矩形折叠重合图形面积 巧用图形变换求矩形中的面积

　　【摘要】 新课程改革以来,初中几何发生了很大的变化,而图形的变换的适时融入是一大亮点。在平面内,将一个图形经过某种确定的方法转换成另一图形,称为图形的变换。常见图形的变换有平移变换、旋转变换、轴对称变换以及中心对称变换等等。利用图形的变换不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,使图形动起来,让图形更容易操作,在图形的变化中把握不变的几何关系,从而找到解决问题的简单途径。图形的变换能够展现几何图形的内在性质与几何图形的外在美,而围绕图形面积的知识也是近年来考查的热点.而矩形是一个特殊的四边形,对边平行且相等,四个角都是直角,既是轴对称又是中心对称图形,所以近几年有关利用图形变换求矩形面积的题目越来越多,下面我们结合几道例题一起来探索巧用图形的变换求矩形中的面积。
　　【关键词】 图形变换 矩形 面积 平移变换旋转变换中心对称变换 轴对称变换
　　【中图分类号】 G427 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)03(b)-0064-02
　　1 利用平移变换求矩形中的面积
　　在平面内,将一个图形沿着某一个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做图形的平移。平移不改变图形的形状和大小。
　　例1:一块长a米,宽b米的矩形土地被踩出如图所示的三条小路,并且过A、B间的任意一点作AD的平行线,被每条小路截得的线段的长都是2米,问哪条小路浪费的土地面积大？三条小路浪费的土地面积各是多少？
　　解析:如图1所示,若将小路1剪掉,由于其宽度处处为2米,所以可以将剩余的左右两部分重新拼接在一起,组成一个新矩形,设小路1的面积为S1=S原矩形-S新矩形=ab-(a-2)b=2b(米2);用同样的方法可计算出小路2和小路3的面积分别为S2=2b(米2),S3=2b(米2),所以3条小路浪费的土地面积同样大,其面积均为2b米2。
　　【反思】上面的解法需要较强的空间想象力和创造性,这就要求同学们必须有一定的生活常识和实际知识,将实际生活中的土地问题转化为几何问题,通过计算可知,每条小路的面积与小路的弯曲情况无关。
　　例2:如图2,要设计一幅宽20cm,长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩条的宽度比为3:2,如果要使彩条所占面积是图案面积的,应如何设计彩条的宽度(结果保留到小数点后一位)?
　　解析:这类的题目较多,一般可直接、分别表示两部分面积求解,但如果将彩条平移至边缘,则会使问题变得相当简单。可设横、竖彩条的宽度为3x、2x,根据题意可得:(30-4x)(20-6x)=(1-)×30×20
　　从而求出横竖彩条的宽度分别为1.8cm、1.2cm。
　　【反思】通过平移巧妙地把几个分散的几何关系集中到一起,构成新的图形,也同时可以化复杂为简洁,化不规则图形为规则图形,更加一目了然,这样可以省去很多不必要的过程,少走几个弯路,从而达到解题的目的。
　　2 利用旋转变换求矩形中的面积
　　将平面内的某一图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,O叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。若旋转角为180度,则叫做中心对称。
　　例3:如图3,把矩形ABCD绕着点C顺时针旋转角α得到矩形EFCG,设FC与AD交于点H,且AB=4,BC=6求:
　　(1)当α=60°时,求△CDG的面积;
　　(2)当AH=HC时,求△CDH的面积.
　　解析:(1)由旋转性质可知:CD=CG=AB=4,∠DCG=60°,故可判定△DCG为等边三角形,再运用等边三角形的知识求得面积为;(2)可设AH=HC=x,则HD=6－x,又CD=4,在Rt△DCG中,运用勾股定理可求:HC==AH,所以DH=6－=,所以Rt△DCG的面积为。
　　【反思】此题以矩形的旋转为背景主要考查旋转的性质,及等边三角形的判定,勾股定理的相关知识,综合性很强.
　　例4:矩形ABCD,长AD=a,宽AB=b,对角线AC、BD相交于点O,过点O任意画一条直线EF交AD于点E、交BC于点F,如图所示,则图中阴影部分的面积等于___________。
　　解析:因为矩形是一个中心对称图形,对角线的交点O就是矩形的对称中心,所以可将△AOE绕着点O旋转180度到△COF,所以阴影部分的面积就是△BOC的面积,也就是矩形面积的,即阴影部分的面积为ab。
　　【反思】这一道题进行了特殊的旋转变换,也就是中心对称变换,将其中一部分图形改变位置,得到了新的图形关系,从而找到解决问题的简捷途径。
　　利用轴对称变换求矩形的面积
　　如果某一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,这种图形变换叫做轴对称。
　　例5:如图5,将一张长为70cm的矩形纸条ABCD沿着对称轴EF折叠成如图所示的形状,若折叠后,AB与CD之间的的距离为60cm,求折叠后纸片重叠部分的面积.
　　解析:纸条折叠后,我们可以发现重叠部分的图形是由两个相同的等腰直角三角形组成的平行四边形,所以要求重叠部分的面积就转化为求等腰直角三角形的边长,即原纸条的宽度.而由于折叠后对应边的长度不变,所以实际上折叠后纸条的长度比纸条原长度减少了一个纸条的宽度,所以可得纸条的宽度=70cm-60cm=10cm,所以重叠部分的面积=10×10=100(cm2)
　　【反思】此题是一道操作题,考查的是最基本的中心对称图形、轴对称图形和等腰三角形知识,在解答此题时一定要认真思考、并且最好要用纸条动手操作,体会纸条总长度只减少一个AB的长。
　　例6:小红尝试着对矩形纸片ABCD(如图6,AD＞CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图7);再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(如图8)。如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,那么矩形ABCD长与宽的比值为__________.
　　解析:设矩形ABCD的长AD=a,宽CD=b。易知∠A=∠B=∠C=∠D=90°,将矩形ABCD沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上的点F处,折痕为AE,有∠DAE=∠EAB=∠DAB=45°.再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG,有四边形DNMG≌四边形DCEG,∴DH=DG=b,∠DNM=∠C=90°,∠NDG=∠CDG=∠ADC=45°.在△GAD中,∠DAG=∠ADG=45°,∴∠AGD=90°.
　　从而可证△DMN≌△DMG.∴DN=DG=b.Rt△GAD中sin∠DAG=sin45°=∴.即矩形ABCD长与宽的比值为.
　　【反思】这道题里面出现了两次折叠,最近几年矩形纸片折叠的问题在各地的中考试卷中不断出现。由于折叠之中蕴含着轴对称,因此在解这类题目时首先要找出成轴对称的图形,并且运用轴对称的性质对题目进行分析研究。
　　综上我们可以发现,用图形变换求矩形中的面积,此类题目灵活,新颖,解题者除要熟练掌握图形变换和矩形的性质外,还必须有较强的空间想象力、创造力和实际动手操作的能力.所以希望同学们能结合例题认真反思总结,举一反三.下面几题供同学们练习:
　　练习1:如图9,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=6cm,试问将矩形ABCD沿着AB方向怎样平移才能使平移后的矩形与原来的矩形ABCD重叠部分的面积为24cm2？
　　练习2:如图10,在矩形ABCD中,AB=AC=4cm,EF过对角线的交点O,且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是多少?
　　练习3:如图11,矩形ABCD中,AO=BO=10cm,O为AB的中点,EG⊥AO,FH⊥OB,∠EAG=∠FBH=45°,求阴影部分的面积。
　　练习4:把图12的矩形纸片ABCD折叠,B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处如图),已知∠MPN=90°,PM=3,PN=4,那么矩形纸片ABCD的面积为多少？