非线性动力学 含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

南京理工大学

硕士学位论文

含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

姓名：焦常科

申请学位级别：硕士

专业：结构工程

指导教师：章杨松

20060501

摘要

．０７ｍ”

粘滞阻尼器作为一种有效的结构被动控制装置，能够向结构提供较大的阻尼，使结构受力更为合理，确保结构的安全。本文根据非线性粘滞阻尼器的结构特性主要进行了以下研究工作：

在研究了粘滞阻尼器的构造及非线性粘滞阻尼器的计算模型的基础上，分析了非线性液体粘滞阻尼器单自由度系统在谐波和地震波作用下的响应；就单自由度系统，分析了斜支撑刚度对阻尼器减震效果的影响。

根据含非线性粘滞阻尼器结构动力方程的特点，分析了线性和非线性系统动力方程的求解方法：基于微分方程理论的求解方法和基于Ｎｅｗｍａｒｋ－ｐ假设的迭代求解方法。按上述不同算法编制Ｆｏｒｔｒａｎ程序，所编程序计算结果与有限元程序Ａｂａｑｕａ计算结果几乎完全一致。

分析了结构恢复力模型中的硬化双线性折线模型和Ｂｏｕｔ－Ｗｅｎ曲线模型以及在两种不同恢复力模型下，非线性粘滞阻尼器对结构响应的影响．

对一个８度设防的８层钢筋混凝土框架结构，用非线性有限元分析软件Ａｂａｑｕｓ对被控结构在安装粘滞阻尼器前后进行对程分析，说明了非线性粘滞阻尼器的对结构减震的有效性；对比分析了不同阻尼器速度指数对减震效果的影响。

关键词：非线性粘滞阻尼器非线性动力方程滞回模型时程分析

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ａｓａｋｉｎｄｏｆｅｆｆｅｃｔｉｖｅｐａｓｓｉｖｅｃｏｎｔｒｏｌｄｅｖｉｃｅｓ，ｖｉｓｃｏｕｓｄａｍｐｅｒｓｃａｌｌｏｆｆｅｒｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｄａｍｐｉｎｇｔｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，ｗｈｉｃｈｍａｋｅｓｉｔｍｏｌ＂ｅｒｅａｓｏｎａｂｌｅｗｈｉｌｅｓｔｒｕｃｔｎｒｅｓｅｎｄｕｒｅｅｘｔｅｒｎａｌ

ａｒｅｌｏａｄｓａｎｄｉｎｓｕｒｅｓｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ＇￥ｓａｆｅｔｙ．Ｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇａｓｐｅｃｌｆ．ｓ

ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｓｃｏｕｓｄａｍｐｅｒｓ．ｓｔｕｄｉｅｄｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ、晡ｔｈ

Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｓｍｌｃｔｉｏｎａｎｄｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｍｅｃｈａｎｉｃｓｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｓｃｏｕｓｄｅｍｐｅｒｓ，ｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｓｉｎｇｌｅｄｅｇｒｅｅｏｆｆｒｅｅｄｏｍｍｏｄｅｌｗｉｔｈ

ｌｏａｄｓｏｆｈａｒｍｏｎｉｃａｎｄｅａｒｔｈｑｕａｋｅａ∞

０１１ｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｓｃｏｕｓｄａｍｐｅｒｓｕｂｊｅｃｔｅｄｔｏｅｘｔｅｒｎａｌｓｔｕｄｉｅｄｉｎｄｅｔａｉｌｓ．卫１ｅｅｆｆｅｃｔｏｆｂｒａｃｅ’ｓｔｉｆｆｎｅｓｓｔｈｅｓｈｏｃｋａｂｓｏｒｐｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒ

ｖｉｓｃｏｕｓｄａｍｐｅｒｉｓａｎａｌｙｚｅｄｆｏｒｔｈｅｓｉｎｇｌｅ

Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｄｅｇｒｅｅｏｆｆｒｅｅｄｏｍｍｏｄｅｌ．ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｏｆｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆ

ａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄｓｏｆｌｉｎｅａｒｗｉｔｈｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｓｃｏｕｓｄａｍｐｅｒｓ，ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌ

ｓｔｕｄｉｅｄｓｅｐａｒａｔｅｌｙａｎｄｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓａｒｅｏｎａｎｄｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｉｍｐｏｒｔｅｄ：ｍｅｔｈｏｄｓｂａｓｅｄ

ｏｎｔｈｅｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｉｔｉａｌ－ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｉｔｅｒａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＮｅｗｍａｒｋ－ｐａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｍｅｎｔｉｏｎｅｄａｂｏｖｅ，ｓｏｍｅ

ａｒｅＦｏｒｔｒａｎｐｒｏｇｒａｍｓａｒｅｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓ

ｃｏｄｅｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄａｎｄｒｅｓｕｌｔｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙａｎｄｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｐｒｏｃｅｄｕｒｅＡｂａｑｕｓ

ａｒｅｓｅｐａｒａｔｅｌｙａ坞ｅｘａｃｔｌｙｔｈｅｓａｍｅ．Ｔｏｗｋｉｎｄｓｏｆｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ’ｒｅｓｔｏｒｉｎｇｆｏｒｃｅｍｏｄｅｌ，ｔｈｅｈａｒｄｅｎｂｉｌｉｎｅａｒｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓｍｏｄｅｌａｎｄＢｏｕｃ．Ｗｅｎ

ｄａｍｐｅｒｏｎｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓｍｏｄｅｌｓｔｕｄｉｅｄｉｎｄｅｔａｉｌｓ．Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｓｃｏｕｓａｂｏｖｅｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓｍｏｄｅｌｓａｒｅｔｈｅｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．

Ａ８－ｓｔｏｒｅｙｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ

ａｒｅａｉｓｃｏｎｃｒｅｔｅ丘ａｍｅｓｔｒｕｃＲｌｒｅｓｗｈｉｃｈｌｏｃａｔｅｄｉｎ８ｌｅｖｅｌａｎｔｉ－ｓｅｉｓｍｉｃｃｈｏｓｅｎａｓｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｂｊｅｃｔ，ｔｈｅｔｉｍｅｈｉｓｔｏｒｙａｎａｌｙｓｉｓｉｓｐｅｒｆｏｒｍｅｄｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｐｒｏｃｅｄｕｒｅＡｂａｑｕｓｂｅｆｏｒｅａｎｄａｆｔｅｒｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｓｃｏｕｓｄａｍｐｅｒｓａｒｅｉｎｓｔａｌｌｅｄ．田１ｅｖａｌｉｄｉ，ｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｓｃｏｕｓｄａｍｐｅｒｓｉｓｄｃｍｏｎｓｕ＿ａ：ｔｅｄｃｌｅａｒｌｙ．Ｔｈｅｓｈｏｃｋａｂｓｏｒｐｔｉｏｎｏｆｄａｍｐｅｒｓｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｐｅｅｄｐａｒａｍｅｔｅｒｓ

ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ＮｏｎｌｉｎｅａｒＶｉｓｃｏｕｓＤａｍｐｅｒ

Ｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓｉｓｃｏｍｐａｒｅｄ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃＥｑ：ｕａｔｉｏｎｓＭｏｄｅｌＴｕｎｅＨｉｓｔｏｒｙＡｎａｌｙｓｉｓⅡ

声明

本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明确的说明。

研究生签名：丝递辫脚年６月掰日

学位论文使用授权声明

南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。

研究生签名：釜送盔矽年ｆ月２罗日

硕士论文舍非线性牯滞阻尼器结构的动力分析

１绪论

１．１结构控制简介

传统抗震设计方法以概率理论为基础，提出“三水准”的设防要求，即“小震不坏，中震可修，大震不倒”，并通过两阶段设计来实现：第一阶段设计采用第一水准烈度的地震动参数，结构处于弹性状态，能够满足承载力和弹性变形的要求；第二阶段设计采用第三水准烈度的地震动参数，结构处于弹塑性状态，要求具有足够的弹塑性变形能力，但又不能超过变形限值。然而，结构物终止于强震或大风作用下的振动反应（位移、速度和加速度），必然要进行能量转换或耗散【”锄。传统抗震结构体系实际上是依靠结构本身以及承重构件的损坏消耗大部分输入能量，往往导致结构构件严重破坏甚至倒塌，这在一定程度上是不合理也是不安全的。为了克服传统抗震设计方法的缺陷，结构振动控制逐渐发展起来，并被认为是减轻结构地震和风振反应的有效手段。

