静电场 第3章 静电场分析
第3章 静电场分析
以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场(包括恒定电场) 的特性和求解方法。 建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程，以及电介质的特性方程，将静电场的求解归结为电位问题的求解。
导出泊松方程和拉普拉斯方程，确立电场的边界条件。 介绍电容的计算，电场能量及静电力的计算。
§3.1 真空中静电场的基本方程
由静止电荷形成的电场称为静电场。 一、静电场分析的基本变量 1、场源变量—电荷体密度ρ(r )
是一种标量性质的源变量，因而静电场是一种有散度的矢量场。
2、场变量
（1）电场强度矢量E (r )
表示电场对带电质点产生作用的能力。
（2）电位移矢量D (r )
反映电介质内存在电场时，电介质内的束缚电荷在电场作用下出现的位移现象。
（3）电流密度矢量J (r )
反映物质内存在电场时，构成物质的带电粒子在电场强度的作用下出现运动或移动。 3、本构关系
D =εE
J =εE
二、真空中静电场的基本方程 1、电场的散度—高斯定理 （1）定理内容
在静电场中，电位移矢量D 0穿过任意闭合曲面S 的通量等于曲面S 所包围的总电荷。
D ⋅dS =积分形式： ⎰0
S
⎰ρd τ
τ
∇⋅D =ρ 微分形式：0
（2）物理意义
静电场是有源场，是有散场。
（3）定理证明
立体角概念：一面积元对dS 对一点O 张的立体角：
dS ⋅e r R
2
d Ω==
d S cos θR
2
闭合曲面对面内一点O 所张的立体角：
因为闭合曲面的外法线为正。所以整个积分区域θ
π2
，即，cos θ>0，所以
d S ⋅e r R
2
π
Ω=
⎰
=
⎰R
1
2
2πR sin θd θ=4π
2
闭合曲面对面外一点O 所张的立体角： 此时在整个积分区域中有一半是θ
c o s θ
π2
，即c o s θ>0。而另一半是θ>
π2
，即
Ω=
⎰
d S ⋅e r R
2
π
=
⎰
d S cos θR
2
=0
设空间存在一点电荷q ，则p 点的电位移为
D 0=
qe r 4πR
2
对任意闭合曲面S 积分
⎰D 0⋅d =
S
q
⋅dS = ⎰4πR 2
4πS
qe r
⎰
S
e r ⋅dS R
2
表示闭合曲面S 对点电荷所在点张的立体角, 所以
q D ⋅dS = ⎰0
4πS
e r ⋅dS R
2
⎰
S
⎧q
⎪=⎨⎪⎩0
在闭合面曲内
在闭合面曲外
若闭合面内有N 个点电荷，则
⎰D 0⋅dS =
S
N
∑q
i =1
i
若闭合面内的电荷分布为ρ(r ) ，则
D ⋅dS = ⎰0
S
⎰ρd τ
τ
由散度定理得：
⎰∇⋅D 0d τ=
τ
⎰
τ
ρd τ⇒∇⋅D 0=ρ
2、电场的旋度—环量定理 （1）定理内容
在静电场中，电场强度E 沿任意闭合路径l 的环量恒为零。
积分形式：E ⋅d l =0
l
微分形式：∇⨯E =0
（2）物理意义
静电场是非保守场，是无旋场。 （3）定理证明
在点电荷q 的电场中，任取一条曲线l , 积分
E ⋅d l =
q 4πε0
e r ⋅d l R
2
q
⎰
l
⎰
l
=
q 4πε0
R B
⎰
R A
d R R
2
⎛11⎫
=- ⎪4πε0⎝R A R B ⎭
当积分路径是闭合曲线，A 、B 两点重合，得
⎰E ⋅d l =0
l
由斯托克斯定理得：
∇⨯E ⋅d S =0⇒∇⨯E =0 ⎰
S
例 3.2.1 电荷按体密度ρ(r )=ρ0(1-r 2/a 2) 分布于半径为a 的球形区域内， 其中ρ0为常数。试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。
