二元极限函数的一致收敛性1|一致连续 积分收敛 极限为0

第! " 卷第#期! , , -年. ! 月

阜阳师范学院学报$自然科学版%

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二元极限函数的一致收敛性

杨

翠

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安庆师范学院数学系*安徽安庆$

摘

要C 从课堂教学的角度出发*讨论了二元函数极限D 含参量广义积分D 函数列D 函数项级数一致收敛的概念和相

从而加深学生对一致收敛性的概念和相关性质的理解) 关性质的统一*

关键词C 一致收敛E 函数列E 含参量的广义积分E 二元函数E 函数项级数中图分类号C G . F .

文献标识码C H

文章编号C . , , #I #" ! J $! , , -%, #I , , ! -I , !

在K 数学分析L 的教学过程中*一致收敛性是一个非常重要的性质*但是这些一致收敛性很分散*主要有含参变量的广义积分的一致收敛性D 二元函数极限的一致收敛性D 函数列的一致收敛性D 函数项级如果将这些知识点单一D 孤立的传数的一致收敛性)

授给学生*很难被学生完全消化吸收*也很难让学生将这一知识点融会贯通) 函数列D 函数项级数D 含参变量的广义积分都有一个共同的特点*即它们可以相应地看成二元函数或离散的二元函数*可以通过二元函数极限的一致收敛性将这些一致收敛性的定义和相应的性质统一起来)

. I #N . 二元函数一致收敛的概念M

列c P e *P $O %f ‘$O *d d aT U 每一个函数序列‘d P %在Q 上一致收敛到V $O %) d

利用这个准则*就可将连续性的问题转化为序列$离散的%的问题了)

! 一致收敛的二元函数的性质

定理. 连续性%设XP W M $S *T U%*‘$O *P %关于O 在Q 上连续*且P aT U 时‘在Q 上$O *P %

一致收敛于V 则V $O %*$O %在Q 上连续)

定理! 可积性%XPW M $S *TU%*‘$O *P %设*关于O 在Q 上连续*当P 在Q aT U 时*‘$O *P %上一致收敛于V 则V 在任一含于Q 的闭区间$O %*$O %上可积*且XM 有g *h N i Q*

定义. 设二元函数5定义在QR M $O *P %S *T

上*若存在函数V 使得XY U%$O %*O W Q*Z , *[\对于任意OW Q*都有Z , 当PZ \时*

]5$O *P %^V $O %]_Y *$. %则称二元函数‘当P aT U 时在O W Q 上一$O *P %致收敛到V 记作$O %*

5$O *P V $O %*PaT U

关于二元函数的一致收敛*有下述两个重要准则C

准则. $=30:; 6准则%二元函数‘$O *P %当P aT U 时在O W Q 上一致收敛的充要条件是XY Z 对于任意OW Q*都有, *[\Z , 当P *P b Z \时*

]5$O *P %^5$O *P b %]_Y

准则! 使$. %式成立的充要条件是对任何序

收稿日期C ! , , -I , #I ! ,

OW Q

j

g

h

V $O %k Of (@l

P a T U

5$O *P %k O

j

g

h

该定理指出C 在一致收敛的条件下*‘$O *P %中两个独立变量O 与P 在分别求积分和极限时*其运算顺序可以交换*即

P a T U

(@l

5$O *P %k Of @l 5$O *P %k O

j j (

g

a T U g P

h h

定理" 可微性%设二元函数‘$$O *P %定义在上*若当P aT U 时O QR M S *U%$O *P %, W Q 为‘

的收敛点*‘$O *P %关于O 在Q 上有连续的偏导数*

当P 在Q 上一致收敛*则‘aT U 时‘$O *P %$O *P %O 当PaT U 时的极限函数有连续的导函数*且

$(@l 5$O *P %%f (@l 5$O *P %a T U P a T U m k O P O

作者简介C 杨翠$女*硕士研究生*助教) 研究方向C 应用偏微分方程) . J n , ^%*

V X

阜阳师范学院学报$自然科学版’第81卷

该定理指出! 在一致收敛的条件下" #$%" &’中两个独立变量%与&在分别求导数和极限时" 其运

即算顺序可以交换"

$)*+#$%" &’’/) *+#$%" &’, -. &, -. 0(%&%

定义用二元函数一致收敛性的定义来统一7含参量广义积分一致收敛的定义用二元函数一致收敛的定可积性和可微性定理对于一致收敛的含参量广义积即得一致收敛的含参量广义积分的分也是成立的"

连续性I 可积性和可微性定理7

情形8函数列的一致收敛性与二元函数一致

收敛性的统一

对于函数列J 利用准则8即可将连续型5$%’L " K

的问题与离散型的问题相互转化" 从而将定义2用到离散型的二元函数H $%" K ’/5$%’上就是函数K 列的一致收敛性的定义7即

设二元函数H 定义$%" K ’/5$%’$K /2" 8" M’K

在9:; 上" 若存在函数=使得4" -.’$%’" %>9" 当K 对于任意%>9" 都?@A B " CD A B " A D 时" 有

相应地" 二元函数一致收敛的连续性I 义统一之后"

1一致收敛性在教学中的统一

情形2含参量广义积分的一致收敛性与二元

函数的一致收敛性的统一

首先" 分析含参量广义积分敛性的定义7

一致收%" 6’(6

35$

4-.

定义8设函数5定义在9:; $%" 6’4" -.9" A B " CD A 使当EA D 时" 对于任意%>9" 都有B "

5$%" 6’(6F =$%G @"

则称含参量广义积分在%>9上一致%" 6’(6

35$

4

-. 4

E

收敛到=$%’7

%" 6’(6

35$

4

-.

