[探讨高中学生数学解题中的障碍及对策] 如何治疗思维障碍

　　在我国目前的考试制度下，衡量学生对数学知识的掌握情况及数学的应用能力，主要是通过学生的解题来进行，学生数学成绩的往往由学生解题能力的强弱来决定，因此在高中数学课教学中，如何提高学生的解题能力是每个数学教师在教学中的一个重要目标，但如何才能有效提高学生的解题能力又是每个教师感到最头痛的一个问题。
　　本人认为要提高学生的解题能力，作为教师首先要了解影响学生解题能力的主要因素，然后采取有效的对策，对症下药。本人结合平时教学实践中的一些体会，在这里与读者探讨学生在数学解题中普遍存在的几方面主要障碍及对策。
　　1 学生原有数学基础薄弱，知识积累匮乏
　　这类学生，在考试中就算那些只要代入公式就能算出结果或者只要理解概念就会得到答案的题目也拿不到分，因为要用到的公式及概念都忘记了。对于这类学生，首先要解决的问题是通过理解记住有关的概念，公式，定理，结论及方法，并做一些基础的练习以了解公式的应用。因此，教师在教学过程中要注重概念，公式，定理含义的解释，特点的说明，帮助学生进行理解记忆。此外，对于一些对解题有用的结论及方法，教师要注意引导学生去总结并要求学生记住以作解题之用。
　　案例1：在棱长为α正方体ABCD－A1B1C1D1中，连结A1B，BC1BD，A1C1，A1D，C1D可得正四面体A-BC1D，求该正四面体的体积。
　　本例很容易求出正四面体A1－BC1D的体积为13α3。
　　但本例揭示了一种关系：一个正四面体可补形得到一个正方体，所得正方体的棱长是正四面体棱长的22，体积是正四面体体积的3倍。这一关系可作为一个结论要求学生记住，有了这一结论，某些正四面体的问题可转化成正方体的问题去解决，使问题大为简化。
　　例如：已知球的内接正四面体的体积为83，求该球的体积。
　　此题如果用一般方法求解计算较为繁锁，但若用上述关系求解很简单：将该正四面体补形所得正方体的体积为8，故棱长为2，易知该正方体也内接于球，从而球的直径等于正方体的对角长23，半径R=3，∴体积V=43π。
　　2 视野狭窄，缺乏联想，不能从多角度去理解条件和问题
　　理解题意是解题的基础，对于同一个数学式子如果站在不同角度去理解有时可以得到不同意义，从而会引出不同的解法。但很多学生往往只能根据式子的表面形式去理解式子的意义，造成思维单一，如果一种方法行不通则就束手无策。
　　案例2：求函数y=x2+2x+5+x2-6x+10（x∈R）的最小值。
　　对于这个题目，我发现很多学生只根据题目的表面形式局限于函数知识去寻求解法而不会从解几中的距离去理解函数式，因而找不到解题思路或者错误地将其分割成两个独立的二次函数的开平方来求解。但视野开阔的学生会将函数变形成y=（x+1）2+22+（x-3）2+1后。马上将它理解成x轴上的动点M（x，0）到两定点A（-1，2）和B（3，-1）的距离之和，结合图形很容易得到结果ymin=IABI=5。要开阔学生的知识视野，培养学生在解题中的联想能力，作为教师，在教学中应该注意做到下面两点：
　　一是在讲解知识的时候要注意引导学生从多方面去理解知识，例如：对“A是B的充分条件”的理解，很多学生都能理解到“若A成立则B也成立，即AB”这一含义，但为了开阔学生的视野，教师还可以从集合的角度去说明A与B的关系：可将A，B分别作为集合，根据子集的概念很容易推出AB。这样，以后学生在判断充分条件的时候也可以利用集合的包含关系去判断，有效地扩展学生的解题思路。二是讲解例题时注意一题多解。注意引导学生对条件式和待求式进行引伸联想。
　　案例3：设实数x,y满足x2+y2=4，求μ=y-x的最大值和最小值。
　　对于这个题目，教师可先从代数的角度去分析，发现很难找到思路。然后再引导学生从几何的角度去理解条件和问题。对于条件x2+y2=4可理解为一个以原点为圆心，2为半径的圆周。而μ=y-x可理解为一条直线ι方程，而μ就是该直线的截距。从而很容易想到是线性规划的问题.当直线ι与圆相切时，由图一可知μ的值就最大或最小（如图）。容易求出当 与圆相切时方程为y-x=±22，从而得μ的最大值22，最小值为-22。此外，对于圆的方程x2+y2=4，还可以联想到它的参数方程x=2coaα y=2sinα。则μ=2coaα—2sinα=22sin（α－π4），从而得μ的最大最小值分别为22和-22。
