信号与系统课程中的极限问题|极限挑战 第二季 免费

　　摘 要 极限法是某些信号与系统教材中经常运用的数学方法之一，但往往不注意极限的应用条件，导致一些错误结果。针对极限法使用时学生常见的疑难问题进行分析，给出解释，提出使用建议。
　　关键词 信号与系统；极限法；奇异信号
　　中图分类号：G642.4 文献标识码：B 文章编号：1671-489X(2011)36-0063-02
　　Talk about Method of Limits in Course of Signals and Systems//Zhu Ying, Yue Zhenjun, Jia Yongxing
　　Abstract The method of limits is a regular math method in some teaching materials of Signals and Systems, but due to the careless about the use conditions, some results self-contradictory or different from the law of math are appeared. Analysis the puzzling questions which appeared regularly in the using of limit method, give an explanation, offer a using suggestion.
　　Key words signals and systems; method of limits; singular signals
　　Author’s address Institute of Science, University of Science and Technology of People’s Liberation Army, Nanjing, China 211101
　　
　　在信号与系统课程的不少教材中，经常会出现运用极限法来求解相关问题。譬如，定义单位冲激信号，求解一些典型信号的傅里叶变换等。在教学过程中，常常有学生提出疑问：看似一样的问题，为什么有的能用极限法，而有的却不能？实际上极限法并非普遍适用，而是有条件限制的，但一般教材中都未对此作出说明，使得学生对此问题感到很迷惑。本文就极限使用问题作出分析，明确极限法使用条件，对类似问题给出解决建议。
　　1 应用极限法求奇异信号变换应用示例
　　傅里叶变换本质上是一个积分变换，在通常的积分意义下，奇异信号不存在傅里叶变换，解决这一问题的方法之一是使用极限法，即将奇异信号作为规则信号的极限来求解。
　　一个典型信号――符号函数由于其不满足绝对可积条件，构造信号，对取的极限就可以得到符号函数（图1）[1-2]。
　　信号满足绝对可积条件，利用基本的傅里叶变换对，可以求出其傅里叶变换，则符号函数的傅里叶变换。
　　另一个不满足狄氏条件的典型信号是阶跃信号，它也存在傅里叶变换。在教学过程中，很多学生认为可以采用与符号函数一样的方法来求解阶跃信号的傅里叶变换。将阶跃信号看成单边指数衰减信号取极限得到，即。按照分析，则阶跃信号的傅里叶变换F。
　　而换个角度看，阶跃信号可以分解成直流与符号函数的线性组合，如果利用傅里叶变换的线性性质计算，则其傅里叶变换ππ[3]。
　　此时两种方法计算的结果不相等，说明极限法和傅里叶变换的性质在某些时候会出现矛盾结果。而在教学过程中，学生都对两者结果不一致产生疑问，可一些教材上并未说明原因。
　　2 极限法适用原因分析
　　从上面的分析过程可以看出，看似很相像的两个信号同样采用极限法求解时，一个能用，另一个却不能用，说明极限法不是在任何情况下都适用的。
　　使用极限法求解傅里叶变换时，调整傅里叶变换与极限的求解顺序，即利用公式limFF，实质上是交换了积分与极限的顺序。而在高等数学中，积分与极限运算必须满足一定的条件才可交换，这个条件就是勒贝格控制收敛定理[4]。设是E上的可测函数列，如果在E上满足，存在L可积函数，使得，则在E上L可积，且。
　　即函数要满足可测、有界、收敛条件，其积分与极限才可换序，而奇异信号不满足此条件，因而交换积分顺序后，可能得到正确结果，也可能得不出正确结果，这正是极限法求奇异信号傅里叶变换有时正确有时不正确的原因。
　　3 信号与系统课程中相关内容的处理建议
　　由于极限法不能普遍适用，且适用条件比较复杂，因此建议在信号与系统课程中尽量规避极限问题，寻找其他解决方法。
　　3.1 单位冲激信号的定义
　　关于冲激函数的由来，多数教材中介绍了利用分配函数的概念采用常规信号求极限的方法，但此方法的推导过程较复杂，容易使学生产生迷惑。因此，笔者建议在介绍冲激信号时，直接采用狄拉克给出的定义方式，规定函数满足。
　　3.2 符号函数、阶跃信号两个信号的傅里叶变换
　　这两个信号的傅里叶变换可以利用信号和相关性质来进行求解。因为有，而冲激信号的傅里叶变换可直接通过公式计算得到，应用傅里叶变换的时域积分性质可以得到Fπ。符号函数与阶跃信号间存在线性运算关系，则其傅里叶变换Fππ。
　　4 结束语
　　在本课程中引入奇异信号，而很多数学运算对这类特殊信号并不适用。因此，在对信号进行运算时，需要注意运算方法和运算定理的使用条件，尽量减少有条件限制的数学方法的使用。
　　参考文献
　　[1]管致中,夏恭恪,孟桥.信号与线性系统[M].4版.北京:高等教育出版社,2004.
　　[2]燕庆明.信号与系统教程[M].北京:高等教育出版社,2009.
　　[3]郑君里,等.信号与系统[M].2版.北京:高等教育出版社,2003.
　　[4]杨彩萍.黎曼积分下极限与积分交换次序问题讨论[J].中国民航学院学报,2005,5(23):148-149.
　　[5]徐德义,叶牡才.从Riemann积分到Lebesgue积分[J].高等函授学报:自然科学版,1997(6):16-19.
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