[探究性学习结果必须经过数学化]

　　自从义务教育《数学课程标准》指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手操作、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式”以来，“探究”一词可谓成了数学教学中最炙手可热的用语。被传统的接受式教学压抑了很久的老师们似乎终于找到了尚方宝剑，从此信心百倍地说：在数学教学活动中，凡是学生能够探究得出的知识，教师不要直接告诉；凡是学生能够独立思考的问题，教师不要暗示；凡是学生能够独立操作的，教师不要代劳。
　　暂且不说接受性学习的重要性(有兴趣的读者可以参看《数学教育学报》2008年第6期《论“双基”视野下的接受学习》一文)。对于探究性学习，笔者一直以来都是比较冷静辩证地看待的。因为作为数学这门相对抽象，高度符号化、形式化的学科来说，探究学习是必要的。但是，正是由于它抽象、符号化、形式化的独有特征，在学生通过实际操作，或者讨论，或者查资料，或者通过计算机探索等一总之是一切我们现在所能拥有的探究方式之后，我们最终还是要引导学生回到数学的形式化、符号化上来。学生探究而来的，毕竟只是感性认识，最终必定需要教师将探究结果加以数学化，帮助学生形成概念等确切的数学知识，注重数学的逻辑严谨性。而目前的数学教学流行的探究性学习现象是：你要探究吗?好，让你探究，只要是你探究得出的结果，我一律肯定数学教学可不能是这个样子的。比如下面这个案例(选自《一种新型的数学教育方式：GH》)。
　　习题课――多边形内角和公式的运用。复习了公式，做了几道简单的练习之后，教师安排了这样一道习题：
　　如图1,ABCD为任意五角星。求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝?答案：连接CD，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E等于△ACD的内角和。所以，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°。
　　再来练习：如图2，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝?答案：连接BC。∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于四边形ABCF的内角和。所以，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°。
　　接着教师放手，问学生还想研究什么问题。学生一阵讨论之后，有人说两个图形中都有个这样的图形(图3)。像个蝴蝶，他想研究“蝴蝶”的性质。教师便在黑板上写下第3个问题：研究蝴蝶形的性质(图3)。然后学生自己提问题，自己探索研究，场面看起来很热烈。课结束时，教师未作总结，只要求学生课后继续讨论。下一节几何课上，教师收到结果，感到惊喜：学生总结出了这类问题的一般结果：边数每增加一条，角度之和增加180°，并且角度之和满足公式(n－4)×180°(n≥5，n代表顶点数或边数)。他们还发现此公式有适用范围，类似图4就不适合该公式教师认为很满意，因此仍然未对这次探究作一次总结。该探究活动这样就算圆满结束。
　　也许你认为这是一节完美的课。实际上，如果教师在初等数学方面有所研究的话，为了帮助学生正确理解问题，防止误入歧途，至少还应该提下面一些问题供学生讨论：(1)这些一般的折线中，我们要求的这些角是什么角?是内角吗?能不能把它们定义出来?(2)为什么公式不适用于最后这个图形?由此你能得出什么结论?
　　我们再看看杨之先生的评论：本课例研究的是三角形向一般的单折边闭折线的推广。如果没有初等数学研究的经历，是很难把它设计得顺理成章的。比如，最后还应该加上(1)、(2)两个问题。因为没有这样的思考，研究就没有数学化，没有形成概念等确切的数学知识，停留在感性认识层面。而且学生们会误认为虽然对最后一个图形，他们得出的方法、公式失败，但在任何一个闭折线图中，这样一些角的和总是可以计算求出的。可实际上并非如此。
　　
　　所以说，探究性学习结果必须经过数学化，否则，其目的将很难达到，甚至会适得其反，在学生头脑中留下很多似是而非的东西和错误的认识(以为观察和猜想的东西就一定是正确的)。而且，这里也附带说明了另外一个问题，课程改革中出现的探究性教学、建构主义等新教学方法、理念，都是建立在教师有一定的数学专业素养的基础上的，比如有初等数学研究的经历，而并不是像某些老师想象的那样，拿来就可以用。这种现象在小学数学教学中尤其严重，以致许多错误的数学知识渗透到小学生的头脑中，这不得不引起我们的重视。
　　(作者单位：长沙县麻林中学)