【谈谈数学课堂的学科缺失】 世界数学强国排名

　　一、 什么是数学课堂的学科缺失 　　数学课堂教学既要遵循教学活动的一般规律，又要遵循数学活动的特殊规律，是“教与学对应”和“教与数学对应”的双逻辑建构。任何一个对应处理不好，都不可能产生好的教学效果。所谓数学课堂的学科缺失，简单讲就是课堂教学与“数学”的不对应，即课堂教学的内容、认知、活动、表达等方面不符合数学学科的规定或数学活动的规律，出现知识的、思维的、思想的、方法的错误或者不恰当、不准确，妨碍了学生的数学认知和素质发展。
　　数学走进课堂存在许多中间环节和影响因素，课堂教学与“数学”很好地对应起来不是一件容易的事情。由数学教育的双逻辑模型（图1）可以看出，教师的数学知识和经验、教育取向的数学哲学、教育数学、教育取向的数学史构成了“教与数学对应”的中介，这些中介因素直接影响并指导课堂的数学活动，使得数学核心价值和思维方式正确地、适当地体现在课堂预设和师生活动中。教学论、课程论、学习论、教育技术是“教与学对应”的中介，能够使得课堂的数学活动符合学生心理规律、符合教学规律，体现恰当的教育性。由此，数学课堂的学科缺失可以分为三类。
　　1.缺失正确的数学知识和经验
　　例如，如果教师对知识点本身认识不足，就可能传递错误的数学信息，使学生的意义建构发生错误，形成不良的知识结构或数学观念。
　　2.缺失“教与数学对应”的整体理解
　　例如，如果教师对知识点本身认识正确，但缺少数学哲学的知识，就可能肤浅地、片面地引导学生的数学活动，使数学课堂缺少数学思想、数学精神，从而压抑学生的数学学习兴趣，影响数学观和科学人文素养的形成和发展。
　　3.缺失“教与学对应”因素的恰当配合
　　例如，如果教师的数学认识充分足够，但缺乏教的有效知识，就可能把课堂组织得一团糟，学生“吃不了，吃不好，吃不饱”，课堂不能促进学生的认知发展，失去应有的教育功能。
　　二、 从实例看数学课堂的学科缺失
　　1.概念辨析缺失数学的本质
　　【案例】分式
　　生：如果我写一个式子X/2X，约分之后是1/2，它还叫分式吗？
　　师：大家能想到这一点非常好。初中课本中避开了这个问题，没有谈到一个式子用加减乘除的符号来表示，或者说m/n＋n/m是不是一个分式。实际上这样的式子也叫分式，中间用加减乘除的符号连接，即使它没有化简过，它也叫分式。
　　【解析】一个代数式是不是分式，要看它的特征是否符合分式定义，而不是看它的运算结果。教师自己被“约分”搞糊涂了，忘掉了分式的本质属性，混淆了“式的运算”和“含有运算符的式”两个不同的概念，还错误地把m/n＋n/m这样的“用加减乘除的符号连接”的式子解释为分式。辨析数学对象，就要辨别它的本质属性和非本质属性，正确使用概念去表示、描述研究对象，偏离数学知识的本质就会造成科学性错误。
　　2.数学探究缺失数学的大观点、大方法
　　【案例】任意角的三角函数
　　教师：锐角的正弦是通过构造直角三角形定义的。如果α是任意角，它的正弦如何定义呢？
　　学生：在终边上随便取一个点，过这个点作垂线，构造一个直角三角形，然后还用刚才的方法求，用那个钝角所对的斜边，不是，是钝角的补角对的斜边，……
　　教师：这个定义还是在三角形里面作的吧，好像摆脱不了锐角三角形。还有没有其他的方法？
　　学生：作直角坐标系，画个圆，过终边和圆的交点，作x轴的垂线，由原来的定义类推一下，就是这条线段的长度和圆的半径的比值。
　　学生：我不太明白，这种定义和刚才的定义有什么区别？
　　教师：还有没有其他的想法？
　　学生：在终边上任取一个点，标上这个点的坐标，用y比作该点到O点的长度，这个定义有正负之分，和原来的定义完全取正数有区别了。
　　教师：这个定义摆脱了锐角三角形、直角三角形。……观察一下，原来锐角正弦的定义是一个比值，现在任意角的正弦也是一个比值，虽然都是比值，但还是有区别的。
