直角三角形的性质:直角三角形的判定和性质

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 13 课时 课题 直角三角形的性质

教学目标

1、经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法 2、掌握直角三角形的性质定理和特殊直角三角形的性质定理 3、能运用直角三角形的有关性质解决简单的数学问题 教学重点和难点

重点：直角三角形的两个性质定理和推论 难点：直角三角形性质定理和推论的灵活运用

知识与方法

一、直角三角形的性质定理

定理1、直角三角形的两个锐角互余

定理2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

例1、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，DE⊥AB，垂足为D，CE平分∠ACB且交DE于E。求证：DE=

1

AB. 2

C

AB

E

练习1、（1）如图所示，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，DA⊥CA于点A，交BC于点D，求证：CD=2AB.

（2）如图，在△ABC中，BF、CE是高，P为BC的中点，Q为EF的中点,

求证：PQ⊥EF

二、直角三角形的性质定理的两个推论

推论1、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 推论2、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

例2、如图，已知在△ABC中，∠C=60°，且高BE经过高AD的中点F，若BE=20，求BF、EF的长。

练习2、（1）如图，已知△ABC是等边三角形，AD=

1

BC，CD⊥AD，求证：AD∥BC 2

AD

C

（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABC和正△ACD，DE、AB交于点F，EG⊥AB。 求证：（1）EG=AC （2）EF=FD

E

B

AC

D

（3）已知：在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E,CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M。

（1）如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；

（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形，如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由；

（3）如果CM=4cm,FM=5cm，求BE的长度。

拓展与提高

有的时候，问题中没有明显的可以直接利用以上直角三角形性质的条件或图形，这时候就需要充分利用已知条件，构造出可以利用性质解决问题的直角三角形。

例3、Rt△ABC的一个锐角∠A=15°，斜边AB=10，则斜边上的高CH=

练习3、如图，在△ABC中，∠A>90°,BD、CE分别是这个三角形的高，M是BC的中点，联结DE、DM、EM。

（1）按上述要求画完图形；

（2）求证：△MDE是等腰三角形；

（3）试探索：△MDE是否可能成为直角三角形？

如果可能请求出此时∠BAC的度数；如果不 可能，请简要说明理由。

巩固练习

一、填空题：

二、选择题

三、解答题

能力提高

1、如图所示，在等腰Rt△ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为线段BC上的一点，且PB=PD，过点D作AC边上的高DE，求证：PE=BO.

2、如图，已知AE平分△ABC的外角∠FAC，AD平分∠BAC，∠ACB-∠B=90°，求证：AD=AE.

3、如图，已知∠BAC=30°，AT平分∠BAC，TE//AC. （1）求证：△AET是等腰三角形；

（2）若TD⊥AC，垂足为带点D，TD=4cm,求AE的长。