让数学活动成为探索的桥梁:数学桥梁问题
浙江平阳昆阳第四中学325400 摘要：著名心理学家皮亚杰说：“学生的思维从动作开始，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展.”中学生的思维正处在以具体形象思维为主向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们对数学的理解往往是从动手操作开始的.
关键词：数学；活动；探索
作为一种认识活动，操作一方面是手与眼进行协同的活动，是对客观事物的动态感知过程；另一方面，又是手与脑的密切沟通，把外部动作转化为内部语言形态的智力内化方式. 这两方面意义的融合，构成了操作活动的特定内涵. 由于操作活动更能引起和促进学生把外显的动作过程和内隐的思维活动紧密结合起来，使之成为“思维的动作”和“动作的思维”，因此，在推进学生内化知识，发展逻辑思维和空间观念以及加强意义识记等方面都起着积极的作用. 在教学实践中，很多教师已认识到操作的重要性，也进行了一系列操作活动实践，收到了一定的效果. 但笔者发现许多操作是为操作而操作，学生没有感受到明确的目的和要求，没有进行深刻地体验和深入地探究，致使操作没有充分发挥为培养学生探究能力和数学思考而服务的功效. 现结合一些实例谈谈笔者的想法和做法.
[⇩]从被动走向主动
活动式数学教学要从不同年级学生的心理、生理年龄及认知水平出发，教学中遵循学生的认知规律，组织学生进行角色情感体验，做到循序渐进，不断提高. 培养学生对数学的积极态度是中小学数学教学的一个共同目的，帮助学生体验学习过程的欢乐是达到目的的一种手段. 让学生想象自己成为一个数、一个点，体验数学的美妙与奇特. 如针对初一学生对数轴的认识，可以设计这样的活动：全班分为三个大组分列排好，第一位同学举一个箭头代表方向，教师任意指定某位同学作为原点位置，把0写在大卡片上，挂在相应同学的胸前，每个人代表数轴上不同的整数点. 由教师发出－3，-4，绝对值大于2小于5的数，6的相反数等指令，符合教师指令的同学举手，比赛各个小组的正确率高低. 通过学生扮演实数，组成数轴这一活动，学生对数轴的数和点有了深刻的理解. 再如利用天平的工作原理和学生探讨等式的性质，让学生的思维从具体过渡到抽象的数学模型；在不等式组的解集确定时，可以将两个学生的不同身高作为标准，其他学生身高与之比较来探究掌握解集口诀；在全等三角形的认知教学中，为培养学生发现复杂图形中全等三角形的能力，设计让学生先以体操教练员的身份，训练和体验其所制作的三角形做平移、旋转、沿线翻折和围绕点翻转等基本动作，以小组为单位进行表演评分，让学生以裁判员的眼光判断两个三角形经过那些基本动作能够重合，最后小组合作比赛寻找对应边、对应角的规律，寻找最多的小组获胜. 通过变换角色，让学生由被动学习转为主动参与体验，学习效果明显提高.
[⇩]从接受走向自主设计
操作不仅是为了让学生获得活动经验和相关知识，它还应当承担起培养学生学会自主探究和数学思考的任务. 笔者发现许多操作都是由教师事先设计好的，学生根本不用思考怎样设计，更不知道为什么这样设计，他们只是在完成教师下达的一个个指令，被动地接受操作.
一位教师在教“平行四边形的不稳定性”的性质时，问：我们已经知道三角形具有稳定性，那么平行四边形具有稳定性吗?学生众说纷纭. 于是该教师拿出平行四边形框架模型，请几个学生上台向多个方向拉动模型. 学生发现平行四边形容易变形. 于是，教师就开始引导学生举例说明生活中哪些地方应用了这一性质.
上述操作活动中，学生只是在接受教师已计划好的操作方案. 教师未能激发学生探究的主动性和积极性，学生也未进行深入探索. 为此，笔者改进如下.
师：你打算怎样研究平行四边形是否具有稳定性呢？
（学生自由发表意见）
师：请同学们回想一下，我们是怎样研究三角形具有稳定性的？
生：我们先联系生活，再猜想，因为生活中许多易变形的东西用上三角形就可以固定了，所以我们猜想三角形具有稳定性.
生：我们拉三角板，发现怎么拉也不变形.
生：我们拉许多三角形框架模型，发现怎么拉也不变形.
师：现在，你们猜想平行四边形具有稳定性吗？
生：我认为平行四边形不具有稳定性. 因为校门口的电动门上有许多平行四边形，但门可以伸缩，
生：还有包装苹果的网兜上有许多平行四边形，网兜可以拉动.
生：用木条做几个不同形状的平行四边形框架模型，也来拉一拉，看是否拉得动，如果拉得动就说明平行四边形不具有稳定性.
这时，教师再让学生亲手拉多个不同形状的平行四边形框架模型，学生发现平行四边形真的容易变形.
上述教学过程就像一个小专题研究，目的明确，层次清晰，浑然一体，一气呵成. 教师用问题引领操作，学生的设计先于操作. 教师先提出问题，让学生明确探究方向，再引导学生联系已有的数学活动经验和日常生活经验进行类比猜想，尝试迁移，最后自己设计实验进行验证. 此时，自主设计操作成为学生研究问题的内在需要，是一种探求知识的途径和方法. 这样的操作充分激发了学生探究的主动性和积极性，学生不但发现了知识，而且学会了思考，学会了探究. 他们的探究能力在设计操作的过程中得到有效的培养，所渗透的探究方法对学生终身有用.
