这样叙述的：通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。
　　数位的定义。很明显，在“位数”的定义中都涉及到“数位”，“数位”的定义是比较清楚的。《小学教师之友（数学卷）》认为：应用位值原则记数，各个不同的计数单位所占的位置叫做数位；一个数中每个数字所占的位置叫做数位。
　　1.最小一位数是不是0？要弄清楚这个问题，首先要弄明白“0是不是一位数”。
　　（1）“一位数”的定义排除了“0是一位数”。郭乃光在《最小的一位数是“0”还是“1”》一文中说到，在自然数理论中对“n位数”的定义：“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数，叫做两位数……，所以在一个数中数字的个数是n（其中最左端的一个数字是有效数字），这个数就叫n位数。”百度百科：“含有一个数位的数是一位数，含有两个数位的数是两位数……”这种定义是过去老教材普遍采用的，《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页上说，例如：2含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。
　　可见，从“一位数”的定义中就排除了“0是一位数”。因为在前面“位数”和“一位数”的定义中都加上“不是0”予以限制，在“几位数”的定义中都要加上“最左端的数字不是0”这个限制条件。如果没有这些限制条件，0是一位数，由此可推出00是两位数，000是三位数。而它们的结果都等于同一个值“0”，这样就会出现同一个数“0”可以用任意几位数表示的结论。同样5是一位数，05是两位数，005是三位数，同一个数“5”可以用任意几位数表示的结论。如果这样“位数”这个定义显然就失去了存在的必要性。因此，在十进制计数法里有这样一个重要的规定：“一个整数的最高位不能是0”。按照这个规定，0是一个没有位数的数，即0无位数，当然也不能说0是0位数。
　　（2）“0是一位数”不符合十进制计数法的位值原则。位值原则是十进制计数法的最重要的一条原则，因为同一数字在不同的数位上表示不同的数值。这就是说，记数时，每个数字除了它本身所表示的数值以外，还带上一个“位置值”，这就是记数的位值原则。
　　从位值原则可以看出，0不是一位数。因为0表示一个物体也没有，在十进制计数法中仅仅是“空位”的一个表示符号，起到占有数位的作用。如3005就表示里面有3个千，5个一。“00”分别表示这个数的十位、百位都是空位，通常不说成0个百、0个十。事实上，我国古代筹算数码中一开始并没有“0”，“遇零则置空”。比如“┴ ╥”就表示“6007”。这样由于数字中没有“0”，很容易发生错误，所以后人把铜钱摆在空位上，以免弄错。可见，在多位数中“0”只是占位，不会带上“0”所在的数位的“位置值”。但当0单独存在时，既不能显示出某个数位，也不表示某个计数单位。
　　（3）位数公式也无法算出“0是一位数”。我们知道，对于任意一个十进制的正整数n，它的位数都可表示为：[log10n+1]，其中[x]是高斯函数，代表不大于x的最大正整数。比如：8是一位数，425是三位数。显然人们无法用位数公式来计算0的“位数”，因为位数公式[log10n+1]对于“0”无法适用。换句话，用位数公式也算不出0的“位数”。