三角不等式a+b>根号ab [用基本不等式a+b/2≥根号ab,求最值时构造“定值”的常用方法]

　　利用基本不等式■≥■（其中a,b≥0）求最值是高中数学中常用方法之一，下面介绍几种构造“定值”的常用方法.　　一、凑配系数法　　题目求式的结构、题设约束条件的结构与基本不等式结构一致，而差异仅仅是系数不同，通常是依据题设约束条件给求式凑配合适的系数，或依据求式的结构给题设约束条件凑配合适的系数构造“和或积为定值”，进而运用基本不等式求最值，这种技巧方法称为凑配系数法.
　　例1：已知a﹥0,b﹥0,且a2+■=1,求a■的最大值.
　　分析：因为求式a■=■，故其结构、题设条件的结构与基本不等式的结构一致，其中的a,b次数也一致，仅系数差异，因此采用凑配系数法构造“和为定值”.
　　解：因为a﹥0,b﹥0,所以a■=■·■≤■·■=■.故a■的最大值是■.
　　二、换元法
　　题目的约束条件及求式，其一结构为关于x、y的倒数“和”结构，另一结构为关于x、y的“和”结构，通常采用“1”的整体代换或三角换元，构造“积”为定值，进而运用基本不等式求最值，这种技巧方法称为换元法.
　　例2：已知a、b、x、y都是正数，■+■=1.求x+y的最小值.
　　解：令x=asec2θy=bcsc2θ，则x+y=a(1+tan2θ)+b(1+cot2θ)=a+b+ atan2θ+bcot2θ≥a+b+2■.当且仅当atan2θ=bcot2θ，即tan2θ=■,x=a+■y=b+■时，x+y的最小值是a+b+2■.
　　三、整合重组法
　　题目的约束条件或求式含有多元，或者其结构复杂，通常采用“拆分项”“添加项”“合并项”等基本技巧构造“和或积为定值”，进而运用基本不等式求最值，这种技巧方法称为整合重组法.
　　例3：已知ａ＞ｂ＞０，求a2+■的最小值.
　　分析：此题初看无从下手，但其结构为分式型，采用“拆项”“添加项”整合重组，构造“积为定值”，进而运用基本不等式求最值.
　　解：a2+■=a[(a-b)+b]+■(■+■)=a(a-b)+ab+■+■,因为ab+■≥2■=8.当且仅当ab=■,即ab=4时，等号成立.
　　又因a(a-b)+■≥2■=8.当且仅当a(a-b)=■，即a(a-b)=4时，等号成立.
　　所以，a(a-b)+ab+■+■≥16.当且仅当ab=4a(a-b)=4,即a=2■,b=■时，等号成立.故a2+■的最小值是16.