【对基本事件的再认识】 对田佳良事件的再认识

　　浙江省衢州高级中学324006 　　 　　摘要：本文通过概率问题中基本事件的课堂教学，结合学生的学习反馈，针对教师教与学生学中产生的困惑，对比几种不同教材关于基本事件的论述，经探讨提出两点教学思考. 从集合论的视角看：基本事件是元素，不是集合；从实验的视角看：基本事件应遵循概念，从试验可能出现的结果来获取.
　　关键词：基本事件；集合；元素；集合论的视角；实验的视角
　　
　　通过古典概型的教学，对基本事件的认识还有困惑.针对课堂教学中学生的反馈，结合教师间的探讨与反思，对基本事件有了更为深入的理解.本文从集合论和实验的视角，结合教学谈点个人看法，与同行交流. 为叙述方便称全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（下A）为“旧教材”，称普通高中数学课程标准实验教科书《数学》3（必修）为“新课程”.
　　
　　[⇩]比较新旧两种教材对基本事件的定义
　　[旧教材\&新课程\&“一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成.”
　　“在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素.”
　　“各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集.”\&“考察两个试验：……我们把这类随机事件称为基本事件.”
　　“基本事件有如下特点：
　　（1）任何两个基本事件是互斥的；
　　（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.”\&]
　　从“旧教材”对基本事件论述的前两句可以看出：把试验中可能出现的“结果”称为“基本事件”，把试验中可能出现的“结果”称为集合的“元素”，可是后一句却又把“基本事件”对应成“子集”.
　　从“新课程”关于基本事件的论述以及学生对前一节“事件的关系与运算”知识的掌握，不难看出教材把试验“结果”称“基本事件”并已看作“集合”.事件的互斥关系与事件的和，从集合论观点分析，它们是集合与集合之间的一些对应关系.
　　那么，从集合论观点看，“基本事件”到底是“元素”还是“集合”？
　　
　　[⇩]从集合论的视角看：基本事件是元素，不是集合
　　高等学校试用教材《概率论与数理统计教程》对基本事件有如下论述：“随机试验产生的每一个可能的结果，称为基本事件.因为随机试验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，它们的全体，称作样本空间，通常用字母Ω表示. Ω中的点，即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示.”“又因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一基本事件ω，即ω∈Ω. 也就是在试验中，Ω必然会发生，所以今后又用Ω来代表一个必然事件.相应地，空集可以看做是Ω的子集，在任何一次试验中，不可能有ω∈，也就是说永远不可能发生，所以是不可能事件.”
　　据上所述，从集合论的观点来看，基本事件ω是必然事件Ω的元素，不可能事件是不含任何基本事件ω的事件，任何事件A都是Ω的子集. 这一点在《数学》3（必修）教师教学用书第102页也有相同的表述：
　　“教科书第120页的‘探究’，要求学生找出事件与集合之间的一些对应关系.运用集合论的观点来处理事件，可以给出下面的对比表：”
　　[符号\&概率论\&集合论\&Ω\&必然事件\&全集\&\&不可能事件\&空集\&ω\&试验的可能结果\&Ω中的元素\&A\&事件\&Ω的子集\&……\&]
　　例如，抛掷一个骰子，它落地时向上的点数可能是情形1，2，3，4，5，6之一，即可能出现的结果有6种，因而有6个基本事件.若用“i”表示“出现的点数是i”，则必然事件Ω可简记为Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，如事件A=｛1｝，表示事件A只含有一个基本事件的事件，是单元素集. 旧教材中“各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集”的说法把“基本事件”和“只含有一个基本事件的事件”混称；新课程中“基本事件有如下特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和”的描述已把基本事件作为集合.这些都与元素和集合间的关系不符. 因此，笔者认为，从集合论观点看，新课程对基本事件特点的表述欠妥，可作如下描述：“基本事件有如下特点：（1）任何两个基本事件在一次试验中不可能同时出现；（2）任何事件（除不可能事件）都可以由基本事件组成.”（注：不可能事件可看成是不含任何基本事件的事件.）
　　
　　[⇩]从实验的视角看：基本事件应遵循概念，从试验可能出现的结果来获取
　　例1从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
　　分析为了得到基本事件，我们可以按照某种顺序，把所有可能的结果都列出来.