　　【解析】从初中的平面三角发展到高中的三角函数，是数学观念从静态的、常量的综合几何走向动态的、变量的分析几何的跨越，对学生来说是一个挑战。这位教师没有介绍研究三角函数必要性的背景知识，没有说明角的推广引起的数学方法的变化，也没有突出锐角正弦定义中的条件和特点，而是直接要求学生下一个新的定义，这对学生来说太不容易了。在下定义的过程中，教师要求学生“摆脱锐角三角形”、“和初中定义有区别”，但对其思想根源却没有引导，学生虽然有探究，但探究总是盲目的、肤浅的，认识不到数学知识本身所隐含的深刻意义。数学探究是问题驱动的，当数学知识的建构涉及到数学思想方法的重大变革时，学生在课堂上很难跨越或者不可能自主地探究，需要教师给予比较明确的思想和观念的指导、帮助。如果教师仅仅盯着知识点的表面信息，忽视了知识发生、发展的大观点、大方法，学生就很难选择、确定数学探究的方法、思路和目标，数学活动的过程体验和意义获得终究是一笔糊涂账。
　　3.学生讨论缺失教师的数学指导
　　【案例】任意角的三角函数
　　教师：令|OP|=1，就得到sinα＝y，cosα＝x，tanα＝y/x。对每一个α，它们的值是唯一确定的，所以它们又是一种函数关系。你能说说它们的定义域吗？
　　学生：应该属于实数范围，因为y可以取到任何实数。
　　学生：x等于任何数都可以，它的定义域是R。
　　学生：由于α的正切值等于y/x，x作为分母是不等于0的，所以它的定义域应该是x≠0。
　　【解析】三角函数的自变量是角α，不是x,y，教师是知道的。但在学生讨论过程中，教师对学生的错误听之任之，没有纠正，没有指导，教师作为学生数学活动指导者的角色和功能没有真正发挥出来。当学生在课堂讨论中出现偏离概念本质、错误使用概念的推理和运算时，教师就不能只做课堂讨论的看客或主持人，要及时地参与讨论，指出错误，纠正错误，使讨论回归到正确的数学意义上来。不然，错误的讨论就会误导、强化学生的错误认识，从而影响以后的问题分析和问题解决。
　　4.素材选用缺失数学认识论、学习心理、课程目标的对应
　　【案例】数学归纳法
　　教师：毕达哥拉斯以及他手下的人研究了“三角数”，……在2500年前研究这个问题，通过归纳猜想得出一个结论，是一件不容易的事情。
　　教师：在数学研究中，特别是跟自然数相关的研究中，如果逐一考查，就会无穷无尽，没办法做完。怎样通过有限步骤来解决无限的问题呢？我们先看一个例子。17世纪大数学家费马提出“无限递降法”。像这样的大家提出一个方法，当然是要解决深奥的问题，他介绍这个方法的时候举了证明是无理数的例子，我们来看他是怎么证明的。……在这个证明过程中，我们对是不是有理数，或者无理数，其实不感兴趣，我讲这个例子是要说明，“无限递降法”的精髓就是循环往复、逐步递进，以至无穷。
　　【解析】数学归纳法教学，使用最多的素材是多米诺游戏。本课教师另辟新径，引入数学史素材，从数学内部挖掘学习资源，创新精神值得鼓励。但是，从数学的演绎体系看，数学归纳法是从数学归纳原理直接得来的，从数学发展史上看，数学归纳原理又是以数学归纳法为思想根源的。因此，数学归纳法是一个近乎公理的方法。公理是人类普遍经验的结果，是不证自明的，公理的学习也应当诉求经验，从数学外部寻找公认的经验事实，在常识和经验的“精微化”过程中获得公理的意义。所以，本课教师从数学内部入手，在认识论上反倒兜了圈子。而且，“三角数”的引入只是说明归纳猜想的意义，“无限递降法”的引入无非想说明无限递推的作用，这些“不容易”的、“深奥”的例子占用了课堂的大部分时间，复杂冗长的推理湮灭了学生的朴素经验，增加了学生的认知负担，并没有给学生带来清晰的归纳法意义。素材是教师教学的资源，也是学生学习的对象和线索，根据课程目标和学生心理对数学素材进行取舍、改造和创新，是教师教学设计的重要工作，素材处理不当，不仅不能增进学生的知识理解，还会降低课堂学习的效率。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　三、 消解数学课堂学科缺失的教师策略