１９７２年美藉华裔学者姚治平ＵＺ只Ｙａｏ）教授撰文第一次明确提出了土木工程结构控制的概念嘲，近三十年来，国内外学者在结构控制的理论、方法、试验和工程应用等方面取得了大量的研究成果．结构控制的概念可以简单表述为：通过对结构附加控制机构或装置，由控制机构或装置与结构共同承受振动作用，以调谐和减轻结构的振动反应，使它在外界干扰作用下的各项反应值被控制在允许范围内。被动控制不需要外部提供能量，它依靠结构与控制系统内部改变结构的动力特性得以控制，是振动控制的经典方法，主要分为基础隔震、耗能减振和吸能减振三类。具体地，被动控制是通过改变结构的阻尼矩阵Ｃ、刚度矩阵Ｋ和质量矩阵吖，采用隔振、吸振和耗能等技术来减小在动力过程中结构吸收的能量，以达到减振的目的“１。

１．２结构消能减振

结构消能减震技术是一种结构被动控制技术，近年来，许多被动耗能减振装置已经安装在世界多幢土木结构中，作为提高新建结构抗震能力或已有结构抗震加固的措施。《建筑抗震设计规范》（ＧＢ５００１１—２００１）首次以国家标准的形式对房屋消能减震设计这种抗震设防新技术的设计要点做出了规定，标志着消能减震技术在我国已经由科学研究走向了推广应用阶段。常见的耗能装置有：粘滞型、粘弹性型、金属屈服型和摩擦型耗能器““４。

消能部件中安装有消能器（又称阻尼器）等消能减震装置。消能器的功能是，结构构件（或节点）发生相对位移（或转动）时，产生较大阻尼，从而发挥消能减震作用。为了达到最佳消能效果，要求消能器提供较大的阻尼力，即当构件（或节点）在力（或弯矩）作用下发生相对位移（或转动）时，消能器所做的功较大。可以用消能器阻尼力（或消能器承受的弯矩）—位移（转角）滞回曲线所包络的面积来度量：包ｌ

硕士论文含非线性粘滞阻尼嚣结构的动力分析

络的面积越大，消能器的消能能力越大，消能效果越明显“１。

消能器主要分为位移相关型、速度相关型及其他类型啷叭”。粘弹性阻尼器、粘滞流体阻尼器、粘滞阻尼墙、粘弹性阻尼墙等属于速度相关型，即消能器对结构产生的阻尼力主要与消能器两端的相对速度有关，与位移无关或与位移的关系为次要因素；金属屈服型阻尼器、摩擦阻尼器属于位移相关型，即消能器对结构产生的阻尼力主要与消能器两端的相对位移有关，当位移达到一定的起动限值才能发挥作用。摩擦阻尼器属于典型的位移相关型消能器，但是有些摩擦阻尼器有时候性能不够稳定．此外，还有其它类型的消能器如调频质量阻尼器（ｍ∞）、液压质量振动系统ｉｆ／ＭＳ）和调频液体阻尼器（咒Ｄ）等。

１．３粘滞阻尼消能控制的研究与应用现状

粘滞阻尼器在重工业以及军事领域已成功应用很多年，而将其用于结构振动控制的研究始于八十年代末。在１９９６年，Ｔａｙｌｏｒ设备公司的阻尼孔流体阻尼器进行足尺结构的实际应用，这种技术已被应用到很多土木工程中以减弱风振以及地震。１９９８年，日本Ｓｕｍｉｔｏｍｏ公司设计出了粘滞阻尼墙（ＶＤＷ）。油缸式粘滞阻尼器最早用于机械工程（如火车减速顶），军用装备（如火炮缓冲器）和航空领域，如ＧＥＲＢ振动控制公司制造的筒式阻尼器。国内对粘滞阻尼器的研究起步较晚，１９９９年，哈尔滨建筑工程大学的欧迸萍教授等研制了油缸间隙式粘滞阻尼器，并进行了理论与试验研究嘲；东南大学李爱群教授等在１９９９年完成了单出杆和双出杆粘滞阻尼器的设计，并获得了国家专利（专利号ＺＬ００２１９６４８）嘲０１；北京工业大学对粘滞阻尼器进行了理论与试验研究，研制出了不同构造、不同设计吨位的阻尼器。

