【大学物理教程2-1第二章课后答案】大学物理第二章课后答案

习 题 三

3-1 质量为m 的质点，当它处在r =-2i +4j +6k 的位置时的速度v =5i +4j +6k ，试求其对原点的角动量。

[解] 质点对原点的角动量为 L =r ⨯p =m r ⨯v

i j k

=m -246=m (42j -28k )

546

3-2 一质量为m ＝2200kg 的汽车v =60km h 的速率沿一平直公路行驶。求汽车对公路一侧距公路为d ＝50m 的一点的角动量是多大? 对公路上任一点的角动量又是多大?

[解] 根据角动量的定义式L =r ⨯m v

(1) L =rmv sin θ=mvd =2200⨯60⨯103⨯50=1. 83⨯106kg ⋅m 2 (2) 对公路上任一点r ∥v ，所以

L =0

3-3 某人造地球卫星的质量为m ＝l802kg ，在离地面2100km 的高空沿圆形轨道运行。试求卫星对地心的角动量(地球半径R 地=6. 40⨯106m) 。

[解] 设卫星的速度为v ，地球的质量为M ，则

G

Mm

R 地+h 2

v 2

(1) =m

R 地+h

又 G

M

=g (2) R 地

联立两式得 v =

g

R 地

R 地+h

卫星对地的角动量 L =m R 地+h ⋅v =m g R 地+h ⋅地

()=18029. 8⨯6. 40⨯106+2. 10⨯106⨯6. 40⨯106 =1. 05⨯1014kg ⋅m 2

3-4 若将月球轨道视为圆周，其转动周期为27.3d ，求月球对地球中心的角动量及面积速度(m 月=7. 35⨯1022kg ，轨道半径R =3. 84⨯108m) 。

[解] 设月球的速度为v ，月球对地球中心的角动量为L ，则

v =2πR /T

3-1

2πR

T

7. 35⨯1022⨯(3. 84⨯108) 2⨯2⨯3. 14

=

27. 3⨯24⨯3600

L =m 月Rv =m 月

=2. 89⨯1034kg ⋅m 2/s

月球的面积速度为

v 面=πR 2/T =1. 96⨯1011m 2/s

3-5 氢原子中的电子以角速度ω=4. 13⨯106rad s 在半径r =5. 3⨯10-10m 的圆形轨道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数h 表示之(h =6. 63⨯10-34J ⋅s ) 。

[解] 电子的轨道角动量

L =mr 2ω=9. 1⨯10-31⨯5. 3⨯10-10

()

2

⨯4. 13⨯106=1. 06⨯10-42=1. 6⨯10-9J ⋅s

3-6 海王星的轨道运动可看成是匀速率圆周运动，轨道半径约为R =5⨯109km ，绕太阳运行的周期为T =165年。海王星的质量约为m =1. 0⨯1026kg ，试计算海王星对大阳中心的角动量的大小。

[解] 海王星对太阳中心的角动量

L =mRv

v =

联立两式得到

2πR

T

2πR 22π⨯5. 0⨯109⨯10326

L =m =1. 0⨯10⨯=3. 02⨯1042kg ⋅m 2

T 165⨯365⨯24⨯3600

3-7 6月22日，地球处于远日点，到太阳的距离为1. 52⨯1011m ，轨道速度为

()

2

2. 93⨯104s 。6个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为1. 47⨯1011m 。求：(1)在近日

点地球的轨道速度； (2)两种情况下地球的角速度。

[解] 设在近日点附近地球的轨道速度为v 1，轨道半径为r 1，角速度为ω1；在远日点地球的轨道速度为v 2，轨道半径为r 2，角速度为ω2。

(1) 取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。

m 地r 1v 1=m 地r 2v 2

r 2v 21. 52⨯1011⨯2. 93⨯1044

所以 v 1===3. 03⨯10m s 11

r 11. 47⨯10

3-2

v 13. 03⨯104

(2) ω1===2. 06⨯10-7rad s 11

r 11. 47⨯10v 22. 93⨯104-7

ω2===1. 93⨯10r a s 11

r 21. 53⨯10

3-8 哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是

r 1=8. 75⨯1010m ，其时它的速率为v 1=5. 46⨯104；它离太阳最远时的速率是v 2=9. 08⨯102，这时它离太阳的距离r 2是多少。

[解] 彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最远的地点时，速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直，所以根据角动量守恒

mr 1v 1=mr 2v 2

r 1v 18. 75⨯1010⨯5. 46⨯10412

由此得到 r 2===5. 26⨯10m 2

v 29. 08⨯10

3-9 我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运行，地球的中心是椭圆的一个焦点。已知地球半径R =6378km，卫星与地面的最近距离为439km ，与地面的最远距离为2384km 若卫星在近地点的速率为8.1km s ，求它在远地点的速率是多大?

