正整数ｋ方和公式探求实录:正整数的平方和公式

　　宁夏大学数学计算机学院750021 　　 　　摘要：文章生动地再现了正整数k方和公式的探求过程，体现了新课程中自主探索，合作交流的理念，既发挥了教师的主导作用，又确立了学生的主体地位. 在各种思想的碰撞和交流中，师生的智慧和潜能得到了充分的发挥，从而既得到了知识的升华，又实现了教学相长，师生双赢.
　　关键词：研究性课题；归纳演绎；猜想证明；线性表示
　　
　　[⇩]问题的提出
　　正整数k方和在有关资料中都是以公式的形式给出的.（如12+22+32+…+n2＝就以醒目位置放在原高中数学代数下册的封面上.）现行高中数学教材在介绍了数学归纳法之后，课本习题要求学生要熟练地用数学归纳法证明诸如12+22+32+…+n2＝，13+23+33+…+n3=等几个特殊等式. 这些式子不光外形诱人，而且构思别致. 其强烈的数学美极大地吸引着教者与学者，拓展了学生的思维空间，增强了学生的探索能力，能真正让学生自主研究知识的发生发展过程. 在研究性课题的教学中，我要求学生开展以下几个方面的问题的研究工作.
　　1. 以上两个关于正整数n的命题能否用演绎法证明？若能，请给出证明，并就归纳法和演绎法予以比较.
　　2 . 以上两式若右端结果不知道，你能推出它们的结果吗？
　　3. 类比以上两式的处理方法，让我们一起来完成正整数k方和公式的探求.
　　
　　[⇩]探讨与研究
　　问题一经提起，犹如“一石激起千层浪”. 新的问题、新的角度、新的可能性一下子把学生们又带入到一个新的探索的领域. 他们群情激奋，人人“摩拳擦掌”，个个“跃跃欲试”，互相交流、共同探讨、查阅资料、搜寻有关知识，力争以最快的速度完成这个课题的研究. 不出所料，第二天，以上两等式的新的证明方法就得出来了. 现摘录如下：
　　设an=，则an-1=.
　　故an－an-1=－=n2.
　　又an=a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an-1）
　　=12+22+32+…+n2，
　　所以12+22+32+…+n2＝.
　　仿此也证明了13+23+33+…+n3=.
　　如此有新意的解法，我们还是首次目睹. 师生都沉浸在探讨与研究的欢乐之中. 至于直接给出这两个式子的结果，多数学生无太多的办法. 但也有部分学生从特殊化做起，通过观察，发现了规律：
　　若设S1（n）=1+2+3+4+…+n，
　　S2（n）=12+22+32+…+n2，
　　则有
　　[n\&1\&2\&3\&4\&…\&S1（n）\&1\&3\&6\&10\&…\&S（n）\&1\&5\&14\&30\&…\&]
　　观察发现
　　＝， ＝，
　　＝， ＝…
　　归纳猜想：
　　＝，
　　即S2（n）＝S1（n）=・=.
　　最后又用数学归纳法给出证明.
　　好一个“观察，归纳，猜想，证明”. 这一数学思想方法运用得如此流畅. 我充分肯定了这些同学的良好的创新意识和探究能力，并在此基础上小结了归纳法和演绎法的关系，讲述了猜想在数学发现和数学发明中的作用，并告诉同学们“伟大的发现往往来自天才的想象和猜想”. 要记住“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”.
　　
　　[⇩]反思突破
　　用以上方法给出了12+22+32+…+n2的结果之后，没想到再推导13+23+33+…+n3的结果时却遭遇了尴尬. 这说明解决这类问题更好的方法还等待我们去发掘. 于是，我又要求学生对以上问题的解决过程进行认真反思，不妨再调整一下思维角度，并告诉他们：创新探索是勤奋和积累的一种升华，必须付出艰辛的努力. 同时，我要求他们在课后完成以下问题的解答.
　　观察并计算下列各式：
　　（1）1+2+3+…+n；
　　（2）1・2+2・3+3・4+…+n（n+1）；
　　（3）1・2・3+2・3・4+3・4・5+…+n（n+1）（n+2）.
　　由此得出1・2・3…k+2・3・4…k（k+1）+…+n（n+1）…（n+k－1）的结果，并给出证明. 同时，我以坚定地口气对他们说道：“攻克了这道难题，正整数k方和公式就会由你们亲手给出.” 启发、诱导、鼓励、点拨，促使学生脚踏实地、耐心细致、独立思考、果断机智、有条不紊、勇于探索、乐于进取. 艰苦的劳动终于有了回报. 1・2・3…k+2・3・4…k（k+1）+…+n（n+1）…（n+k－1）的结果出来了. 我问同学们：“你们是怎么推出来的？”大家异口同声说道：“观察――归纳――猜想――证明.” 看得出来，数学思想方法的威力已起到了不可低估的作用. 正在这时，一位学生举手示意，他还有更好的解法. 同学们都以敬佩的目光看着他，这时我请他走到黑板前板演并讲述他的解法.
　　1・2・3…k+2・3・4…k（k+1）+…+n（n+1）…（n+k－1）
　　=k！（C+C+…+C）
　　=k！（C+C+…+C）
　　=k！C
　　=.
　　漂亮，太漂亮了！此法可谓简单、清新、一气呵成. 师生的高兴之情难以言表. 有了以上结果，同学们又开始了新的冲刺. 一位同学讲述了在他证明公式1・2+2・3+3・4+…+n（n+1）=之后，得出12+22+32+…+n2+（1+2+3+…+n）=，也即12+22+32+…+n2=-=的思考过程，同学们表示赞同. 接下来，按照上面的方法大家又证明了13+23+33+…+n3=.
　　以上方法从理论上讲，正整数k方和公式的给出应该不成问题，但在实际操作中，1・2・3…k+2・3・4…k（k+1）+…+n（n+1）・…（n+k－1）如何用ik，ik-1，ik-2，…，i来线性表示却又成了难题. 显然解决这个问题的关键在于弄清f（n）=n（n+1）（n+2）…（n+k－1）这个关于n的k次多项式.
　　当k的数值（k∈N+）较小时，以上的工作是很好做的. 当k较大时，这个k次多项式到底是什么样的形式呢？
　　
　　[⇩]升华拓展
　　最后让我们聚焦在f（n）=n（n+1）（n+2）…（n+k-1）这个关于n的k次多项式. 因为这个多项式的根为0，－1，－2，…，－（k－1），所以这个多项式的常数项为0. 又知其最高次项的系数为1.
　　故可设
　　f（n）=nk+α1nk-1+α2nk-2+…+αk-1n.
　　联想根与系数的关系，我们不难得到：
　　α1=1+2+3+…+（k－1），
　　α2=[∑lp][1≤l 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文