到目前为止，很多工程使用了粘滞阻尼器，涉及到高层建筑、高耸结构、桥梁、体育馆、海洋石油平台甚至卫星发射塔等嘲叫埘。粘弹性耗能器在１９６９年开始应用于土木工程结构的耗能减振中，当时在纽约世界贸易中心的两个塔楼上分别安装了１万多个粘弹性耗能器，用来减小塔楼在风作用下的振动，取得很好的减振效果。１９８２年在美国西雅图的ＣｏｌｕｍｂｉａＳｅａＦｉｒｓｔ大厦上就安装了２６０个粘弹性耗能器，计算分析表明安装粘弹性耗能器后，结构的阻尼比从原来的０．８９６增加到６．４％，有效地减小了结构的风振反应。位于加州Ｗｏｏｄｌａｎｄ饭店的抗震改造也是使用了Ｔａｙｌｏｒ流体阻尼器，共用了１６个４５０ｋＮ的阻尼器与斜支撑一起安装于结构中。另外马萨诸塞州波士顿商业区的３５层建筑共安装了４０个最大阻尼力６７０ｋＮ、行程±２５ｍ的阻尼器。西雅图的联合广场大厦和台湾的Ｃｈｉｅｎ－Ｔａｎ火车站屋顶也都来用了粘弹性耗能器来减小结构的风振反应“ｎ。在我国，１９９８年北京饭店抗震加固中采用了法国Ｊａｒｒｔ公司生产的缸式粘滞阻尼器“日。１９９８年北京火车站抗震加固采用的是美国生产的油缸粘滞阻尼器。美国蓝湖公司和中国建筑科学研究院抗震所一起在１９９９年北京站抗震加固中采用了２

硕士论文古非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

Ｔａｙｌｏｒ流体阻尼器，采用每个方１６个１３０吨的非线性液体粘滞阻尼器，阻尼器可以使原结构的阻尼比从５％（一般钢筋混凝土结构）提高到了２０％，从而把大震下的层向位移降低到弹性范围内。宿迁市交通大厦抗震设防烈度９度，采用粘弹性阻尼器减震，提高了结构抗震能力“”。广州天河区翠湖山庄在转换层采用粘弹性阻尼减震墙，以达到控制该处层间位移的目的Ⅱ町。

１．４粘滞阻尼器构造

粘滞阻尼器是结构被动控制中一种十分有效的耗能减震装置。由于线性祜滞阻尼器在相当宽的频带内是保持力学特性不变，对温度不敏感、产生的阻尼力与位移不同步等优点，在土木工程领域很是看好。常见的粘滞阻尼器有三种：筒式粘滞流体阻尼器、粘滞阻尼墙和杆式粘滞流体阻尼器。

经典的阻尼筒是使诸如硅油凝胶等高粘性物质变形时的机械能转变为热能形成的。图１．４．１描述了由ＧＥＲＢ振动控制公司制造的筒式阻尼器啪，图１．４．１中，在活塞上加入突缘以及其他细部构造以提高性能。

图１．４．２所示为日本Ｓｕｍｉｔｏｍｏ公司设计的阻尼墙（ＶＤＷ），其活塞是很简单的钢板约束于充满粘性液体的矩形钢制容器中。将其安装在标准的框架跨内，活塞固定于上部楼层，容器固定于下部楼层，相对层间移动剪切液体，因此耗能。通过安装足够数量的ＶＤＷ组合装置于结构框架中，可以显著增加结构的阻尼水平。

杆式流体阻尼器一般是由缸体、活塞和流体组成。活塞在缸筒内可作往复运动，活塞上有适量小孔，筒内盛满流体，利用活塞在粘滞性流体中运动消耗地震时输入结构的能量。图１．４．３所示为Ｔａｙｌｏｒ设备公司设计的液体阻尼器。

