圆锥曲线的所有公式 [圆锥曲线的“相伴”性质的探索]

　　浙江湖州埭溪中学 313023 　　 　　摘要：本文就点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上、内、外三种情况，从点P（x0，y0）与直线l：x0x+y0y=r2成对的相互关系出发，引申到点P（x0，y0）与直线l：x0x+y0y=r2的垂线段为直径的圆与圆x2+y2=r2的相伴关系，然后推广到椭圆中类似的“点线相伴”和“椭圆与椭圆相伴”性质.
　　关键词：点线相伴；圆圆相伴；椭圆椭圆相伴
　　
　　[⇩]两个命题及概念准备
　　命题1设点P（x0，y0），圆E：x2+y2=r2及直线l：x0x+y0y=r2，则：
　　（1）若点P在圆E外，则直线l与圆E相交；
　　（2）若点P在圆E上，则直线l与圆E相切于点P；
　　（3）若点P在圆E内，则直线l与圆E相离.
　　情况（2）很明确，但（1）（3）的相交、相离的具体位置的确定有待研究解决.
　　命题2到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆或直线. 当σ=1时，轨迹是直线；当σ>0且σ≠1时，轨迹是圆.
　　设两定点为A（－a，0），B（a，0）（a>0），距离之比为σ=（σ>0且σ≠1），则轨迹圆的方程是
　　x－a2+y2=
　　2（证明略）. 而且易知以下情况：
　　（1）若σ>1，则A在圆外，B在圆内；
　　（2）若0[y][C][P][D][E][x]
　　图1
　　证明设C（x1，y1），D（x2，y2），则过C，D的切线方程分别为：
　　x1x+y1y=r2，①
　　x2x+y2y=r2.②
　　当x1y2≠x2y1时，两切线有交点P′（x0′，y0′）. 下面只要检验方程x0′x+y0′y=r2就是直线CD的方程即可. 由①②解得x0′=，y0′=，
　　则方程x0′x+y0′y=r2，即为r2x+r2y=r2.
　　所以（y1－y2）x+（x2－x1）y=x2y1－x1y2 .
　　即（y－y2）（x－x2）=（x1－x2）（y－y2），此方程即为直线CD的方程. 命题得证.
　　进一步可得到推广1（点伴线）.
　　推广1设点P（x0，y0）为圆E：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F>0）外一点，过P作圆E的两切线PC，PD，则直线CD的方程是x0x+y0y+（x0+x）+（y0+y）+F=0. 此时点P与直线CD是圆E的一对相伴点线（如图2）.
　　[C][P][D][x][E][O][y]
　　图2
　　定理2设P（x0，y0）为圆E：x2+y2=r2内一点，过点P且圆心在直线EP上的圆E的相伴圆为F. 若圆F与直线EP交于另一点Q，过点Q的圆F的切线为l，则点P与直线l是圆E的一对相伴点线（线伴点），且l的方程为x0x+y0y=r2（如图3）.
　　[B][F][E][A][Q][x][l][y][P][・]
　　图3
　　证明设直线EP交圆E于A，B，由相伴圆的定义知==σ，其中σ = ，且P分的比为σ，Q分的比为－σ. 由定比分点坐标公式易知点Q的坐标为
　　，
　　.
　　因直线l与直线EP垂直，故直线l的斜率kl=－，
　　所以直线l的方程为y- = -・x-
　　.
　　所以y0y-=-x0x+. 即x0x+y0y=r2. 命题得证.
　　而且由证明过程易得此时相伴圆F的方程是
　　x-
　　x02+y-
　　y02=.
　　容易验证有下列性质（如图4）：
　　[y][a][F][B][D][P][E][b][l][x][l0][l′][C][Q][A]
　　图4
　　（1）设圆E、圆F交于C，D，则点E与直线CD（即直线l0）是圆F的一对相伴点线（点伴线）；点F与直线l0是圆E的一对相伴点线（点伴线）. 即EC，ED与圆F相切，FC，FD与圆E相切.
　　（2）过点P作直线l′与圆F相切（即l′⊥EP），则点Q与直线l′是圆E的一对相伴点线（点伴线）.
　　（3）过点A，B分别作圆E的切线a，b，则点A与直线b是圆F的一对相伴点线（点伴线）；点B与直线a是圆F的一对相伴点线（线伴点）.
　　进一步可得到推广2（线伴点）.
　　推广2设P（x0，y0）为圆E：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F>0）内一点，过点P圆心在直线EP上的圆E的相伴圆为F，若圆F与直线EP交于另一点Q，过点Q的圆F的切线为l，则点P与直线l是圆E的一对相伴点线，且l的方程为
　　x0x+y0y+（x0+x）+（y0+y）+F=0（如图5）.
　　[A][E][O][P][B][F][Q][l][y][x]
　　图5
　　[⇩]相伴圆的收敛性和扩张性
　　由以上的性质和相伴性的定义知，在同一方向上的相伴圆有无数个，它们呈现一个系列，有收敛性和扩张性.
　　（1）如图6，圆E、圆F相伴，且交于两点C，D（CD即直线l0）. 圆F交直线EF于点P（圆E内）、F1（圆E外）；过点P，圆F的切线C1D1（即直线l1）交圆E于C1，D1，则过C1，D1，F1为圆心的圆F1与圆E相伴.
　　[F3][F2][F1][F][B][P][C][C1][C2][C3][P2][P3][E][A][D1][D2][D3][l0][l1][l2][l3]
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　　圆F1交直线EF于点P2（圆E内）、F2（圆E外）；过点P2，圆F1的切线C2D2（即直线l2）交圆E于C2，D2，则过C2，D2，F2为圆心的圆F2与圆E相伴.