解: 电场具有球对称性， 当r ≥a 时， ⎰D 02⋅d S =Q
s
而
2
D ⋅d S =4πr D 02 02 ⎰
s
a
Q =
⎰
⎛2r 4⎫83
ρ(r )4πr d r =4πρ0⎰ r -2⎪d r =πρ0a
a ⎭150⎝
2
a
所以
D 02=
215
ρ0
a r
32
当r ≤a 时， ⎰D 01⋅d S =
S
r
⎰
ρ(r )4πr d r
2
而
2
⎰D 01⋅d S =4πr D 01
s
⎛2r 4⎫⎛r 3r 5⎫
Q =4πρ0⎰ r -2⎪d r =4πρ0 -⎪
a ⎭⎝35a ⎭0⎝
r
所以
D 01
3
⎛r r ⎫=ρ0 - 3⎪
35a ⎝⎭
§3.2 电位函数
一、电位函数的定义
因为静电场是无旋场：
∇⨯E =0
所以，静电场可以用一个标量场ϕ(r ) 的梯度来表示：
E =-∇ϕ(r )
称ϕ(r ) 为静电场E 的标量位——电位函数。
二、电位差
在直角坐标系下：
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕE =-∇ϕ(r ) =-(e x +e y +e z )
∂x ∂y ∂z
而
ϕ=ϕ(x , y , z )
dl =e x dx +e y dy +e z dz
所以
d ϕ=
∂ϕ∂x
dx +
∂ϕ∂y
dy +
∂ϕ∂z
dz =-E ⋅dl
定义：A , B 两点间的电位差为
B
ϕAB =ϕA -ϕB =
规定B 点的电位为零，则A 点的电位为：
B
⎰
A
E ⋅d l
ϕ=
⎰
A
E ⋅d l
三、无界空间中电场的电位
若电荷分布不延伸到无穷限，规定无限处电位为零。 1、点电荷的电场
ϕ=
q 4πε0R
其中，R =r -r "，r "为源点的位置矢量，r 为场点的位置矢量。
【证明】
∞
ϕ=
14πε0
⎰
R
q e R R
2
⋅dl =
q 4πε0
∞
⎰
R
dR R
=
q 4πε0R
2、离散分布点电荷系的电场
ϕi =ϕ=
q i 4πε0R i
n
∑
i =1
q i 4πε0R i
3、连续分布点电荷系的电场
d ϕ(r ) =
dq 4πε0R
体电荷分布：
ϕ(r ) =
14πε
0τ
⎰
ρ(r ") d τ"
R
面电荷分布：
ϕ(r ) =
14πε
0S
⎰
ρS (r ") d S "
R
体电荷分布：
ϕ(r ) =
14πε
0l
⎰
ρl (r ") d l "
R
【例题1】如图3.3.1所示，求电偶极子p =q l 的电位和电场分布。
【解】由点电荷的电位公式得
ϕ=
而
1r +
q 4πε
0⎛11⎫ -⎪ r ⎪⎝+r -⎭
=(r +dl -2rdl cos θ)
22-1/2
≈
1r
+
dl r
2
cos θ
所以
ϕ=
q 4πε
01⎫q ⎛1dl
+2cos θ-⎪=
r ⎭4πε⎝r r
E (r ) =-∇ϕ=
14πε
1⎛dl cos θ⎫= ⎪2
r ⎝⎭4πε
p ⋅r
r
3
p ⎤⎡3(p ⋅r )
r -3⎥ ⎢r 5
r ⎦⎣
§3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
一、泊松方程
由静电场的环量定理：
∇⨯E =0
可引入电位函数ϕ
E =-∇ϕ
代入静电场的高斯定理
ρ
∇⋅D 0=ρ⇒∇⋅E =
ε0
得泊松方程
∇ϕ=-
2
ρε0
二、拉普拉斯方程
对于无源空间ρ=0，泊松方程变为拉普拉斯方程：
∇ϕ=0
2
在无界空间内，已知场源电荷分布时，可根据场源积分法，算出电位和电场强度。