硕士论文舍非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

阻尼器液体＋一保护套

＋一阻尼器外壳

阻尼／黼塞

图１．４．１圆筒ＧＥ髓阻尼器

，

●

，＇／／／／／／／／／／／／，

．｜

图１．４．２液体阻尼墙．｜

图１．４．３杆式液体阻尼器

４

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

１．５粘滞阻尼器力学计算模型

正确建立粘滞阻尼器的力学计算模型是结构分析的前提，目前已经提出了很多粘滞阻尼器的力学计算模型鲫“”“小“，其中包括线性模型、Ｋｅｌｖｉｎ模型，Ｍａｘｗｅｌｌ模型、Ｗｉｅｃｈｅｒｔ模型等。本文研究非线性液体粘滞阻尼器（ＮｏｎｌｉｎｅａｒＦｌｕｉｄＩｒ珥ｃｏｕｓＤａｍｐｅｒｓ，简称ＦＶＤ￥）模型，如图１．５．１（ａ）所示，相应的Ｋｅｌｖｉｎ模型如图１．５．１（ｂ）所示，阻尼力与两端相对速度的关系如式（１．５．１）所示．

ｆ厶＝ｃａｓｇｎ（ｕ）ｌｕｌ４

Ｉ兀＝砌＋ｅａｓｇｎ（ｕ）ｆⅣｒ（１．５．１）

其中，厶为阻尼力，气为阻尼系数，“为阻尼器两端相对速度，ｋ为与阻尼器并联的刚度，口为速度指数，ｓｇｎ（ｏ）为符号函数。一般地，结构中采用的非线性液体牯滞阻尼器的速度指数口Ｅ【ｏ．１，１．０】。显然，口离１．０越远，其非线性愈强。

（ａ）液体粘滞阻尼器力学模型∞带刚度液体粘滞阻尼器力学模型

图１．５．１阻尼器力学模型

图１．５．２液体粘滞阻尼器的相对速度一阻尼力曲线（其中，假定：气＝１．０）

根据式（１．５．１），可依据速度指数岱的取值将粘滞阻尼器分为三类：线性阻尼器（口＝１）、非线性阻尼器（０＜口＜１）和超线性阻尼器（口＞１）。土木工程中常用的是线性阻尼器和非线性阻尼器，其速度一阻尼力关系在第一象限内如图１．５．２所示。５

硕士论文台非线性粘滞阻尼罂结构的动力分析

由图１．５．２可见，与线性阻尼器相比，非线性阻尼器在较低的相对速度下，就可以输出较大的阻尼力；而速度较大时，阻尼力的增加幅度不大；线性阻尼器的阻尼力与速度成正比。此外，当相对速度小于１时，非线性阻尼器的输出力远大于线性阻尼器，而当速度大于１时，正好相反。由此可见，选用速度指数小的非线性阻尼器，其输出阻尼力在速度变化的前期更容易达到较大值，而在速度较大时阻尼力增加较小，这样能有效保护支撑系统和连接点不会因为阻尼力过大而先于结构失效。

国内外很多学者对设置此类非线性粘滞阻尼器的结构系统的计算方法进行了深入研究Ⅱ叮“町渊嘲１嘲。研究普遍认为，非线性阻尼器在很大程度上增加了结构的阻尼比，常规的振型分解一反应谱法一般仅适用于减震结构的初步分析，准确分析应采用时程分析方法。粘滞阻尼器一般与支撑串连加到结构上，欧进萍等人研究了支撑刚度对线性粘滞阻尼器性能的影响嘲。

对于线性阻尼器，在受到谐波作用，即ｐ（ｆ）＝矾ｓｉｎ（ａｓ）时，系统稳态响应为删：材（ｒ）＝ｉＰｏ石两丽１＋【（１一∥２）ｓｉｎ（ｓｏ）一２够ｃｏｓ（研）】（１．５．２）其中，ｆ为阻尼比，频率比∥＝ａＦ／ｃａ，圆频率ｍ＝√七／ｍ。于是，线性阻尼力为：ｆｄ（ｔ）－－ｃｕ（沪譬而考‰万．【（１∥）ｃｏｓ（硼４－２够ｓｉｎ（ｓｏ）］（１．５．３）显然，甜（ｒ）一厶（０曲线为椭圆。为简单起见，设ｕ（ｔ）＝‰ｓｉｎ（ａ，ｔ），则

