[一道ＩＭＯ竞赛试题的证明]语文竞赛试题
摘要：不等式的证明是历届IMO中的热点问题，而不等式的证明存在着寻找入口难、条件运用难、确定变形方向难等问题，学生普遍感到恼火. 本文从一道第6届IMO试题入手，利用学生熟悉的知识，从多方面考虑，运用多种方法进行证明，从而探求不等式的一般解题思路，使学生能举一反三、触类旁通.
关键词：不等式；IMO试题；证明
不等式的证明存在着寻找入口难、条件运用难、确定变形方向难等问题，尤其是在各级各类数学竞赛中，学生普遍感到恼火. 作者曾在文献中讨论过一道第20届IMO试题的证明，现在从一道第6届IMO试题入手，利用学生熟悉的知识（如均值不等式，实数平方的非负性，比较法），从多方面考虑，运用多种方法进行证明，从而探求不等式的一般解题思路，使学生能举一反三、触类旁通.
例题（第6届IMO）设a，b，c是某个三角形的三边长，求证：
a2（b+c－a）+b2（c+a－b）+c2（a+b－c）≤3abc.
证法1从学生熟悉的证明不等式的方法出发，利用作差来证明.
不妨设0 3abc-［a2（b+c－a）+b2（c+a－b）+c2（a+b－c）］
=（a3－a2b－a2c+abc）+（b3－b2a－b2c+abc）+（c3－c2b－c2a+abc）
=a（ａ－ｃ）（ａ－ｂ）＋ｂ（ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ｃ（ｃ－ａ）•（ｃ－ｂ）
≥b（ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ｃ（ｃ－ａ）（ｃ－ｂ）
≥ｂ（ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ｂ（ｃ－ａ）（ｃ－ｂ）
=b（ｂ－ｃ）2≥0，
所以a2（ｂ＋ｃ－ａ）+b2（ｃ＋ａ－ｂ）+c2（ａ＋ｂ－ｃ）≤3abc.
证法2从学生熟悉的证明不等式的方法出发，利用作商来证明.因为= •=•=•++=•（cosA+cosB+cosC）≤•=1，且3abc>0，所以原不等式成立.
证法3利用学生熟悉的基本不等式（a-b）2≥0来证明.
因为a，b，c是三角形的三边长，
所以a+b－c>0，b+c－a>0，c+a－b>0. 又因为（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，所以（a-b）2（a+b-c）+（b-c）2（b+c-a）+（c-a）2•（c+a-b）≥0，即
6abc－2a2（b+c－a）－2b2（c+a－b）－2c2（a+b－c）≥0.
所以a2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）≤3abc.
证法4排序不等式：设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，又设i1，i2，i3，…，in是1，2，3，…，n的一个排列，则有a1bn+a2bn-1+…+anb1（逆序和）≤a1bi1+a2bi2+…+anbin（乱序和）≤a1b1+a2b2+…+anbn（顺序和）.
排序不等式涉及两个实数组，我们应用排序不等式解题的关键是合理而恰当地构造两个有序实数组.
针对题目条件，不妨设a≥b≥c>0，因为
b（ｃ＋ａ－ｂ）－ａ（ｂ＋ｃ－ａ）＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）≥0，
c（ａ＋ｂ－ｃ）－ｂ（ｃ＋ａ－ｂ）＝（ｂ－ｃ）（ｂ＋ｃ－ａ）≥0，
所以a（ｂ＋ｃ－ａ）≤ｂ（ｃ＋ａ－ｂ）≤ｃ（ａ＋ｂ－ｃ）.
由排序不等式，有
a2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）≤ab•（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂｃ（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃａ（ａ＋ｂ－ｃ）=3abc+ab•（ｂ－ａ）＋ｂｃ（c-b）＋ｃａ（a-c），?摇?摇?摇?摇①
a2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）≤ac•（ｂ＋ｃ－ａ）＋ab（ｃ＋ａ－ｂ）＋bｃ（ａ＋ｂ－ｃ）＝3ａｂｃ＋ａｂ•（ａ－ｂ）＋ｂｃ（b-c）＋ｃａ（c-a）.?摇?摇?摇②
，整理得a2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）≤3ａｂｃ.
证法5我们知道，对于任意的两个实数a，b，总存在实数t，使a=b+t. 在证明不等式的时候，它可发挥奇妙作用，可将不等关系化成等量关系，使证明简化. 由对称性可设a≥b≥c>0，令a=c+p，b=c+q（p≥q≥0），则
3abc-［ａ2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）］=a（ａ－ｃ）（ａ－ｂ）＋ｂ（ｂ－ｃ）（ｂ－ａ）＋ｃ（ｃ－ａ）•（ｃ－ｂ）=（c+p）（p-q）p+（c+q）q（q-p）+cpq=［c（p-q）+（p2-q2）］（p-q）+cpq≥0.
所以a2（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ2（ｃ＋ａ－ｂ）＋ｃ2（ａ＋ｂ－ｃ）≤3abc.
“授之以鱼，不如授之于渔.” 通过一道奥林匹克竞赛试题，展开广泛的联想，从不同的角度，不同的结构，不同的关系，进行了充分的挖掘，从而一题多解. 一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系. 它可使学生感受到数学的奥妙无穷，提高他们学习数学的兴趣，开阔他们的视野，启迪他们的思维，从而培养他们的探索能力和创新能力，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.
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