　　解析所求的基本事件共有6个：
　　A=｛a，b｝，B=｛a，c｝，C=｛a，d｝，D=｛b，c｝，E=｛b，d｝，F=｛c，d｝.
　　在教学本例时学生多有疑问，为什么从4个字母中任意取出两个不同字母的试验“按照某种顺序”所列出的结果只有6种？“先取到a后取到b”与“先取到b后取到a”是相同的结果吗？笔者认为，新课程把概率安排在“排列、组合”前学习，其目的是让学生能在“随机试验”中学习随机事件的概率，并从中体验“试验”结果出现的随机性和规律性，掌握统计的数学思想.
　　根据《数学》（必修）第二册（下A）对基本事件的定义，“一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件”，可见确定基本事件应以试验可能出现的每一个结果为依据.由此分析本例，其试验方法为“从4个字母中任意取出两个不同的字母”，是如何“任意取出”？采用“一把抓取”，还是“无放回地逐个抽取”？从学生现有的知识（刚刚学了随机抽样）要从4个字母中任意取出两个不同的字母，由简单随机抽样的方法可知，对每个字母采取无放回地逐个抽取.从该试验的角度出发，取出的元素间有顺序关系，是属于“排列”问题. 学生可以通过画树状图或列表的方法列出（a，b），（a，c），（a，d），（b，a），（b，c），（b，d），（c，a），（c，b），（c，d），（d，a），（d，b），（d，c），共有12个基本事件；分析教材中的解法，从4个字母中任意取出两个不同字母是采用一把抓取的方法进行试验，把取出的两个不同字母作为一组，取出的元素间没有顺序关系，是属于“组合”问题. 由此看来试验所采取的方法不同所构建产生的基本事件便不相同.
　　笔者从学生的反馈中感受到，新课程例1的解题表述，致使学生在学习本节例3、例5时产生极强的矛盾冲突.学生对“将一颗骰子先后抛掷2次产生36个基本事件”容易理解，对例3中“同时抛掷两个骰子产生36个基本事件”不易理解，为什么要给两颗相同的骰子分别标上1，2的记号，以示“有顺序”所得的不同结果方为正确？学生对例5中“从6听饮料中随机抽取2听，全部基本事件总数为30”产生疑问.该题能否采用“一把抓取”的方法确定基本事件？如果可以这样取出样本，那么从6听饮料中随机抽取2听饮料的全部基本事件总数为15，从解决问题的角度看并不影响概率的求解. 但由于题意已指明随机抽出样本用于质量检测，故应考虑简单随机抽样的方法确定基本事件.笔者认为获取基本事件应从实验出发，遵循试验可能出现的结果，倡导数学实验.
　　经备课组讨论认为，新课程例1对基本事件的描述给后续例3、例5的学习产生负迁移，教学时可作如下处理：
　　解析从4个字母中无放回地逐个取出两个不同字母的基本事件共有12个：
　　（a，b），（a，c），（a，d），（b，a），（b，c），（b，d），（c，a），（c，b），（c，d），（d，a），（d，b），（d，c）.
　　《数学》3（必修）教师教学用书指出，“由于排列组合的内容已放在《选修2-3》中，所以在古典概型的例题和习题中，仅限于能用列举法列出全部基本事件的问题”. 目前还有许多教辅用书，在求古典概型问题时，人为增加难度，并且，为图分析方便，常常借用取排列数、组合数的方法来确定基本事件，而不是遵循概念，从试验可能出现的结果来获取基本事件. 仍有“穿新鞋走老路”之嫌，教学中理应避之.
　　以上所述，仅为笔者从两个视角对基本事件的浅见，如有谬误，敬请同行指正.
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