中考模拟试卷语文 [对2007年一道中考题参考答案的质疑]
28中学数学教学2008年第2期
对2007年一道中考题参考答案的质疑
安徽省芜湖市清水街道安流学校 林 闯 (邮编:241000)
近日, 在给初三毕业班选讲中考试题时, 发现2007年芜湖市中考数学试卷第23题的参考答案存在明显错误, 现在把它指出来, 以就教于同仁. 原题及参考答案转录如下.
题 阅读以下材料, 并解答以下问题.
完成一件事有两类不同的方案, 在第一类方案中有m 种不同的方法, 在第二类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m +n 种不同的方法, 这是分类加法计数原理; 完成一件事需要两个步骤, 做第一步有m 种不同的方法, 做第二步有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N =m n 种不同的方法, 这就是分步乘法计数原理. ! 如完成沿下图1所示的街道从A 点出发向B 点行进这件事(规定必须向北走, 或向东走) , 会有多种不同的走法, 其中从A 点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出.
(1) , 算出从A 出发到达其余交叉点的走法数, 将数字填入图2的空圆中, 并回答从A 点出发到B 点的走法数共
有多少种?
(2) 运用适当的原理和方法算出从A 点出发到达B 点, 并禁止通过交叉点C 的走法有多少种?
(3) 现由于交叉点C 道路施工, 禁止通行. 求如任选一种走法, 从A 点出发能顺利开车到达B 点(无返回) 的概率是多少
?
解 (1) ∀完成从A 点到B 点必须向北走, 或向东走,
#到达A 点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和.
与否, 看这个截面中相邻两点是否分布在原正方体现成的六个面中的某个平面内, 如果每相邻两点都满足这个条件, 则这个 截面! 是正确的, 否则这个 截面! 是错误的.
例如, 分析图(1) 由于A 、B 两点不是分布在原有现成六个面中的同一个面, 因而是错误的, 图(2) 中, 相邻两点均满足刚才的条件, 因而是正确的, 参照刚才的判别标准, 学生就很容易解决这类问题.
4 根据俯视图及其中的小正方体个数(数字) 画出主、左视图
例 有一些完全相同的正方体, 组合成立体图形, 现根据俯视图试画出它的主、左视图(图中数字是正方体个数).
学生拿到这样的题目后往往感到无从下手, 其实对这类题目教师如果作富有技巧性的引导, 往往就很容易解决, 因为题目要求画出该组合几
, 图所示的主视方向和左视方向(如图).
画主视图时, 主视方向上, 共分左右两列, 左列最大数字是4, 右列最大数字是3, 所以主视图应该为(如下左图).
画左视图时, 左视方向上, 也分左右两列, 左列最大数字是4, 右列最大数字为2, 所以左视图为(如右图)
总结出这样的规律以后, 还要提醒学生, 无论是主视图还是左视图, 所有列的下面都必须对齐.
总之, 这一章节的内
容和知识点是可以培养学生的分类思想、空间想象力, 作为教师应不断探索, 当好学生学习的指导者, 教会学生触类旁通, 引导学生学会举一反三, 只有这样才能使学生的自主学习最有效, 才能最大限度地培养学生的各种能力.
(收稿日期:2007 12 26)
2008年第2期中学数学教学29
故使用分类加法计数原理, 由此算出从A 点到达其余各交叉点的走法数, 填表如下图1.
答:从A 点到B 点的走法共有35种.
(2) 方法一:可先求从A 点到B 点, 并经过交叉点C 的走法数, 再用从A 点到B 点总走法数减去它, 即得从A 点到B 点, 但不经过交叉点C 的走法数. 完成从A 点出发经C 点到B 点这件事可分两步, 先从A 点到C 点, 再从C 点到B 点. 使用分类加法计数原理, 算出从A 点到C 点的走法是3种, 见图2; 算出从C 点到B 点的走法为6种, 见图3, 再运用分步乘法计数原理, 得到从A 点经C 点到B 点的走法有3 6=18种.
#从A 点到B 点但不经过C 点的走法数为35-18=17种.
方法二:由于交叉点C 道路施工, 禁止通行, 故视为相邻道路不通, 可删除与C 点紧相连的线段. 运用分类加法计数原理, 算出从A 点到B 点并禁止通过交叉点C 的走法有17种. 从A 点到各交叉点的走法数见图4. 故从A 点到B 点并禁止经过C 点的走法有17种
.
(3) P (顺利开车到达B 点) =17/35.
答:任选一种走法, 顺利开车达到B 点的概率是17/35
.
以上解答的(1) 、(2) 两步是自然、合理的. 第(3) 步乍看起来也很合理, 因为从A 点到B 点并禁止经过C 点的走法有17种, 而从A 点到B 点的走法共有35种, 任选一种走法, 从A 点出发能顺利开车到达B 点(无返回) 的概率 当然! 是17/35.
图5然而, 笔者认为, 这35条
路线的选择却并不是等
可能事件, 故不能用列举法求其概率. 如图5, 例如选择走路线A -D -B, 从A 点出发, 选择走F 点的概率为1/2, 在F 点选择走G 点、在G 点选择
走H 点、在H 点选择走D 点的概率也都为1/2,
而从D 点到B 点, 却别无选择, 只有老老实实地走路线D -I -J -B, 即每次选择到下一点的概率都是1, 于是根据乘法原理, 立即可得选择走路线A -D -B 的概率为
P (A -D -B) =(1/2) (1/2) (1/2) (1/2) 1 1 1=1/16; 同理可得, P(A -E -B) =(1/2) (1/2) (1/2) 1 1 1 1=1/8. 显然P(A -D -B) ∃P(A -E -B).
事实上, 本题的第(3) 步是一个求条件概率的问题. 经分析, 不难得到以下两种解法.
解法一:按照题目规定的走法, 容易计算出走到每个交叉点的概率(如图6) , 故P (顺利开车到达B 点) =P (J ) +P(R ) =(5/32) +(15/32) =5/8.
解法二:注意到走到C 点的概率P (C) =(1/8) +(1/4) =3/8, 而走到C 点是需要返回
图6的, 不符合题意, 于是
P (顺利开车到达B 点) =1-P(C) =1-(3/8) =5/8.
以上两种解法的结果是一致的. 我们注意到5/8>17/35.
笔者曾就第(3) 问中的 任选一种走法! 的含义请教过该题的命题专家, 他解释说, 题意的初衷是把 所有的路线! 作为抽取对象, 而把抽到 走得通的路线! 作为符合条件的事件, 于是容易求出结果17/35. 这样的说法勉强可以说得通. 然而, 一个新的问题就出来了, 除非这个司机出门前在纸上排列出所有的35条路线, 否则他拿什么来随机 抽取! 呢? 这也过于理想化了, 甚至只能是纸上谈兵! 正常情况下, 不知路况的司机应该是在确定了大致行车方向后, 按一定的规则(如本题的 必须向北走, 或向东走! ) 在每个路口自由地选择行车方向. 每条 路线! 正是由一次次的选择 走向! 所积累而成的, 没有先前的走向选择, 哪来后面的整条路线? 这是一个再简单不过的因果关系了. 所以, 应试者若把 任选一种走法! 理解为每次自由地选择走向, 不但无可厚非, 而且也更具有现实意义.
(收稿日期:2007 12 26)