2016立体几何大题专项练试卷 立体几何专题试卷

高三下学期文科数学立体几何大题练习

1、如图，已知平面，平面 为的中点. （1） 求证：平面平面； （2） 求二面角的余弦值.

，为等边三角形，

，

2、将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，

AE ⊥平面ABD ，且AE =2．

（1）证明：BD ⊥CE ；

（2）求AE 与平面BDE 所成角的大小；

（3）直线BE 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面ADE ，

若存在，求点M 的位置，若不存在，请说明理由．

3、如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，

且PA =AD =1, AB =2, ∠PAB =120, ∠PBC =90，

（1）求证：平面PAD 与平面PAB 垂直；

（2）求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值．

4、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面∆ABC 是等腰三角形

∠BAC =120°，AB =

的中点.

1

AA 1=4, CN =3AN , 点M ，P ，Q 分别是AA ，AB ，BC 2

（Ⅰ）求证：直线PQ //平面BMN ；

（Ⅱ）求直线AB 与平面BMC 所成角的正弦值.

5、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1．

(Ⅰ) 求证：AB 1⊥平面A 1BC 1；

(Ⅱ) 若D 为B 1C 1的中点，求AD 与平面A 1BC 1所成的角． 6、

6、在四棱锥P -ABCD 中， AD //BC ，∠ABC =∠APB =90︒，点M 是线段AB 上的一点，且PM ⊥CD ，AB =BC =2PB =2AD =4BM ．

（1）证明：面PAB ⊥面ABCD ；

（2）求直线CM 与平面PCD 所成角的正弦值．

（第20题）

B 1(第20题图) 11

B

A

C

C

D

B

8、如图（1）在直角梯形ABCD 中，AB//CD，AB ⊥AD 且AB=AD=

1

CD=1，现以AD 为2

一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿AD 将正方形翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直如图（2）。 （1）求证：平面BDE ⊥平面BEC （2）求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值。

D E C

D

A 图1

图2

1解法一：（1）设CE 中点为M ，连BM ，MF 则BM ⊥CE , 由MF //BA 可知MB //FA

∵DE ⊥平面ACD ∴DE ⊥AF 即DE ⊥BM

∴BM ⊥平面CDE , 又∵BM ⊂平面BCE , ∴平面BCE ⊥平面CDE （2）过M 作MD ⊥EF 于P ，∵BM ⊥平面CDE ∴BD ⊥EF ∠BPM 即是二面角B -EF -D 的平面角的补角

1∵BM =

MP ∴cos ∠BPM =.

41

即二面角B -EF -D 的余弦值为-.

4

解法二：设AD =DE =2AB =2a ，建立如图所示的坐标系A -x y z ，则 A (0，0，0), C (2a ，0，0), B (

0,0, a ), D a ,0, E a , 2a .

(

)()

⎛3⎫∵F 为CD

的中点，∴F a . ,0⎪ 2⎪⎝⎭

⎛ ⎫

(1) 证明:

∵AF = 3a ,0⎪, CD =-a ,0, ED =(0,0, -2a )，

2⎪⎝⎭

∴AF ⋅CD =0, AF ⋅ED =0，∴AF ⊥CD , AF ⊥ED .

()

∴AF ⊥平面CDE ，又AF //平面BCE ，

∴平面BCE ⊥平面CDE .

n 1⋅BF =0 (2) 解: 设平面BEF 的法向量n 1=(x , y ,1) ，由n 1⋅BE =0，可得：x +1=0,3x -2=0

3

n 1=(, 同理可求得平面DEF

的法向量

2 3n 2=(-,

2

n 1⋅n 211=-, 二面角B -EF -D 的余弦值为-. cos θ=44|n 1|⋅|n 2|

2（1）略----------5分； （2）45--------5分； （3）M 为BE 的中点--------5分

3．【解题思路】

（Ⅰ）作EM ⊥AB , 交AB 于M ，连接DM ， ∆ABE 为等腰直角三角形

∴M 为AB 中点 AB =2CD =2BC =2，

是边长为1的正方形∴A B ⊥D M ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ∴四边形B C D M

EM DM =M ∴AB ⊥面DEM ∴AB ⊥ED ；

（Ⅱ） AB ⊥BC ，面ABE ⊥面ABCD ，面ABE ABCD =AB ，

∴BC ⊥面ABE ，直线CE 与面ABE 的所成角为∠CEB ，

BC =1, BE =∴

CE =sin ∠CEB =

4解(Ⅰ) 取

.