　　3 知识网络不完善，思路爱阻或解题过程被迫终断
　　数学科本身具有严密的逻辑性和很强的系统性，各部分的内容有着密切的联系。一些综合性较强的题目的解答往往需要动用到很多方面的知识。当学生对其中的某方面知识存在欠缺时解题就被迫中断而解不下去。
　　案例4：在半径为10的球面上有三点A，B，C。A若AB=8，BC=7，AC=5，求球心O到面ABC的距离。
　　本题解题思路并不难，只要求出过A，B，C三点的截面⊙O1的半径 ，则球心O到面ABC的距离即为d=R2-r2。但这里除了用到球的性质外还要用到解斜三角形和求三角形外接圆的直径等知识。在练习中我发现大部分学生都能找到解题思路，但部份学生在求截面的半径时补卡住了。我们的学生中有相当部份对高中数学的各部份内容掌握得不够完善，在解题过程中往往爱阻，针对这种情况，教师在备课中对将要讲授的内容，要细致地分析其与前、后内容的关系，在授课中要做到承前启后，对前面的有关知识，要求学生根据自身的具体情况作适当复习。同时还要有预见性，要充分估计学生在学习或练习中将会遇到哪些障碍，从而有效地作些铺垫或复习，帮助学生打通关卡。所授内容对以后的哪些内容有什么样的影响要做到心中有数，在设计练习时要适当为后面相关内容的学习作好铺垫。例如：在三角函数中"函数y=sin（ωx+）的图象"这一内容主要是介绍由y=sinx的图象如何变换出y=sin（ωx+）的图象。而变换的依据是函数图象的初等变换。但课本只是通过例子观察得出变换方法，学生对此只知其言而不知其所以言，不知道这种变换的依据是什么，对这种变换的掌握只能停留在死记硬背，生搬硬套的水平，从而不能灵活应用，如果要由y=sin（2x+π3）的图象变换得 y=sin（2x+π6）的图象就很容易出错了。对此，我在讲授这个内容前，先适当帮学生复习一下有关函数学图象的初等变换的知识（这个内容已在讲授函数时补充讲过），这样学生就可以从理论上懂得这种变换的依据，从而能灵活运用。
　　4 缺乏基本的数学思想方法，数学意识淡薄，找不到解题思路
　　数学思想方法，数学意识是解题思路的向导。有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿例题求解，对一些没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这往往就是因为缺乏数学思想方法和数学意识落后造成的。
　　案例5：某厂生产某种电子元件，如果生产一件正品，可获利200元，如果生产一件次品，则损失100元。已知该厂生产次品率 与日产量x的关系为p=3x4x+32，求该厂为了使日利润额最大，应该怎样确定日产量？
　　对于这类题目，相当部分学生感觉到无从下手，原因是脑子中没有形成函数思想，不懂得从函数方面去寻找思路。如果学生形成了函数思想，理解题意后会很快想到利用函数的最值求解，以日产量x为自变量，利润额y作为函数建立函数模型y=200（1-p）x-100px=200x-300px=200x-900x24x+32，（x＞0）。这样就转化成函数y=200x-225x2x+8的最大值问题了。利用导数方法容易求得y=16时， 取得最大值2000元。
　　数学中常用的数学思想方法有很多，如：转化的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及配方法、换元法、待定系数法、反证法等。这些基本思想和方法分散地渗透在中学数学教材的条章节之中。在平时的教学中，教师要在传授基础知识的同时，可以结合例子有意识地讲解与渗透基本数学思想和方法，逐步培养学生的数学意识和数学思想方法，从而达到传授知识，培养能力的目的。只有这样，学生才能灵活运用和所学的知识去解题，提高学生的解题能力和速度。当然，影响学生解题的因素是多方面的，本文只是对几种较为主要和直接的因素予以分析供读者参考。