函数最小正周期【关于周期函数和最小正周期的探讨】

伊犁师范学院数学系 2010届本科毕业 论文

关于周期函数和最小正周期的探讨

龙冬梅

┊ （伊犁师范学院数学系 新疆 伊宁 835000） ┊

摘要：针对目前对于周期函数认识的不足，首先探讨了周期函数与周期的定义与性┊

┊ 质。了解并掌握了周期函数的定义和性质，如何去判定一个函数是否为周期函数这是全┊ 文的重点，因此介绍了周期函数的有关判定方法。如何求一个周期函数的最小正周期是┊ 最终目的，同样首先要掌握最小正周期的定义，并不是每一个函数都有最小正周期，所┊ 以有必要讨论最小正周期的存在性，引入了最小正周期存在的充要条件，并给了详细的┊ 证明。函数f(x)±g(x)最小正周期的求法，分多种求法求解，其实每一种求法都反┊

应了周期函数的一种性质。本文例举了求最小正周期的几个例题，便于读者进一步的掌┊

┊ 握周期函数并能应用。最后讨论了周期函数的和、差、积、商函数的周期性，从而得出┊ 了周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理，并说明了定理的应用。这是对周期函┊ 数的拓展，先认识简单的周期函数还不够，周期函数的和、差、积、商函数的周期性就装 变成了比较复杂的周期函数，而这类正是我们经常遇到的周期函数，所以我把这类型的┊ 周期性总结归纳得出定理，便于以后直接拿来用，最后归纳了求这类周期函数周期的步┊ 骤。 ┊

关键词：周期函数；周期性；最小正周期. ┊

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第一章 周期函数的定义和性质

订 ┊ ⒈定义 函数f(x)定义在数集A上．如果存在正数l，对任意x∈A有x±l∈A，且┊

f(x±l)=f(x)，称函数f(x)是周期函数，l称为函数f(x)的一个周期． ┊ ┊ 如果l是函数f(x)的周期，则2l也是它的周期．事实上，f(x +2l)= f(x+l＋┊

l)= f(x)=f(x－l)＝f(xll)=f(x2l)．显然，如果l是函数f(x)的周期，则线

nl(n是整数)也是它的周期．如果函数f(x)有最小的正周期，通常将这个最小正周期称┊

┊ 为函数f(x)的周期． ┊

⒉周期函数的性质 ┊

┊ 性质1 若T是yf(x)，x∈A的周期，则一T也是yf(x)的周期． ┊

证明 因为 T是yf(x),x∈A的周期，所以f(xT)f(x),xTA.． ┊

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)f(令xxTA,则xxTA，代入上式得：f(x，xT)即：┊

T. )f(x),xA,xTA┊ f(x

┊

所以T也是yf(x)的周期．

┊ ┊ 性质2 若T是yf(x),x∈ A的周期，且xnTA(nZ)，则nT也是yf(x)的

周期．

证明 (1)证明当n∈N时,xnT∈ A，则nT是yf(x)的周期(运用数学归纳法)． ① 当n=1时,T是yf(x)的周期．

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的最小正周期 ．例如，正弦函数的最小正周期是2π.

根据上述定义，我们有：

正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是他的周期，最小正周期是2π。

y=Asin(ωx+φ), T=2π/ω

⒉函数f(x)±g(x)最小正周期的求法

一、定义法

例1求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期. 解:∵ ＝｜sinx｜＋｜cosx｜ ＝｜－sinx｜＋｜cosx｜

＝｜cos(x＋π/2)｜＋｜sin(x＋π/2)｜ ＝｜sin(x＋π/2)｜＋｜cos(x＋π/2)｜ ＝f(x+π/2)

对定义域内的每一个x，当x增加到x＋π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.

二、公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T＝2π/｜w｜ ，正余切函数T＝π/｜w｜．

例2求函数y＝cotx－tanx的最小正周期.

解：y＝1/tanx－tanx=(1－tanx^2)/tanx=2*(1－tanx^2)/(2tanx)＝2cot2x

∴T＝π/2 三、最小公倍数法

设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数

例3求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期.

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝2π／1＝2π.

例4求y＝sin3x＋tan 的最小正周期.

解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1＝10π.

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∴y＝sin3x＋tan2x/5的最小正周期是10π.

四、图象法

例5求y＝｜sinx｜的最小正周期.

┊ ┊ 解：由y＝｜sinx｜的图象 ┊

可知y＝｜sinx｜的周期T＝π.

┊ ┊ 显然，一个函数的最小正周期是唯一的，故最小正周期具有特殊的意义．因此，一┊ 个函数的周期通常是指最小正周期． ┊

注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期 ┊

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⒊有最小正周期的周期函数的判定

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[10] 谭福锦.关于周期函数微积分特性的讨论[M].广西民族学院学报（自然科学版），2002，数学专辑，16—17 Abstract: The present lack of understanding for the periodic function, the first cycle of a periodic function with the definition and properties. Understand and grasp the definition and nature of periodic functions, how to determine whether a function is a periodic function which is the focus of the full text, it introduces the method of periodic function of the judge. How to request a periodic function of the smallest cycle is the ultimate goal is the same one must master the least positive period of the definition, not every function has a minimal positive cycle, it is necessary to discuss the existence of the smallest positive period, the introduction of the minimum working period necessary and sufficient conditions exist, and give a detailed proof. Function f (x) ± g (x) method for finding the smallest positive period, sub-variety of seek method, in fact, reflect a kind of method for evaluating both the nature of a periodic function. This article cites Find the smallest positive period of a few examples, easy to readers to grasp periodic function and can be applied. Periodic function is discussed and, worse, product, business function, periodicity, and thus come to the periodic function, difference, product, business function of the periodicity theorem, and describes the application of the theorem. This is a periodic function of the expansion, first get to know a simple periodic function is not enough, periodic function, difference, product, business function becomes more complex periodic cycle functions, and such is what we often encounter the periodic function, so I summarized this type of periodic draw theorem, to facilitate the direct use of them later, and finally summarizes the requirements of such periodic function cycle steps. Key words: periodic function; cyclical; least positive period.

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