【巧用分离参数法求参数的取值范围】相关系数的取值范围

　　一、分离参数法求参数取值范围在恒成立问题中的应用　　恒成立问题能够很好的考查函数、不等式等知识以及化归等数学思想，是一种常考题型．分离参数法是常用的求参数取值范围的策略之一，在恒成立问题中常用分离参数法求参数取值范围．a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min．用此法首先要设法分离参数，然后求函数f(x)的最值．
　　例1当0≤x≤12时，|ax－2x3|≤12恒成立，求实数a的取值范围．
　　思路点拨：本题是恒成立问题中求参数取值范围，注意到|ax－2x3|≤12中含有绝对值，先用公式去绝对值得－12≤ax－2x3≤12，问题转化为ax－2x3≥－12ax－2x3≤12在［0,12］上恒成立．此时要分离参数a，注意到x的符号，需对x是否为0分类讨论．
　　解析：10当x=0时，|ax－2x3|≤12恒成立．
　　20当012，
　　g′(x)=4x－12x2＝(2x-1)(4x2+2x+1)2x2．
　　∴f′(x)>0,g′(x)0,b>0），在（0,ba］为减函数，在［ba,+∞）上为增函数．这是非常有用的结论.二次方程中求参数的取值范围，可分离参数后转化为求函数的值域问题．数形结合，直观求解．
　　三、分离参数法求参数取值范围在函数单调性中的应用
　　函数单调性的应用问题常涉及到求参数取值范围．此类问题可转化为恒成立问题或实根分布问题来求解．
　　例3已知函数f(x)=(x2－ax+5)ex在区间［0,+∞）上单调递增，求a的取值范围．
　　思路点拨：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增可以转化为f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．分离参数法可求解．
　　解析：f(x)在区间［0,+∞）上单调递增f′(x)≥0在［0,+∞）上恒成立．
　　∵f′(x)=(2x－a)ex+(x2－ax+5)ex=ex(x2－ax+2x－a+5)=ex［x2+(2－a)x+5－a］
　　∴ex［x2+(2－a)x+5－a］≥0在［0,+∞）上恒成立．
　　原命题x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．
　　方法一：（转化为恒成立问题）
　　x2+(2－a)x+5－a≥0在［0,+∞）上恒成立．
　　a(x+1)≤x2+2x+5在［0,+∞）上恒成立．
　　注意到x+1>0故上式a≤x2+2x+5x+1在［0,+∞）上恒成立．
　　令g(x)=x2+2x+5x+1，则原命题a≤g(x)min，下求g(x)在［0,+∞）上的最小值．
　　g(x)=x2+2x+5x+1=(x+1)2+4x+1=(x+1)+4x+1≥4，当且仅当x+1=4x+1时，
　　即x=1时g(x)min=4，所以得a的取值范围a≤4．
　　方法二：（转化为二次方程实根分布问题）
　　10当摹 0即－4≤a≤4时，f′(x)≥0在［0,+∞）恒成立．∴f(x)在［0,+∞）上单调递增．
　　20当 >0即a>4或a<－4时，a－22<0f(0)≥0a<－4
　　综上得a的取值范围是a≤4．
　　求参数的取值范围问题，我们常常利用转化的思想，将问题转化为与之等价的恒成立问题或二次方程根的分布问题，巧妙分离参数，求参数范围问题往往能够顺利地解决．
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