【一类时变大系统的稳定性分析】一类四阶非线性系统的稳定性 徐静

　　摘要:针对一类时变大系统,在据其内部互联关系所建有向图动态互联矩阵符合块三角分解条件时,对矩阵进行分解,同时建立与原系统等价的新系统模型,最后基于李雅普诺夫稳定性理论对新系统在一定条件下的稳定性进行了分析,给出了结论与证明。
　　关键词:时变大系统 动态关联矩阵 块三角分解
　　中图分类号:O231文献标识码:A
　　
　　1 引言
　　 随着科技发展,电力、多智能体系统等大型系统的数学模型维数及复杂性日益增加,系统各部分的联系也更加密切。由此人们在大系统研究过程中常将其适当分解为众多互联子系统,通过子系统的性质组合得出整个大系统的性质[1]。
　　 本文对一类可应用块三角分解原理[2]按照系统内在互联关系进行分解,且分解所得新系统符合特定形式的时变大系统模型进行了分析,并对其在一定条件下的稳定性给出了判定与证明。
　　
　　2 系统模型描述及分解
　　 考虑一类时变大系统为
　　 (1)
　　 其中xRn为系统状态向量,且||x||,其顶点vi的存在与孤立子系统(3)相对应,而边的存在取决于式(4)中eij,时表示图中存在一条由结点vj指向vi的边且权值为,i,j=1,2,…,n, i≠j。
　　 则不考虑权值时有动态互联矩阵 (5)
　　 若有向图D为非强连通图,e可进行块三角分解[2];对图的结点重编号并整理后,记新动态互联矩阵为
　　 (6)
　　其中为阶块矩阵,。据重写系统(2)为与其等价的形式有
　　 (7)
　　其孤立子系统:(8)而(9)
　　设(7)、(8)恒满足解的唯一性条件。
　　
　　3 系统稳定性的判定
　　 定义1.若有,,,是不减的,则称连续函数是K类函数;若同时有,则称为类函数,记为KR[4]。
　　 定理1.若①系统(7)的孤立子系统(8)在平衡点0处是一致渐近稳定的;
　　②存在常数,类函数,K类函数,正定函数=,并有(10)(11)成立,其中i=1,2,…,m,表示沿系统(8)轨迹求导。
　　③ (12)
　　其中i,j=1,2,…,m,=表示函数梯度。
　　④四个条件均满足,则系统(7)在平衡点0处是一致渐近稳定的。
　　证明:对分别沿系统(7)、(8)轨迹求导,有及两式成立;条件②成立时,由以上两式及式(11)有
　　 (13)
　　条件③成立时,结合式(12)有
　　= (14)
　　设
　　
　　则由式(6)与上式有
　　
　　则条件④成立时B的特征值均为负。
　　设B的最大特征值为,,则
　　故系统(7)在平衡点0处一致渐近稳定,则系统(2)及(1)在平衡点0处一致渐近稳定。
　　
　　参考文献
　　[1] 达庆利,何建敏.大系统理论和方法[M].东南大学出版社,1989.5.
　　[2] 张福恩.大系统的分解.信息与控制[J].1980.9(4):26～31.
　　[3] 孙惠泉.图论及其应用[M].北京:科学出版社,2004.9.
　　 [4] Jean-Jacques E.Slotine,Weiping Li.程代展等译.应用非线性控制[M],北京:机械工业出版社,2006.4.
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