H $%" &’/

就可以将含参量广义积分一致收敛性的定义用该二元函数的定义来代替" 即

&4

的一致收敛性的定义" 这样" 5$%" 6’(6

3

4

&

5$%’F =$%G @" K

则称5当K $%’$K /2" 8" M’, . 时在%>9K

上一致收敛到=$%’7

相应地" 也可以得出一致收敛的函数列的性质" 即定理2对函数列也是成立的" 从而得到一致收敛N 1

的函数列的连续性I 可积性和可微性定理7

情形1函数项级数的一致收敛性与二元函数一致收敛性的统一

.

设二元函数5定义在9:; $%" 6’(64" -.’上" 若存在函数=使得?@$%’" %>9" A B " CD A B 当&AD 时" 对于任意%>9" 都有

5$%" 6’(6F =$%G @"

则称二元函数5当&,-. 时在%>9上%" 6’(6

3$

4&4&

3

对于函数项级数O P 其一致收敛性指的$%’" K

K /2

K

就是它的和函数Q $%’/K

%’的一致收敛性" O P $

R

R /2

.

则它的一致收敛性即为函数列的一致收敛性" 该情形归结到情形8从而函数项级数O P " $%’的一致K

K /2

收敛性的定义也可由二元函数的一致收敛性定义来统一" 相应的连续性I 可积性和可微性也可由定理2N 1得出7

一致收敛到=$%’7

事实上" 可以将含参量广义积分一致收敛性的

参考文献

数学分析; 北京! 高等教育出版社" ; 2

数学分析纵横谈; 北京! 北京大学出版社" 72U U 2! 2W T N 2V U 7; 8

数学分析; 北京! 高等教育出版社" 72U U U ! 1W U N 1T 27; Y

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二元极限函数的一致收敛性

作者：

作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

杨翠， YANG Cui

安庆师范学院,数学系,安徽,安庆,246011

阜阳师范学院学报（自然科学版）

JOURNAL OF FUYANG TEACHERS COLLEGE(NATURAL SCIENCE)2006，23(4)0次

1. 华东师范大学数学系 数学分析 20012. 沈燮昌. 邵品琮 数学分析纵横谈 19913. 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 19934. 陈纪修. 於崇华. 金路 数学分析 1999

1.期刊论文 张国才. ZHANG Guo-cai 函数列局部一致收敛的条件 -聊城大学学报（自然科学版）2001,14(4)

给出了函数列局部一致收敛的充要条件,并对其局部广义一致收敛、局部亚一致收敛的条件进行了刻划.

2.期刊论文 刘彬. LIU Bin 用定义判别函数列一致收敛的一个注释 -渝州大学学报（自然科学版）2001,18(2)

从函数列一致收敛的定义出发,得出了定义判别法的另一种形式.用该法判别函数列的一致收敛性时,避开了定义判别法中寻求N的工作,从而在某些方面简化了定义判别法.

3.期刊论文 陈鹏. CHEN peng 函数列一致收敛的一个充分条件和正项级数收敛的一个充要条件 -雁北师范学院学报2005,21(2)

给出了有别于现行的数学分析教材中的函数列一致收敛的一个充分条件及其证明,由此得到相关的结论.

4.期刊论文 傅湧. FU Yong 有界闭区间上连续函数列一致收敛的充要条件 -大学数学2007,23(3)

判别函数列一致收敛的方法有函数列一致收敛定义、Cauchy一致收敛准则、limn→∞supx∈D|fn(x)-f(x)|=0及Dini定理,本文由函数列的等度连续性,可得出几个有界闭区间上连续函数列一致收敛的充要条件,推广了Dini定理.

5.期刊论文 张纪平. ZHANG Ji-ping 函数列一致收敛的一个充要条件 -泉州师范学院学报2008,26(6)

一致收敛的判别法对于函数列分析性质非常重要,Dini判别法是常见的判别方法,但它要求的条件相当强,不具普遍性,文章从点列角度出发给出函数列一致收敛的一个充要条件,并举例阐述其对判断是否一致收敛的有效性.

6.期刊论文 徐丽. XU Li 函数列一致连续和一致收敛及等度连续的关系 -上海电力学院学报2007,23(3)

连续、一致连续、一致收敛和等度连续是函数或函数列非常重要的性质.针对收敛的函数列,探讨了一致连续、一致收敛和等度连续两两之间的关系,并在有界区间上给出了一致连续、一致收敛和等度连续的等价关系.

7.期刊论文 马雪雅. 齐晓波 函数列的收敛与一致收敛 -昌吉学院学报2006,""(3)

本文通过收敛与一致收敛的概念研究,用函数列的收敛与一致收敛关系讨论数学分析中收敛问题,这也为函数列的收敛与一致收敛问题的深入研究提供了一种方法.

8.期刊论文 穆勇. MU Yong 关于函数列一致收敛的一个判定定理 -宜春学院学报2007,29(2)

给出函数列一致收敛的一个判定定理,并对这个定理进行严格的证明.

9.期刊论文 杨曼英 关于函数列收敛与一致收敛的一点思考 -娄底师专学报2004,""(2)

通过定义、定理、正反对比的例题论述了函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛及其之间的关系与差异.

10.期刊论文 曾冠章. ZENG Guan-zhang 一类函数列一致收敛性的研究 -江西科学2009,27(6)

文献[1]研究了形为{fn=(nkxl)/(ensxt)}的函数列一致收敛的几个例子.本文研究形为形式{fn=(nkxl)/(ensxt)}的函数列一致收敛的充要条件,在此基础上进一步研究和推广到这类函数列的导函数列和积分函数列一致收敛的条件.

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下载时间：2010年8月9日