　　数学教师是数学课堂的主导者，是学生数学学习的引导者、帮助者，如果教师缺少正确的数学认识，缺少恰当的教学加工能力和指导能力，就很难保证课堂教学与数学的恰当对应，因此数学教师是保证“教与数学对应”的最主要因素。根据数学教育的双逻辑模型，数学教师可以从以下四个方面提高课堂教学的学科性。
　　1.深化数学知识的本质理解，引导正确的数学判断和推理
　　“不出现科学性错误”是数学课堂的基本要求。尽管数学教师受过专门的数学教育，但对一些基本概念、基本方法往往缺乏深入的理解，尤其对它们的本质、变式缺少本质的、高观点的认识，一旦课堂生成了超出教材的问题，教师就会不知所措、语焉不详，甚至对问题作出错误的引导和解答。数学学科知识是数学教师知识结构的核心部分，也是“教与数学对应”的根本保证。数学教师应加强数学的学习和研究，深化对数学概念、符号、定理、方法、知识结构的本质认识，以及对数学思想、数学活动经验的了解和体认，从而在数学本质上引导学生进行正确的数学判断和推理，保证数学活动的学科特性。根据课堂经验，以下几个方面都是数学教师需要加强的：数学基础和原理，高观点下的初等数学，初等数学和高等数学研究，数学发展史，数学方法论、数学哲学等。
　　2.增强数学文化的认识，提高教师的数学修养
　　波利亚谈“教学的规律”时说，“第一条是：要懂得自己打算教的内容。第二条是：懂得的要比打算教的内容多一些。”消解数学课堂的学科缺失，仅仅保证“科学性”是不够的，还要保证课堂的“数学味”，体现数学活动的思想、精神和文化。这就需要教师增强数学课堂的文化认识，提高自身的数学修养，真正做一个数学“教师”，而不是“教书匠”。数学教师的数学文化修养来自于自己对数学活动的感悟，来自于与他人的数学交流（包括和学生的交流），更重要的还来自于自己对数学哲学、数学史等中介因素的自觉学习和钻研。如果教师具备较好的数学哲学修养，就能洞察课堂数学活动的构成、特点和规律，在数学观、数学思想、数学经验、数学思维等方面切实地指导课堂设计和课堂生成，提高数学课堂的人文精神，避免盲目的、教条的数学交流和教学引导。如果教师具备较好的数学史修养，就能借鉴数学发展和数学创造的历史资源，丰富课堂文化，优化认知路线，提高数学课的情趣和效率。上世纪80年代，英国学者欧内斯特就指出，“一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学。……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议”，徐利治先生上世纪90年代也倡导“数学哲学、数学史与数学教育的结合”，但从目前数学教师的教育和实践来看，这项工作还需要继续努力。
　　3.重视数学课堂的双逻辑建构，增强学科教学法知识
　　数学知识由“学术形态”、“课本形态”转化为“课堂形态”，是数学教师的双逻辑建构结果。为了更好地表征数学，指导数学活动，教师需要很好地了解学生的认知发展阶段、可能的困难、可能的错误、有利的或不利的教学环境，运用“教与学对应”的策略来促进学生的数学认知和数学发展。同样的数学对象，采取不同的教学策略，可能导致完全不同的教学效果，因此“两个对应”的恰当配合也是消解学科缺失的关键。