AB 中点G ，连结PG , QG 分别交BM , BN 于点E , F ，则E , F 分别

为BM ,

而GE //

BN 的中点，连结EF ，则有EF //MN

，

11

AM , GF //AN 22

所以

GE GF 1GE 1GF AN 1

== =, ==，所以

EP FQ 3EP 3FQ NC 3EF //PQ ，又 EF ⊂平面BMN

，PQ ⊄平面BMN

所以 所以

PQ //平面BMN

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分

(Ⅱ) 过A 作AD ⊥

BC 于D ，连接MD , 作AO ⊥MD 于O ，连接BO ，

MA ⊥平面ABC ， ∴ MA ⊥BC

BC ∴BC ⊥平面ADM ∴BC ⊥AO

又AD ⊥

AO ⊥MD ∴AO ⊥平面BCM ∴∠ABO 就是AB 与平面ABC 所成在角.

在R t ∆ADC 中，

∠DAC =60o ，∴AD =2.

在∆R t ADM 中， MD =25，AO =

45

, 5

sin ∠ABO =

AO 5

=AB 5

. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14分

5、由题意知四边形AA 1B 1B 是正方形，故AB 1⊥BA 1． 由AA 1⊥平面A 1B 1C 1得AA 1⊥A 1C 1．

又A 1C 1⊥A 1B 1，所以A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，故A 1C 1⊥AB 1． 从而得 AB 1⊥平面A 1BC 1． ………… 7分

(Ⅱ) 设AB 1与A 1B 相交于点O ，则点O 是线段AB 1的中点． 连接AC 1，由题意知△AB 1C 1是正三角形．

由AD ，C 1O 是△AB 1C 1的中线知：AD 与C 1O 的交点为重心G ，连接OG ．

由(Ⅰ) 知AB 1⊥平面A 1BC 1，故OG 是AD 在平面A 1BC 1上的射影，于是∠AGO 是AD 与平面

A 1BC 1所成的角．

在直角△AOG 中，AG ＝所以sin ∠AGO ＝

AO

．

AG

故∠AGO ＝60°，即AD 与平面A 1BC 1所成的角为60°．………… 15分

2

AD 1， AO AB ，

8、⑴证 平面ADEF ⊥平面ABCD

又 ADEF 是正方形 ∴E D ⊥A D ∴ED ⊥平面ABCD 又 平面EDB ⊥平面ABCD

, A ⊥B 又 ABCD 是直角梯形 A B //C D AB =AD =

A D

1

CD =1 得

D B =B C =2

∴BD 2+BC 2=DC 2

∴∠DBC =90︒ ∴BC ⊥BD

∴BC ⊥平面EBD

∴平面EBD ⊥平面EBC 7分

⑵解： ADEF 是正方形 ∴AD //EF

EF ⊂平面BEF , AD ⊄G 平面BEF ∴AD //平面BEF

∴D 到平面BEF 的距离与A 到平面BEF 的距离相等 又 AD ⊥AF , AD ⊥AB

∴AD ⊥平面BEF AD //EF

∴EF ⊥平面ABF ∴平面ABF ⊥平面BEF 过A 作EB 的垂线垂足为H ，则AH ⊥平面BEF ∴A 到平面BEF 的距离为AH

AB =AF =1

∴AH =

又 BD =则sin θ=

12分

设BD 与平面BEF 所成角为θ

AH 1

= BD 2

6、（1）由AB =2PB =4BM ，得PM ⊥AB ，

又因为PM ⊥CD ，且AB CD ，所以PM ⊥面ABCD ，……5分 且PM ⊂面PAB ．所以，面PAB ⊥面ABCD 。……7分

（2）过点M 作MH ⊥CD ，连结HP ， 因为PM ⊥CD ，且PM MH =M ，

所以CD ⊥平面PMH ，又由CD ⊂平面PCD ，

所以平面PMH ⊥平面PCD ，平面PMH 平面PCD =PH ，过点M 作MN ⊥PH ，即有MN ⊥平面PCD ，所以∠MCN 为直线CM 与平面PCD 所成角．……10分

P

在四棱锥P -A B C D 中，设AB =2t ，则

CM =

75

t ，PM =t ，MH =t ，221047t ，MN =t 516

MN 7=，即直线CM 与CM 40

7．……15分 40

A M

D

∴PH =

C

从而sin ∠MCN =

平面PCD 所成角的正弦值为