　　圆F2交直线EF于点P3（圆E内）、F3（圆E外）；过点P3，圆F2的切线C3D3（即直线l1）交圆E于C3，D3，则过C3，D3，F3为圆心的圆F3与圆E相伴.
　　……
　　以此类推，产生一系列的圆Fn，都与E相伴；设EF交圆E于AB，当n→∞时，圆Fn就扩张成线段AB的中垂线.
　　（2）如图7，圆F与圆E相伴，且交于两点C，D（CD即直线l0），直线l0交EF于P1，则以P1F为直径的圆F1与圆E相伴.
　　[F][F1][C][C1][C2][C2][F2][F][P][B][P2][P1][P][E][A][D2][D1][D][l0][l1][l2][l3]
　　图7
　　圆F1与圆E相伴，且交于两点C1，D1（C1D1即直线l1），直线l1交EF于P2，则以P2F1为直径的圆F2与圆E相伴.
　　圆F2与圆E相伴，且交于两点C2，D2（C2D2即直线l2），直线l2交EF于P3，则以P3F2为直径的圆F3与圆E相伴.
　　……
　　以此类推，产生一系列的圆Fn，都与E相伴；设EF交圆E于AB，当n→∞时，圆Fn就收敛成点B（或点A）.
　　
　　[⇩]椭圆中的相伴性
　　定理3已知椭圆E：+=1（a>b>0），点P（x0，y0）为椭圆外一点，过P作椭圆E的两切线PC，PD，则直线CD（即直线l）的方程是+=1（如图8）.
　　[y][C][E][D][l][x][P]
　　图8
　　证明作变换x′
　　=，
　　y′
　　=， 则椭圆在新坐标x′，y′下的方程为x′2+y′2=1.
　　点P在新坐标x′，y′下的坐标为
　　，
　　，则由定理1知新坐标x′，y′下直线CD的方程为・x′+・y′=1.
　　由变换公式换成原坐标得直线CD（即直线l）的方程是
　　+=1.
　　定理4已知椭圆E：+=1（a>b>0），点P（x0，y0）为椭圆内一点，设直线EP交椭圆E于A，B，P分的比为σ，直线EP上取一点Q，Q分的比为－σ；又分别设过A，B的椭圆E的切线为a，b，则过Q且与a，b平行的直线l的方程是+=1（如图9）.
　　[E][P][B][F][b][x][A][a][Q][l][y][A′][B′][l′]
　　图9
　　证明略. 可参考定理2、定理3的证明方法. 而且显然有：若设AB是椭圆E的一直径，AB的共轭直径为A′B′，则A′B′∥l.
　　定义3把定理3和定理4中的点P和直线l的位置配对叫做椭圆E的一对相伴点线.
　　如图9，若过P作一直线l′∥l，则夹在l′，l之间有一个特殊的椭圆F，其中椭圆F的中心F在直线EP上，对称轴与坐标轴平行，切l′，l于P，Q两点，则可定义如下：
　　定义4称上述的椭圆E、椭圆F的位置配对叫作一对相伴椭圆.
　　容易验证相伴椭圆有以下性质（如图10）：
　　[l′][B′][b][x][l0][D][B][F][P][E][C][A′][A][y][Q][l][a]
　　图10
　　（1）设椭圆E、椭圆F交于C，D，则点E与直线CD（即直线l0）是椭圆F的一对相伴点线（点伴线）；点F与直线l0是椭圆E的一对相伴点线（点伴线）. 即EC，ED与椭圆F相切，FC，FD与椭圆E相切.
　　（2）过点P作直线l′与椭圆F相切（即l′∥A′B′），则点Q与直线l′是椭圆E的一对相伴点线（点伴线）.
　　（3）过点A，B的椭圆E的切线为a，b，则点A与直线b是椭圆F的一对相伴点线（点伴线）；点B与直线a是椭圆F的一对相伴点线（线伴点）.
　　事实上，定理3、定理4也可以推广到非标准方程下的椭圆的情况.
　　推论3点P（x0，y0）关于椭圆Ax2+By2+Dx+Ey+F=0（点不在椭圆上）的相伴直线方程是
　　Ax0x+By0y+（x0+x）+（y0+y）+F=0.
　　
　　[⇩]相关椭圆的收敛性和扩张性
　　和相伴圆一样，如图11，椭圆F、椭圆F1、椭圆F2、……、椭圆Fn都与椭圆E相伴，当n→∞时，椭圆F就扩张成直线A′B′.
　　[F][F1][B][F2][P3][P2][P1][P][E][A][A′][B′][l0][l1][l2][C][C1][C1][C2][l3][D2][D1][D]
　　图11
　　如图12，椭圆F、椭圆F1、椭圆F2、……、椭圆Fn都与椭圆E相伴，当n→∞时，椭圆Fn就收敛成点B.
　　[F2][F][F1][B][P3][P2][P][D][l1][D1][D2][D3][B′][l2][l3][l∞][l0][A][A′][C3][C2][C1][C][E]
　　图12
　　
　　[⇩]相伴性的猜想
　　引理2任意两条离心率相等的圆锥曲线相似，如任意抛物线相似，任意圆相似等.
　　引理3任意指数类、对数类函数图象相似.
　　按相似曲线的变换法定义，引理2、引理3的证明并不难（本文证明略）.
　　圆、椭圆有相伴性，而且相伴曲线是相似的，那么猜测双曲线有相伴性，抛物线有相伴性，指数函数、对数函数图象也有相伴性. 而这还有待于进一步探索.
　　本文对相伴性的探索只是定性的，还没有进行过定量的分析.
　　笔者写此文来说明中学数学虽是数学的基础，但也可从中探宝. 本文仅起到抛砖引玉的作用，由于笔者能力有限，未进行深入探讨，望广大读者提出宝贵意见.
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