浅谈如何加强数学思维灵活性的训练 数学思维灵活性
摘要：在数学教学中，经常发现学生思维反映的差异。文章就此问题进行分析讨论。通过具体实例论证了数学思维的灵活性训练的重要性和实践体会。 关键词： 数学教学；数学思维；灵活性训练
数学创造性思维的培养是每一位教师教学生涯中孜孜不倦地探讨问题，多年的教学经验告诉我们，数学创造性思维的培养，离不开数学思维灵活性的培养，它们同属于数学思维品质的范畴，它们之间相互联系，相得益彰。
一、数学思维灵活性概述
在数学教学中，思维的灵活性表现为：善于根据题设中的具体情况，全面地、科学地考察问题、分析问题，从各种联系中去认识事物，及时地提出新的设想和解题方案，不固执己见，不拘泥于陈旧的方案。不仅能够把握住事物的全体，抓住事物的基本特征，而且也不会忽视重要的细节问题。它体现了学生在智力活动中灵活程度上的差异，是数学思维的重要品质之一。
二、数学思维灵活性的培养
大家知道数学问题千变万化，要想既快又准地解出数学题，总用一个固定的套路或方案是行不通的，必须视试题具体情况，合理地进行思维转化，灵活应用各方面相关知识，确定解题方案，常常能化繁为简，化难为易，也就是说必须具有思维的灵活性。笔者认为要从以下几个方面加强数学思维灵活性的训练。
（一）善于观察与发现
心理学告诉我们，感觉和知觉是认识事物的最初形式。而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的的、有计划的，比较持久知觉。观察是认识事物的基本途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提，是联想的基础。任何一道数学题都包含一定的条件与关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例一 求和■+■+■+■+...■。显然，通分相加是很困难的。必须寻求灵活的解法。观察它的具体特征：每项都是两个相邻自然数的积的倒数，且■=■- ■， 这样原式就等于1-■+■-■+ ...+ ■-■=1-■。问题也就解决了。
例二 当S=■，求S的整数部分。
[解题分析] 显然通过去分母化为小数是非常繁难，甚至是不可能的，必须寻找可行的灵活解决办法。观察可以发现：这一繁方式繁就繁在它的分母，若将问题进行倒置处理，就给人“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。
且12×■S>■， 即165
[思维障碍] 此题利用常规解法：去分母化简，进行了大量的计算，问题不一定能够解决。原因是没有注意到试题的内在的联系。因此，解题时，不必急于动笔，应该全面地、整体地看问题，认真观察题目的特征，相应地采取有效的方法。
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不能总是用常规的方法解题，而且能根据题目的特征，采取特殊的方法来解题。
（二）善于联想与转化
联想是问题转化的桥梁。具有一定难度的问题和基础知识之间的联系都是不明显的、间接的、复杂的。因此，怎样解题，解题的速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，作出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
例三 解方程组x+y=-6xy=5这个方程组指明两个数的和是-6，两个数的积是为5。由此联想到一元二次方程的根与系数关系，x、y是一元二次方程t2 + 6t + 5 = 0的两根，所以，求出两组解为：x1=-1、y1=-5，x2 = -5、y2 = -1。可见，联想可使问题变得简单。
例四 对于x∈R，确定y=■-■的所有可能的值。
[解题分析]这一题目简单得无从下手，显然要阻则思变，由于被开方式为二次三项式，易联想到配方，联想到解析几何知识，将配方结果与两点间的距离公式相比照，可设想y为线段之差，利用三角形三边基本关系两边之差小于第三边，y范围就容易得到。
y=■-■
=■-■2 x∈R
建立平面直角坐标系(如右图)，
取三点P（x，0），A(-■，■ )，B(■，■ )
则|PA| =■ ， |PB| =■ ,
由三角形三边关系得‖PA| - |PB‖< |AB| (点P不可能在AB上，故不能取等号)，
而|AB| =1，故-1<■ < ■<1
即 -1< y <1
[思维障碍]有的学生很难进行“数形结合”的联想，原因是平时不注意代数与解析几何之间的联系，单纯地学代数或几何，因而不能根据题目的特征，把复杂的式子与直观的图形联系起来。须知，“数形结合”是数学的重要的思想方法。
数学是有各种概念、定理和方法组成的知识结构体系。数学的各个分支，在内容和方法上都是密切联系、互相渗透的。解数学题时，丰富而恰当的联想，可使问题变得熟悉、简单，有利于问题的解决。所以，训练联想能力是十分必要的。
（三）善于化复杂为简单
数学家G·波利亚在《怎样解题》中说过，数学是命题的连续变换。可见解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么，怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把未知问题转化为已知的问题。因此，在解数学题时，观察具体特征，联想有关内容之后，就要寻求转化关系。
例五 已知：■ +■+■=■，(abc≠0，a+b+c≠0)，
求证a、b、c三数中必有两个互为相反数。
要证明的结论就可以转化为：（a+b）（b+c）（c+a）=0。这样，问题就变得熟悉、简单了，也就应刃而解。
例六 设n是正整数，试化简■■。
[解题分析] 因为无法计算单个的2n， 3n， …，所以转化为对化简式的整体考虑。容易看出■=■=■，所以■= ■=■；由等比定理可得■=■，从而可化简得原式结果为■。