但在有限空间区域，则应求解泛定方程（泊松方程或拉普拉斯方程）和区域边界面上的边界条件构成的定解问题——边值问题。
【例题1】半径为a 的带电导体球的电位为U ，求球外空间的电位函数。 【解】场分布具有球对称性，电位函数的边值问题为
∇ϕ=
2
1d ⎛2d ϕ⎫
r ⎪=02
r dr ⎝dr ⎭
r ≥a (1)
ϕ(r ) r =a =U ϕ(r ) r =∞=0
(2) (3)
泛定方程（1）的通解为
ϕ(r ) =-
C 1r +C 2
代入边界条件得
⎧C 1
⎧C 1=-aU ⎪-+C 2=U ⇒ ⎨⎨a
C =0⎩2⎪⎩C 2=0
所以
ϕ(r ) =
aU r
r ≥a
§3.4 位场基本定理
一、格林函数
1、格林函数的泊松方程
点电荷的体密度为：ρ(r ) =q δ(r -r ")
所以单位点电荷的泊松方程为：
∇ϕ=-
2
δ(r -r ")
ε0
2
∇ε0ϕ=-δ(r -r ")
格林函数的定义：
G (r , r ") =ε0ϕ(r , r ")
格林函数的泊松方程：
2
∇G (r , r ") =-δ(r -r ")
2、无界空间中的格林函数
G 0(r , r ") =
1
4πr -r "
【问题】在无界空间中求解格林函数的泊松方程：
2
∇G 0(r , r ") =-δ(r -r ")
【解法一】由格林函数的定义求解 无界空间中单位点电荷的位函数为：
ϕ(r , r ") =
所以无界空间中格林函数为
1
4πε0r -r "
G 0(r , r ") =ε0ϕ(r , r ") =
1
4πr -r "
【解法二】由格林函数的泊松方程求解
因为R =r -r "，取源点r "为球坐标系的原点，则格林函数的泊松方程变为拉普拉斯方
程：
d ⎛2d ⎫2
∇G 0(r , r ") =G 0(r , r ") ⎪=0 R
dR ⎝dR ⎭
R ≠0
其通解为：
C
G 0(r , r ") =-1+C 2
R
令R →∞, G 0(r , r ") =0⇒C 2=0，所以
C
G 0(r , r ") =-1
R
方程∇2G 0(r , r ") =-δ(r -r ") 两边求体积分得：
2
"∇G (r , r ) d τ=-δ(r -r ") d τ 0⎰⎰
τ
τ
而
2
∇G (r , r ") d τ=0⎰
τ
∇⋅∇G (r , r ") d τ=0⎰
τ
"∇G (r , r ) ⋅d S 0
S
⎛C 1⎫
=∇ -⎪⋅d S =
⎝R ⎭S
S
C 1
e R ⋅d S =4πC 12R
所以
1
4πC 1=-⎰δ(r -r ") d τ⇒C 1=-
4πτ
G 0(r , r ") =
14πR
=
1
4πr -r "
3、格林函数的对称性
G 0(r , r ") =G 0(r ", r )
【证明】G 0(r ", r ) 的泊松方程为：
2
∇"G 0(r ", r ) =-δ(r "-r )
其解为
G 0(r ", r ) =
1 "4πr -r
因为
r "-r =r -r "
所以
G 0(r , r ") =G 0(r ", r )
二、格林定理
格林第一恒等式
∂ψ∂n
⎰(ϕ∇ψ+∇ϕ⋅∇ψ) d τ=ϕ
τ
S
2
dS
格林第二恒等式
⎰(ϕ∇ψ-ψ∇ϕ) d τ=
τ
22
∂ϕ⎫⎛∂ψ
ϕ-ψ ⎪dS ⎝∂n
∂n ⎭S
【证明】由散度定理
⎰∇⋅A d τ=
τ
S
A ⋅d S
令：A =ϕ∇ψ，则
2∇⋅A =∇⋅(ϕ∇ψ) =∇ϕ⋅∇ψ+ϕ∇ψ ∂ψ A ⋅n =ϕ∇ψ⋅n =ϕ
∂n
代入散度定理得格林第一恒等式
⎰(ϕ∇ψ+∇ϕ⋅∇ψ) d τ=ϕ
τ
S
2
∂ψ∂n
dS