[解] 地球的中心点O 位于椭圆轨道的一个焦点上，设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该力总是指向O 点，故卫星在运动的全过程中对O 点角动量守恒。即

L 1=L 2

由于两者的方向一致，上式可直接用大小来表示， 有

mv 1(R +l 1)=mv 2(R +l 2)

R +l 16378⨯103+439⨯1033

=8. 1⨯10⨯=6. 30km s 得到 v 2=v 1

R +l 26378⨯103+2384⨯103

3-10 如图所示的刚性摆，由两根带有小球的轻棒构成，小球的质量为m ，棒长为l 。此摆可绕无摩擦的铰链O 在竖直面内摆动。试写出：(1)此摆所受的对铰链的力矩；(2)此摆对铰链的角动量。

[解] (1) 此摆所受的对铰链O 的力矩

M =mgl sin θ+mg l sin θ+l sin (900-θ) =mgl

(2sin θ+cos θ)

[]

3-3

(2) 此摆对铰链的角动量为L ，转动惯量为I ，则

I =ml 2+m l 2+l 2

)=3ml

2

2

2

所以 L =I ω=3ml

d θ d t

3-11 有两个质量都等于50kg 的滑冰运动员，沿着相距1.5m 的两条平行线相向运动，速率皆为10m s 。当两人相距为1.5m 时，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为1.0m 时，角速度变为多大?

[解] 取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒 (1) 设两人质量均为m ，到转轴的距离为r 1，握住手以后绕中心角速度为ω1，系统对转轴的转动惯量为J 1，则有：

r 1mv +r 1mv =J 1ω1

(1)

又 J 1=mr 12+mr 12=2mr 12 (2) 联立（1），(2)式得

ω1=v /r 1=10/0. 75=13. 3rad/s

(2) 设两人相距1.0米时，角速度为ω2，此时系统对转轴的转动惯量为J 2，两人到转轴的

距离为r 2，则

J 1ω1=J 2ω2 (3)

J 2=mr 22+mr 22=2mr 22 (4)

又联立(2)-(4)式得

ω2=r 12ω1/r 22=0. 752⨯13. 3/0. 52=29. 9rad/s

本题要注意，对于质点系问题应先选择系统，然后通过分析受力及力矩情况，指出系统对哪个转轴或哪个点的角动量守恒。

3-12 如图所示，一根轴沿x 轴安装在轴承A 和B 上，并以匀角速ω旋转动着。轴上装有长为2d 的轻棒，其两端各有质量为m 的小球，棒与轴的夹角为θ。若以棒处在xOy 平面内的时间开始计时，则图中所示时刻为t 的情况。 (1)根据L =小球组成的系统对原点O 的角动量

∑r i ⨯m v i ，试证明此两

1

2

L =2m ωd 2sin 2θi -2m ωd 2cos θsin θcos ωt j -2m ωd 2cos θsin θsin ωt k

3-4

()()()

(2)求d L d t 的表达式，并解释其含义，(3)若θ=900，则结论如何?

[解] (1) 由图可知

r 1=d cos θi +d sin θcos ωt j +d sin θsin ωt k v 1=-d ωsin θsin ωt j +d ωsin θcos ωt k L =r 1⨯m v 1+r 2⨯m v 2=2m r 1⨯v 1

i

=2m d cos θ

0j k d sin θcos ωt d sin θsin ωt -d ωsin θsin ωt d ωsin θcos ω

=2m ωd 2sin 2θi -2m ωd 2cos θsin θcos ωt j -2m ωd 2cos θsin θsin ωt k

()()()

d L

=2m ω2d 2cos θsin θsin ωt j -2m ω2d 2cos θsin θcos ωt k d t d L d L 由的表达式可看出，只有y ，z 分量，说明轴承只提供对y ，z 轴的力矩，以保d t d t

(2)

()()

证系统旋转。

(3) 当θ=900时，L i =2m ωd 2i ，说明轴承无需提供力矩。

d L

=0，即角动量不随时间变化。 d t

3-5