[向量综合运用的数形结合]向量是数形结合的典型吗

　　向量身具数和形的双重身份，成为了高中数学中各章节知识的媒介，它与各个知识的联系比较紧密.近年对向量自身的考查难度一般不大，只要掌握了平面向量的基础知识就可顺利作答.但一旦涉及与其他知识的结合时，就需要关注其图形的特点.有时数形结合更利于解决问题，以下作简单阐述.
　　一、与三角函数的综合
　　向量与三角的综合最为常见，是高考考查的重点内容之一，一般是以基本的运算为主.但有时需结合图形解决.
　　例题：已知向量==（cosα，sinα），==（2cosβ，2sinβ），==（0，d）（d＞0），其中O为坐标原点，且0＜α＜＜β＜π，
　　（1）若⊥（-），求β-α的值；
　　（2）若=1，=，求△AOB的面积S.
　　解析：（1）∵⊥（-），∴?=，?=（cosα，sinα）（2cosα，2sinβ）=1，∴cos（α+β）=.
　　∵0＜α＜＜β＜π，∴β-α=.
　　（2）如图，
　　||=1，||=2，〈，〉=θ，〈，〉=θ，由图可知θ=β-，θ=-α，且θ，θ∈（0，），由=||cosθ=1，cosθ=，∴β-=，由=||cosθ=，cosθ=，∴-α=，∴∠AOB=β-α=，∴S=×2×1=1.
　　如果忽略了向量的图形特征，求法就不容易找到了.
　　二、与解析几何的综合
　　解析几何基本思想是利用代数方法研究几何问题，是代数与几何的综合运用.而向量也具有集数形于一身的特征，所以两者常常会交汇出现.在中学教学中大家关注的往往是两者数量关系的研究，而忘记了在形上的共同点，忽略了它们的形的作用，从而使解题过程繁琐.实际上如果在学习过程中我们能关注其形的特征，那么在综合运用中就能化繁为简，减少运算.
　　解几中可能出现的向量内容：
　　（1）+=?圳A是MM的中点；
　　（2）?=0?圳PA⊥PB，即∠APB是直角；当与不共线时，?＜0?圳∠APB是钝角；?＞0?圳∠APB是锐角；
　　（3）在△ABC中，给出==，等于已知O是△ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点）；
　　（4）在△ABC中，给出++=，等于已知O是△ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
　　（5）在△ABC中，给出?=?=?，等于已知O是△ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
　　（6）在△ABC中，给出=（+），等于已知AP是△ABC中BC边上的中线.
　　……
　　例题：过双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（c，0）作圆x+y=的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若=（+），求双曲线C的离心率.
　　解析：如果纯粹从数的角度，不作图可这样求解：
　　设P（x，y），则∵=（+），∴E为EP的中点，E（，）.
　　∵E在圆上，且∵⊥，∴?=-1（）+（）=?圯x=c-y=a-
　　∵P在双曲线上，-=1?圯b（c-a+）-a（a-）=ab?圯bc-2ab-=0?圯4e-12e+5=0（e＞1）?圯e=，∴e=.
　　由于运算量较大，有的同学往往无法计算到底，但注意到其图形的特征，作出几何图形，解题过程就可以大为简化.
　　如图，∵=（+）∴E为EP的中点，又O为FF的中点，而E在圆上，且OE⊥EP，∴FP⊥PF，且PF=2EO=a，由双曲线的定义知EP=3a，根据勾股定理得（3a）+a=（2c）.
　　∴e=，所以e=.
　　近年高考对向量的考查难度成下降趋势，我们在复习时需要把握好尺度，在解决向量与代数、三角、解几等交汇问题时，注意运用或创造条件，调整思维方向，作出恰当的图形，运用向量工具简洁地解决问题.