把上式中的ϕ, ψ交换所得恒等式与上式相减得格林第二恒等式
⎰(ϕ∇ψ-ψ∇ϕ) d τ=
τ
22
∂ϕ⎫⎛∂ψ
ϕ-ψ ⎪dS ⎝∂n
∂n ⎭S
三、泊松方程的积分形式
【问题的提出】如图3.6.1所示，闭合曲面S 所围成的有界空间体积τ内的电荷分布为ρ(r ) ，已知边界面S 上的电位为ϕ(r ") ，求有界空间τ内的电位分布。
【数学模型】该问题是电位函数所满足泊松方程的第一类边值问题，即
∇ϕ=-
ϕ(r )
2
ρ(r ) ε0
S
=ϕ(r ")
利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分。 有界空间中泊松方程的积分公式：
ϕ(r ) =
1
ε0
⎰
τ
ρ(r ") G 0(r , r ") d τ"+
[G 0(r , r ") ∇"ϕ(r ") -ϕ(r ") ∇"G 0(r , r ") ]⋅d S "
S
无界空间中泊松方程的积分公式：
1
ϕ(r ) =
ε0
⎰
τ
ρ(r ") G 0(r , r ") d τ"=
14πε
0τ
⎰
ρ(r ") d τ"r -r "
无源空间中拉普拉方程的积分公式：
ϕ(r ) =
S
[G 0(r , r ") ∇"ϕ(r ") -ϕ(r ") ∇"G 0(r , r ") ]⋅d S "
意义：只要知道区域τ内的电荷分布ρ(r " )以及区域边界面S 上的电位ϕ(r " )和电
位梯度∇" ϕ(r " )值，就可求出区域内的电位分布。
四、唯一性定理
1、静电场的边值问题
是在给定的边界条件下，求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程。 2、边值问题的类型
在场域τ的边界面S 上给定的边界条件有以下三种类型： (1)第一类边值问题或狄里赫利问题
是已知位函数在场域边界面S 上各点的值，即给定
ϕ
(2)第二类边值问题或纽曼问题
S
=f 1(S )
是已知位函数在场域边界面S 上各点的法向导数值，即给定
∂ϕ∂n
S
=f 2(S )
(3)第三类边界问题或混合问题
是已知一部分边界面S 1上电位函数的值，和另一部分边界面S 2上电位函数的法向导数值，即给定
ϕ
3、唯一性定理
S 1
=f 1(S 1)
和
∂ϕ∂n
S 2
=f 2(S 2)
在场域τ的边界面S 上给定ϕ或
∂ϕ∂n
的值，则泊松方程或拉普的斯方程在场域具有唯一
解。
意义：是间接求解边值问题的理论依据。
§3.5 介质中静电场的基本方程
一、电介质的极化、极化强度 1、极化的分类 （1）位移极化
电子极化：组成原子的电子云，在电场作用下相对于原子核发生位移而出现电矩，称为电子极化。
离子极化：分子由正、负离子组成，在电场作用下正负离子发生位移而出现电矩，称为离子极化。 （2）取向极化
分子具有固有电矩，但因热运动而无合成电矩。当外电场作用时它们向外场方向转动，产生合成电矩，称为取向极化。 2、极化强度矢量
（1）极化强度矢量的定义
是描述电介质极化程度的物理量。
P =lim
p
∑
∆τ
∆τ→0
式中，p 是分子电矩。
（2）极化强度与束缚电荷的关系
q "=-P ⋅d S =-⎰∇⋅P d τ
ρp σ
3、实验结论 对各向同性线性介质
p
=-∇⋅P =P ⋅n
S τ
P =χe ε0E
χe 称为介质的极化率。
三、介质中静电场的基本方程 1、电位移矢量、本构关系
电位移矢量：
D =D 0+P =ε0E +P
介质本构关系：
D =εE
2、静电场的基本方程
积分形式：D ⋅d S =
S
⎰ρd τ
τ
l
E ⋅d l =0
微分形式：∇⋅D =ρ
∇⨯E =0
3、泊松方程、拉普拉斯方程
泊松方程：∇2ϕ=-