[⇩]从表面走向深层
学生动手操作，是在视觉与触觉、知觉协同感知事物的同时，以内部语言悄悄地展开思维，他们在操作中所获得的形象和表象及时地推动着他们进行分析、综合、比较、抽象和概括，深刻地理解知识的本质意义. 为了使操作活动向纵深发展，更有成效，就必须把实际操作与深入思考紧密结合起来. 但笔者发现，常见的一些操作比较肤浅，学生的体验既不丰富也不深刻.
把初中学生的研究性学习定位于以学生的主体实践活动为基础展开学习活动，让学生借助于一定的手段，运用多种感官，通过自己的主体活动，在做中学，学中做，使学、做融为一体，实践活动贯穿于研究性学习活动的始终. 学的最好方法是动手做，教师要创设让学生动手实验、制作的机会. 如在立体图形的展开图――正方体教学过程中，教师设计5×5的大方格纸，让学生动手剪出正方体的平面展开图来做正方体，并由学生总结出展开图的11种类型. 用做好的同一尺寸的立体方块，还可以设计小组合作搭摆立体模型的活动，给出侧视图的平面形状，由学生搭建其可能对应的立体模型. 在有理数的乘方一节，由小组统计折叠剪绳的根数，来寻求21，22，23，24…的结果和探讨剪的次数与指数的联系.
[⇩]由学校走向社会
面向新世纪的数学教学理念是：“人人学有用的数学，有用的数学应当为人人所学，不同的人学不同的数学. 数学教育应努力激发学生的学习情感，将数学与学生的生活、学习联系起来，学习有活力的、活生生的数学.”如何根据教材的特点，把枯燥的数学变得有趣、生动、易于理解，让学生活学、活用，从而培养学生的创新精神与实践能力呢？通过反复思考，我们就从课堂教学入手，联系生活实际讲数学，引导学生关注现实社会现象，关注社会热点问题，把生活经验数学化，把数学问题生活化. 教师可创造性地融入一些生活素材，如股票、利息、保险、储蓄、分期付款等方面的数学问题，结合教材的教学内容，创设情景，设疑引思，用学生熟悉的生活经验作为实例，引导学生利用自身已有的经验探索新知识，掌握新本领. 加强数学与生活的联系，让学生感到数学就在身边，身边处处有数学，从而增强学好数学的信心，用已掌握的知识来解决自己身边的实际问题，形成“问题情境――建立模型――解释应用”的模式. 如以“五一”“十一”旅游黄金周为背景，提供有关数据，编应用题，还可进一步拓展，通过解决提出的问题，你有什么感受？我们应该如何做？
[⇩]从依赖走向中介
“手与脑有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更加明智；脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子.”手与脑的这种联系，要求教师在指导学生进行操作时必须紧密结合思维进行指导. 在教学中，必要的操作是需要的，但如果仅仅停留在操作层面或依赖操作是远远不够的，因为数学最终是要走向理性思考的. 教师应善于引导学生在适当的时候跳出具体的、直观的操作，从相对抽象、更为一般的层面上去认识方法，这样学生才能真正建立起对数学模型的认识和理解，把认识和推理提高到一个更高的水平.
有这样一道习题：至少要用多少块棱长为1厘米的小正方体才能拼成一个较大的正方体?
一位教师在发现许多学生无从下手时，便启发学生先拼一拼，再数一数. 学生通过动手操作，发现至少要用8块. 此题的教学到此结束.
笔者认为这种操作只停留在表面，只为解决此题服务，教者并未引导学生借助操作及时进行深入探究：为什么会是8块？这其中有什么规律吗？
笔者改进如下：
在学生通过操作得出8块后，趁势引导学生观察并思考.
师：为什么会是8块？
生：因为沿着长、宽、高各都摆了2块，每层都要摆2×2=4块，要摆2层，所以是4×2=8块.
师：你会列式计算吗?
生：用2×2×2=8块.
生：23=8块，
师：每个“2”分别表示什么？
生：每个“2”分别代表长、宽、高.
师：你从中发现了什么？
生：总块数等于长、宽、高的乘积.
生：总块数等于正方体棱长的立方.
师：这个发现究竟对不对呢，需要验证. 假如要拼一个棱长为3厘米的正方体，至少需要多少块边长为1厘米的小正方体?
尽管一些学生还是依赖动手拼，但许多学生已开始借助表象，进行想象并抽象成算式：3×3×3=27块，或33=27块.
师：假如要用一个棱长为a厘米的正方体（a为自然数）拼成一个较大的正方体，至少需要多少块这样的小正方体?你能想象出拼成的图形吗?
……
经过这样的师生互动，笔者借助操作及时把感性认识上升到理性认识，把特殊转变到一般，把形象引向抽象，使探究不断深入，促进了学生空间观念的形成和抽象思维的发展. 学生不但发现了规律，而且体验到探究的方法，并感受到探究的乐趣与价值.
总之，要使操作更有探究性，更能促进学生思维的主动发展和探究能力的不断提高，就要让操作与明确的目的同在，与仔细的观察同在，与理性的思考同在，与准确的表达同在.