平行四边形的判定 [平行四边形判定法的再补充]

　　学习平行四边形的判定时,我们通常学习了如下几种判定方法:　　⑴ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.这是平行四边形的定义,也是一种判定方法.　　⑵ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
　　⑶ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
　　⑷ 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
　　除了以上四种判定方法外,本文补充另外几种判定方法,若同学们认真分析,探索研究,也就会发现还有如下的几种判定方法:
　　⑸ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
　　⑹ 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形;
　　⑺ 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.
　　下面就以上⑸ ⑹ ⑺ 三种判定方法分别作简略证明.
　　求证⑸：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（这道题在新人教版教材中以练习题的形式出现。）
　　已知如图① 四边形ABCD中∠A =∠C , ∠B =∠D ,求证四边形 ABCD是平行四边形。
　　证明：如图① 在四边形ABCD中 ∠A +∠B + ∠C + ∠D=360° ，∠ A = ∠C ， ∠B=∠D ∴ 2∠A+2∠B=360° ∴ ∠A+∠B=180° ∴ AD ∥ BC 同理可得AB ∥ CD ∴四边形ABCD是平行四边形
　　即有：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
　　图①
　　求证⑹：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
　　已知：在四边形ABCD中AB =CD ，∠ A = ∠C 求证 四边形ABCD是平行四边形
　　证明 1. 当∠A 、∠C 是钝角时，如图② 在四边形ABCD中,延长DA和BC,过B点作BE ⊥ DA的延长线于E点,过D点作DF⊥BC的延长线于F点， 则有 ∠BEA= ∠DFC =90° ，∵ ∠DAB= ∠BCD， ∠BAE=180° －∠DAB =180° －∠BCD =∠DCF 。 在△BAE和△DCF中，∵ ∠BEA= ∠DFC=90°， ∠BAE=∠DCF， AB=CD，∴△ABE ≌ △CDF（ AAS ） ∴ BE=DF， AE=CF 连结BD ， 在 Ｒｔ△BED和Ｒｔ△DFB中 ∵ BD=DB BE=DF ∴Ｒｔ△BED≌Ｒｔ△DFB ( HL ) ∴DE=BF 又∵AE=CF ∴ DE－AE=BF－CF 即AD=BC 又 ∵ AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 。
　　图②
　　2.当A ，C是直角时， 如图③所示 连结BD，在Ｒｔ△ABD和Ｒｔ△CDB 中 ∵AB=CD ，BD=DB ∴Ｒｔ△ABD ≌ Ｒｔ△CDB （ HL ） ∴ AD=CB ， 又 ∵AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四边形。
　　图③
　　3.当∠A , ∠C是锐角时,如图④所示,方法同1,过B点作BE ⊥AD于E点，过D 点作DF⊥BC于F点，可得Ｒｔ△ABE ≌ Ｒｔ△CDF（AAS） ∴ BE= DF, AE=FC . 连结BD,可证得 Ｒｔ△BED ≌Ｒｔ△DFC （HL）∴ DE=BF ∴ AE+DE=FC+BF ∴ AD=BC 又∵AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四边形。
　　综上1，2，3可得：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形。
　　图④ 图⑤
　　求证⑺：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
　　已知如图⑤ 在四边形ABCD中，AB ∥CD,∠A ＝∠C ,求证：四边形ABCD是平行四边形
　　证明：如图⑤在四边形ABCD中 ∵AB ∥CD,∴∠A+ ∠D=∠B+∠C=180° , ∵∠A= ∠C , ∴∠B ＝∠D ∴四边形ABCD是平行四边形。
　　通过以上几种判定法的补充,相信对同学们学习平行四边形有所帮助,对于认识和掌握平行四边形的结构和性质以及它的判定方法,特别是平行四边形的判定方法，都会更加详细彻底,更加丰富全面。下面补充几道练习题, 相信同学们能够学以致用，并且在解决平行四边形的判定题时，一定会达到游刃有余，轻松愉快的境界。