ρε
拉普拉斯方程：∇2ϕ=0 证明：
由静电场的环量定理：
∇⨯E =0
可引入电位函数ϕ
E =-∇ϕ
代入静电场的高斯定理
ρ
∇⋅D =ρ⇒∇⋅εE =ρ⇒∇⋅E =
ε
得泊松方程
∇ϕ=-
2
ρε
四、静电场的边界条件 1、电位移矢量的法向分量
n ⋅(D 1-D 2) =σ
D 1n -D 2n =σ
当分界面上没自由电荷时：
n ⋅(D 1-D 2) =0
D 1n -D 2n =0
证明：如图3.9.3所示，对小闭合曲面应用高斯定理得：
D 1n ∆S -D 2n ∆S =σ∆S D 1n -D 2n =σ
n ⋅(D 1-D 2) =σ
当分界面上没有自由电荷时σ=0，
n ⋅(D 1-D 2) =0
D 1n -D 2n =0
2、电场强度切向分量
n ⨯(E 1-E 2) =0
E 1t -E 2t =0
如图3.9.4所示，对小矩形回路应用环路定理得：
E 1t ∆l -E 2t ∆l =0
E 1t -E 2t =0
n ⨯(E 1-E 2) =0
3、标量电位的边界条件
ε1
∂ϕ1∂n
=ε2
∂ϕ2∂n
证明：因为D =εE =-ε∇ϕ
D 1n =-ε1
∂ϕ1∂n
D 2n =-ε2
∂ϕ2∂n
由D 1n -D 2n =0得
ε1
∂ϕ1∂n
=ε2
∂ϕ2∂n
4、折射关系
tan θ1tan θ2
=
ε1ε2
证明： 因为
E 1t -E 2t =0⇒E 1sin θ1=E 2sin θ2D 1n -D 2n =0⇒D 1cos θ1=D 2cos θ2
而
D 1=ε1E 1
D 2=ε2E 2
所以
E 1sin θ1D 1cos θ1
=
E 2sin θ2D 2cos θ2
⇒
tan θ1tan θ1
=E 2D 1D 2E 1
=
ε1ε2
【例题1】半径分别为a 和b 的同轴线，外加电U ，如图3.9.6所示。圆柱面电极间在图示θ1角部分充满介电常数为ε的介质，其余部分为空气，求介质与空气中的电场和单位长度上的电容量。
【解】设介质与空气中的电位分别为ϕ1和ϕ2则其边值问题分别为：
∇ϕ1=0
2
∇ϕ2=0
r =a
2
(1) (2) (3)
ϕ1ϕ1
唯一解。 设其解分别为
r =a
=ϕ2=ϕ2
=U =0
r =b r =b
根据唯一性定理，只要找到试探解，满足拉普拉斯方程和所有的边界条件，则为问题的
ϕ1(r ) =A ln r +B
ϕ2(r ) =C ln r +D
显然，它们是拉普拉斯方程的解。 代入边界条件得
U ⎧A =⎪a
ln ⎪
⎧A ln a +B =U ⎪b
⇒⎨⎨
⎩A ln b +B =0⎪B =-U ln b
a ⎪
ln ⎪b ⎩
U ⎧
C =⎪a
ln ⎪
⎧C ln a +D =U ⎪b
⇒⎨⎨
C ln b +D =0U ln b ⎩⎪D =-
a ⎪
ln ⎪b ⎩
电位分布
ϕ1=ϕ2=
电场强度
U ln a b
ln r -
U ln b ln a b
=
U ln a b
ln
r b
=
U ln b a
ln
b r
U
E 1=E 2=-∇ϕ1=
⎛1⎫ ⎪e b ⎝r ⎭r ln a
电通量密度
D 1=εE 1
D 2=ε0E 2
内导体表面单位长度上的电量
ρl =σ1a θ1+σ2a (2π-θ1)
=D 1r a θ1+D 2r a (2π-θ1) =
εU θ1ln b a
+
ε0U (2π-θ1)
ln b a
同轴线单位长度上的电容
C =
ρl
U
=
εθ+ε0(2π-θ1)
ln b a
§3.6 恒定电场的基本方程 边界条件
一、恒定电场的基本方程 1、恒定电场 恒定电流：传导电流，即导体媒质中的恒定电流；运流电流，即真空中电子或离子运动形成的电流。