　　美国学者舒尔曼曾批评一些教学研究没有关注学科知识是如何从教师的知识转化为教学内容的。为此，舒尔曼及其同事提出了教师知识类型的理论框架，其中学科教学法知识就是“为了促进学生理解而使用类比、例子、图示、解释和演示等方法去表征学科知识。”他认为，转化工作主要包括三个阶段：解释阶段要求教师把学科知识的原理、概念和方法区分优先层次，理解学科知识的结构和意义；表征阶段要求教师运用类比、图示、解释等表征方法呈现学科知识；适应阶段要求教师根据学生的能力、经验等来选择、分配各种材料，确定课堂表征形式，满足学生认知的特点和需求。可以看出，舒尔曼的转化三阶段也正说明了“两个对应”的重要意义和方法。
　　多数教师的“教与学对应”处于经验水平，缺少系统的理论指导，缺少细致的多元思考，往往顾此失彼、陷于偏颇。比如，为了激发学生的讨论常常缺失教师的有效指导，为了增加课堂的情趣缺失数学认知的有效表征。因此，提高数学课堂的学科特性，还需要数学教师自觉践行数学教学的双逻辑建构，学习教育教学的一般规律，把握数学教学的特殊规律，多元思考，系统优化，在“两个对应”诸多要素的恰当配合中寻找教与学的最佳方式。
　　4.参与课堂研究，持续提升专业能力
　　消解数学课堂的学科缺失，既有认识的问题，也有实践的问题，但根本上属于教师专业发展的问题。教师的专业发展有多种方式，培训进修、自我反思、集体教研、公开课等都是大家熟悉的方式，都需要数学教师的积极参与和自觉积累。
　　近年来，逐渐兴起的研课活动也显示出良好的专业发展功能，值得借鉴。所谓研课，是指教师导向的课堂研究活动，其直接目的是促进教师的专业发展、提高课堂教学的质量。“一节课包含很多（如果不是全部的话）改进教学必须考虑的重要成分”，研课的过程就是教师根据自己对课堂的感受、经历和需要，运用学科的和教学的理论和经验，对课堂进行思考、批判、改进的过程，研课的主要环节包括：确定研课目标－收集课案－观课－研究－修改设计－总结，在条件允许的情况下，可以重新上课，进一步检验并再认识自己的研究成果。研课可以以小组形式开展，也可以以个体形式开展。为了消解数学课堂的学科缺失，数学教师可以把研课目标定位在“教与数学对应”上，重点研究数学课堂的核心知识、数学思想、教学目标、探究路线、课题引入、例题选用、问题生成、师生交流、媒体配合等，例如：本课的基础知识是什么？核心概念是什么？体现的数学思想和方法是什么？与本课教学有关的知识结构是怎样的？学习的关键点、重点、难点、突破点在哪里？有关的大观点、大方法有哪些？如何进行思维训练？如何培养科学态度和人文精神？
　　参考文献
　　[1] 涂荣豹.论数学教育研究的规范性.数学教育学报，2003，12(4):2-5.
　　[2] 朱凤琴，徐伯华.HPM作为“教与数学对应”中介的理解和认识.数学教育学报，2009，18(3):18-20.
　　[3] [美] 波利亚.怎样解题.北京:科学出版社，1982.172.
　　[4] [英] P.Ernest.数学教育哲学.齐建华，张松枝，译. 上海：上海教育出版社，1998：Ⅵ.
　　[5] 徐利治，王前.数学哲学、数学史与数学教育的结合.数学教育学报，1994，3(1):3-8.
　　[6] 姜美玲.教师实践性知识研究.上海:华东师范大学出版社，2008.15-16.
　　[7] 韩继伟，马云鹏.教师的内容知识是理论知识吗？――重新解读舒尔曼的教师知识理论.中国教育学刊，2008(5):30-32.
　　[8] C.Lewis，R.Perry,J.Hurd.A Deeper Look at Lesson Study (J).Educational Leadership, February，2004:18-22.
　　[9] 徐伯华，涂荣豹.教师个体的研课模式：以“数学归纳法”一课为例.数学教育学报，2010，19(4):1-4.
　　
　　（责任编辑刘永庆）
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文