解“三角函数图像与性质”问题的两个“切入点”_三角函数图像与性质
三角函数的图像与性质是高考必考内容之一，不管从什么角度考查，不管考查哪一种性质的问题，解决问题的切入点一般有两个：一是把所研究的函数解析式化为“一角一”；二是画出函数在某一区间上的图像。现举例说明如下。
例1：已知函数f(x)=(1+cot x)sin2 x+m sin(x+■）sin(x-■)。（1）当m=0时，求f(x)在区间[■,■]上的取值范围；（2）当tan ?琢=2时，f(?琢)=■，求m的值。
解：（1）当m=0时，f(x)=sin2 x+sin xcos x=■(sin 2x-cos 2x)+■=■sin(2x-■)+■，又由x∈[■,■]得2x-■∈[0,■]，所以sin(2x-■)∈[-■,1]，从而f(x)=■sin(2x-■)+■∈[0,■]。
（2）f（x）=sin2 x+sin xcos x-■cos 2x=■+■sin 2x-■cos 2x=■[sin 2x-(1+m)cos 2x]+■，由tan ?琢=2，得sin 2?琢=■=■=■，cos 2?琢=■=■=-■，所以■=■[■+（1+m）■]+■，得m=-2。
例2：已知函数f(x)=sin2x+■sin xcos x+2cos2x，x∈R。（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）函数f(x)的图像可以由函数y=sin 2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？
分析：先把函数f(x)的解析式化为f(x)=Asin(?棕x+?渍)+B的形势后，类比y=sin x讨论。
解：（1）f(x)=sin2x+■sin xcos x+2cos2x=sin(2x+■)+■，
∴f(x)的最小正周期T=■=?仔。由题意得2k?仔-■≤2x+■≤2k?仔+■,k∈Z,即k?仔-■≤x≤k?仔+■,k∈Z。∴f(x)的单调增区间为[k?仔-■,k?仔+■],k∈Z。
（2）先把y=sin 2x图像上所有点向左平移■个单位长度，得到y=sin(2x+■)的图像，再把所得图像上所有的点向上平移■个单位长度，就得到y=sin(2x+■)+■的图像。
点评：求三角函数的值域、单调区间、周期、对称中心、对称轴，判断函数奇偶性等问题时，把函数的解析式化为“一角一”的形式（如f（x）=Asin(?棕x+?渍)+B)是解决此类问题的共同切入点。
易错点剖析：若把f(x)化为f(x)=cos(■-2x)+■，由2k?仔-?仔≤■-2x≤2k?仔,k∈Z求f(x)的增区间是错误的，处理方法：（1）把f(x)变为f(x)=cos(2x-■)+■，或把f(x)变为f(x)=sin(2x+■)+■后类比y=cos x,y=sin x求。
例3：已知函数f(x)=sin(?棕x+?渍)(?棕＞0，0≤?渍≤?仔)是R上的偶函数，其图像关于点M（■，0）对称，且在区间[0，■]上是单调函数，求?渍和?棕的值。
分析：（1）f(x)是R上的偶函数，f(x)应为f(x)=cos ?棕x，∴?渍=k?仔+■，k∈Z，易求?渍；（2）f(x)在区间[0，■]上是单调函数，根据f(x)=cos ?棕x图像，[0，■]?哿[0，■]，可求?棕的范围。
解：由f(x)是偶函数，得?渍=k?仔+■，k∈Z，依题设0≤?渍≤?仔，所以解得?渍=■，∴f(x)=cos ?棕x。由f(x)的图像关于点M对称，得f(■)=0,■=■+k?仔,k=0,1,2…，∴?棕=■（2k+1）,k=0,1,2…因为[0，■]?哿[0，■]，有■・■≥■，解得?棕≤2。综上所述，?棕=■或2。
点评：根据函数图像很容易找到条件(1)偶函数；（2）在区间[0，■]上是单调函数这两个切入点，从而快速、准确地求出参数的值。
例4：已知函数f(x)=■（sin xcos x+cos2x-■),x∈[0,?仔]，若函数g(x)=f(x)-a有两个不同零点x1,x2。（1）求实数a的取值范围；（2）求x1+x2的值。
分析：把函数解析式化为“一角一”，然后利用五点法画出函数在区间[0,?仔]上的图像，利用图像求解。
解：f(x)=■sin 2x+■cos 2x=sin(2x+■)，列表：
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画出函数在区间[0,?仔]上的图像，如下图：
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根据函数的图像，可得：（1）当-1＜a＜1,a≠■时，函数g(x)有两个不同的零点。（2）当■＜a＜1时，x1+x2=■；当-1＜a＜■时，x1+x2=■。
点评：此题利用图像很直观地得到了问题的答案，同时也体现了数形结合思想在解题中的应用。由此可见，画出三角函数在某一区间上的图像，利用图像来思考三角问题是解三角问题一个非常直观和非常有效的切入点。
（责编 张晶晶）
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