恒定电场：是恒定电流空间存在的电场。
恒定电场的基本条件：
∂∂t =0
J ≠0
2、恒定电场的基本方程
场变量：电流密度矢量和电场强度矢量。
描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程。电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。
微分形式
⎧∇⋅D =ρ
⎪
⎨∇⨯E =0
⎪∇⋅J =0⎩
积分形式 ⎧
⎪D ⋅d S =⎰ρd τ⎪S
τ⎪
⎨E ⋅d l =0⎪l ⎪
J ⋅d S =0⎪⎩S
恒定电场既存在于导体外部的介质中，又存在于载流导体内部。
3、本构关系
J (r ) =σE (r )
σ称为导电媒质的电导率，单位S /m 。
4、导电媒质的分类
（1）理想导体：σ→∞的导电媒质。
（2）理想介质（无损耗媒质）：σ→0的电介质。 （3）漏电电介质：σ
对于均匀导电媒质
∇ϕ=0
2
【推导】
由∇⨯E =0得E =-∇ϕ，
把J (r ) =σE (r ) 代入∇⋅J =0得
∇⋅(σE ) =0
所以
-∇⋅(σ∇ϕ) =0⇒∇ϕ=0
2
三、恒定电场的边界条件
均匀导体中没有净电荷，但是在导体面或不同导体的分界回上有电荷分布的。 与推导静电场在不同介质交界面的边界条件的方法相似，利用恒定电场中两个基本方程的积分形式可导出边界条件。
1、J 的边界条件
J 1n =J 2n
⇔n ⋅(J 1-J 2) =0∂ϕ2
2
σ1
2、E 的边界条件
∂ϕ1∂n
=σ
∂n
E 1t =E 2t
⇔n ⨯(E 1-E 2) =0
ϕ1=ϕ2
3、折射关系
tan θ1tan θ1
=
σ1σ2
【例题1】同轴线内外半径分别为a 和b ，填充的介质σ≠0，具有漏电现象。同轴线
外加电源的电压为U ，求漏电介质内的ϕ, E , J 和单位长度上的漏电电导，如图3.10.3所
示。
【解】电场只有径向分量，在柱坐标系下，其边值问题为
1d ⎛d ϕ⎫
r ⎪=0r dr ⎝dr ⎭
(1) (2) (3)
ϕϕ
r =a
=U ==0
r =b
该边值问题的解为
U ln a b
b r
ϕ=ln
U ⎛1⎫ d ϕE =-e r = ⎪e r
b dr r ln ⎝⎭a σU ⎛1⎫ J =σE = ⎪e
b ⎝r ⎭r ln a
σU ⎛1⎫2πσU J ⋅d S =2πr ⎪=
b ⎝r ⎭b ln ln a a
单位长度上同轴线上的漏电电流I =
S
单位长度上的漏电电导：G =
I U
=
2πσln b a
§3.7 导体系统的电容
一、导体的静电特性
在静电平衡条件下
导体内：
E =0
ρ=0
n ⨯E =0
导体表面： n ⋅E =二、电容
σε0
1、孤立导体的电容 定义：设孤立导体的电荷为q ，所产生的电位为ϕ，则孤立导体的电容为
C =
q
ϕ
2、电容器的电容
电容器是由两个导体构成的系统，设两导体的电荷分别+q , -q ，导体之间的电压为U ，
则电容器的电容为
C =
q U
电容是导体系统的一种特性，只与导体的形状、尺寸、相互位置及周围的介质有关，与导体的电位和所带的电荷无关。 三、部分电容 1、电位系数
设在有限区域中有N 个导体，q i , ϕi 分别表示第i 个导体上的电荷和电位，则
N
ϕi =
称αij 为电压系数。 2、电容系数
N
∑α
j =1
ij
q j
i =1, 2, N
由ϕi =
∑α
j =1
ij
q j 可求出
N
q i =
∑β
j =1
ij
ϕ
j
i =1, 2, N
称βij 为电容系数。 3、部分电容
N
由q i =
∑β
j =1
ij
ϕj 得
q i =
