圆锥曲线轨迹方程的求法|圆锥曲线点差法求轨迹方程
一、 用直接法求轨迹方程
利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y的等式。 例：已知点A(-2,0),B(3,0).动点P(x,y)满足
· =x2,则点P的轨迹是（ ）.
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
解： （-2-x,-y） 2
则（-2-x）（3-x）+(-y)(-y)=x2 整理得：y2=x+6
所以P点的轨迹为抛物线。
答案:D.
二、 有定义法求轨迹方程
根据圆锥曲线的基本定义解题。
例：如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（ ）
x2y2
A.25 +16=1
(x+3)2y2
C.25+ 16=1 x2y2B. 25 －16 =1 (x+3)2y2
D. 25 - 16=1
解：由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|
所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6
x2y2根据椭圆的定义知:P点轨迹方程为2516 =1.
解答：A
三、 用相关点法求轨迹方程
当动点M随着已知方程的曲线上另一动点C（x0,y0）运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用（x,y）表示（x0,y0）再将x0,y0代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。 例：如图所示从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程
.
解:设动点P的坐标为(x,y)，点Q的坐标为（x1,y1），则N点的坐标为（2x-x1,2y-y1）.
∵N点在直线x+y=2上，∴2x-x1+2y-y1=2 ①
y-y又∵PQ垂直于直线x+y=2,∴x-x=1即x-y+y1-x1=0 ② 1
3113①②联立得：x1=2x+2y-1,x2=2x+2 y-1
又∵点Q在双曲线上，∴x12-y12=1 ③
将x1,x2代入③中，得动点P的轨迹方程式为
2x2-2y2-2x+2y-1=0
四、 用参数法求轨迹方程
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程.
例：（04.成都)过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB为邻边作矩形AOBM,如图,求点M的轨迹方程
.
解:设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)
1 OA的斜率为k(显然k≠0),则OB的斜率为-k .
2p2p OA所在直线方程为y=kx.代入y=2px得x1=k,y1=k 2
1 OB所在直线方程为y=-k x,代入y2=2px得x2= 2pk2,y2=-2pk
2p2p即B(2pk, -2pk) ∴OB=(2pk, -2pk),OA=(k , k) 222p22pOM= OA+ OB =(k+2pk, k -2pk)所以有
1112x=2p(k -k) +4p, y=2p(k -k) 消去(k-k)得：y2=2p(x-4p)(p>0) 即求得M点的轨迹方程。
注:在利用参数法求解时,要选择合理的参数,同时要注意参数的取值范围.
除上述四种常用求曲线轨迹方程方法外,我们还介绍两种重要的求解方法.
一.几何法 二.交轨法
1.几何法求解.(利用平面几何或解析几何中的图形性质)
例:已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( ).
x2y2
A.4－≠0) 3x2y2B .4+≠0) 3
x2x2y2y2
C. 4 － =1(y≠0) D .4+≠0) 33
解:如图所示,根据题意及抛物线的图形性质有:令焦点为P. 则有|BP|=|BE| |AP|=|AG|
所以|BP|+|AP|=|BE|+|AG|=2|OF|
由|OP|=2知|BP|+|AP|=4=2a
x2y2所以a=2,方程为4 + =1 3
且焦点不在AB直线上,所以y≠ 0.
解答:D
2.用交轨法来求轨迹方程.(一般用于两动曲线交点的轨迹方程,其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程)
yx2
例:如图所示,垂直于x轴的直线交直线交双曲线a －2 b2于MN两点，A1，A2为双曲线的顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹形状.
解:设M(x1,y1)则N（x1,-y1）,P(x,y),A1(-a,0),A2(a,0)
y1 则A1M的方程为y= x+a(x+a), 1yA2N的方程为y=- x-a (x-a) 122y1-yx222将以上两方程联立得y=x-a(x-a) 由于a－2b12
x2y得a+2 =1 b2
当a=b时，点P的轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆. 当a≠b时，点P的轨迹为椭圆.