∑(β
j =1
N
N
ij
ϕj -βij ϕi +βij ϕi )
⎛⎫= ∑βij ⎪ϕi - ⎪⎝j =1⎭
∑β(ϕ
ij
j ≠i
N
i
-ϕ
j
)
令
N
C ii =
∑β
j =1
ij
C ij =-βij
i ≠j
则
q i =C ii ϕi +
∑C (ϕ
ij
j ≠i
N
i
-ϕ
j
)
i =1, 2, N
自有部分电容：是导体i 与地之间的部分电容。
C ii =
ϕi
q i
互有部分电容：是导体i 与导体j 之间的部分电容
C ij =
q i
ϕi -ϕj
§3.8 电场能量 静电力
一、电场能量
1、电场能量的场矢量表示 电场能量密度：
1
ωe =D ⋅E
2
电场能量
W e =
12
⎰
τ
D ⋅E d τ
2、静电场的能量
（1）连续分布电荷系 设电荷分布在有限区域τ内，体密度为ρ，在场空间产生的电位为ϕ，则其静电场的能量为：
W e =
12
⎰ρϕd τ
τ
对于面分布电荷系
W e =
1
ρ⎰2
S
S
ϕdS
【证明】对于静电场
E =-∇ϕ
∇⋅D =ρ
由矢量恒等式
∇⋅(ϕD )=ϕ∇⋅D +D ⋅∇ϕ
得
E ⋅D =-∇ϕ⋅D =-∇⋅(ϕD )-ϕ∇⋅D =-∇⋅(ϕD )+ϕρ
[]
所以
W e =
=12121R
⎰
τ
1D ⋅E d τ=
2
⎰
τ
ρϕd τ-
12
()d τ∇⋅ϕD ⎰
τ
⎰
τ
1
ρϕd τ-ϕD ⋅d S
2S
1R
2
因为当R →∞时ϕ∝, D ∝
2
, dS ∝R ，所以ϕD ⋅d S =0。故
S
W e =
1
ρϕd τ⎰2
τ
（2）分离分布电荷系
12
W e =
∑q ϕ
i
i
【证明】对于带电导体系统，导体是等位体，电荷只分布在导体表面上，所以
W e =
1
⎰2
S
ρS ϕdS =
1
∑2
i
ρS i ϕi dS =
12
∑ϕi ρS i dS =
i
S i
1
S i
ϕ∑2
i
i
q i
二、静电力
已知电场能量时，常用虚位移法求电场力。
在N 个导体所组成的系统中，设第i 个导体在电场力F i 作用下发和位移δx i ，则电场力做功F i δx i ，系统静电能改变δW e ，电源提供能量δW S 。由能量守恒定律得
δW S =F i δx i +δW e
1、各导体电荷不变
F i =-
∂W e ∂x i
q 不变
【证明】此时各导体与电源不连接，δW S =0， 由δW S =F i δx i +δW e 得F i δx i =-δW e ，所以
F i =-
∂W e ∂x i
q 不变
2、各导体电位不变
F i =-
∂W e ∂x i
ϕ不变
【证明】此时各导体与电源相连接，电源向系统提供能量
δW S =
由W e =
12
∑δ(q ϕ)=∑ϕδq
i
i
i
i =1
i =1
N N
i
，
∑q ϕ
i
i
知，系统静电能改变
1
N
δW e =
根据δW S =F i δx i +δW e 得
δ(q ϕ)=∑ϕδq ∑22
i
i
i
i =1
i =1
1
N
i
2δW e =F i δx i +δW e
所以
F i =
∂W e ∂x i
ϕ不变
【例题1】平行板电容器宽为ω，长为l ，极间距离为d ，其中宽度等x (x
【解】平行板电容器中储能
1⎛U ⎫⎛U ⎫
W e =ε0 ⎪(ω-x ) ld +ε ⎪xld
2⎝d ⎭2⎝d ⎭
1
2
2
板间电压U 不变。设位移变化量x ，静电力为
22
⎡1⎛U ⎫2⎤ 1 ∂W 1U U ⎛⎫⎛⎫e
F =e x =e x ⎢-ε0 ⎪ld +ε ⎪ld ⎥=e x (ε-ε0) ⎪ld
∂x 2⎝d ⎭2⎝d ⎭⎢⎥⎣2⎝d ⎭⎦