兀（Ｏ＝ＣＵｏＣＯｃｏｓ（ｃｏｔ）

于是：（玛：＋（玛ｚ：１

“Ｏ（１．５．５４）Ｃ＂Ｏ∞

椭圆面积ｓ；嬲‘：∞，即为线性阻尼器在一个周期内的耗能。

对于非线性阻尼器，设阻尼器两端的相对位移为谐波，即甜（，）＝‰ｓｉｎ（耐），则不带刚度以及带刚度的阻尼器输出阻尼力分别为：

ｆ五。气８９ｎ（ｕｏ国ｃｏｓ（研））Ｉｕｏｃｏｃｏｓ（ｃｏＯｌ４

Ｉ厶＝砜ｓ砥耐）＋％ｓｇｎ（ｕｏｃｏｃｏｓ（ｃｏｔ））Ｉ／，４０ｃａｃｏｓ（ｃｏｔ）ｒ“５．５）

在一个周期（ｒ＝２石，国）内，假定：气－－Ｉ．ｏ，甜＝１．Ｏ，Ｕｏ＝１．０，＿ｊ｝＝１．０，分别取不同的速度指数，阻尼器的位移一阻尼力滞回曲线如图１．５．３所示。由图可见，速度指数口越小，阻尼器的位移一阻尼力滞回曲线就越接近矩形；当口＝Ｉ时便是椭圆，成为线性阻尼器。在两端位移峰值相同的情况下，非线性阻尼器的滞回曲线包络面积比线性阻尼器滞回曲线包络面积更大，因而耗能能力更强。下面以在一个周期内所作的功６

硕士论文古非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

来说明这个问题。

２４

１８

１２

Ｒ

哩

雹・ＲＯ６０

６

２

８哩爱

旬一一之

４—

图１．５．３不同速度指数下的位移一阻尼力曲线

（其中，假定：气＝１．０，ｆ－＃＝１．０，Ｕｏ＝１．０，屯＝１．０）

做功计算式为：

ｄｗｄ２厶＋ｄｕ

于是，对于无刚度非线性粘滞阻尼器，其两端相对位移为正弦曲线时，阻尼器在一个周期（Ｔ＝２石／。ａ）内，外力所做的功嘲为：

ｒ

％＝肛’Ｑｕ＝丘Ⅳ护彩１”ｓｇｎ（玉）ｌＣ０￥（ｏｕ）１４

０

ｒｃｏｓ（耐）西

＝掣０“（０４『ｓ烈五）Ｉｃｏｓ（硼１４ｃｏｓ（ｃｏｔ）ｄ（ｃｏｔ）

Ｏ

记），＝＃ｏｒ，则

２Ｆ

＇Ｗｄ－－－－ＣａⅣｏ“（０４ｆｓ蓟）ｌｃｏｓ∽１４ｃｏｓＬｖ）咖

Ｏ

＝气舻口ｍ口

ｍ吖。＋，Ｊｍ＋ｍｆｆ＋如ｆｍ

ｆｂ烈．Ｄ∞Ｓ∽口∞《力砂Ｘｕ＞０ｓｇｎ（“）＝ｌ；甜＜Ｏ时８雷１（甜）＝一１。所以：－１２３ｆ，２２ｆ’

％＝气“｝。矿｛（ｆ－』＿Ｊ＋Ｊ）１ｃｏｓＯ，）ｒｃ。ｓ∽砂｝

０ｆ，２ｔ３ｘ／２

考虑到ｃｏｓＯ，）在不同区间内的符号有：

．１２ｆ，２

％＝２气球４口４｛（卜，＋１（ｙ坳＋Ｊ＇ｓｉｎ４＋１（），协｝

００

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

闹：“ｏ，）痧＝二竺二≠，可得：蝴蔽ｐ枷～陟＝孚罴－．ａ＋ｌ（ｙ陟－－ＳＣＯＳａ由伽玛函数ｐｉｎ”１０２０ｌＹ一‘ｎ

峭厩柑南ｒ（ａ－＋１）、

对于线性阻尼器：ｎｓ㈣由式（１．５．６）可见，在‰以／ｇａ，不变的情况下，速度指数口越小，非线性阻尼器在一个周期内所作的功％越大。即较小的速度指数口，将消耗更多的能量，起到

五＝≯也：弼口麓。。：◇）方：。瑶∞孕二罢掣砂：积国（１．５．７）

也即式（Ｉ．５．４）所示椭圆的面积。两种阻尼器在一周内，滞回曲线面积比值为：

五＝薏＝嘉詈ｃ埘篙；％、／石。ｎｓ㈣ｒ（芝与

Ⅱ

图１．５．４口一Ａ曲线（其中假设气＝１．０，ｃ＝１．０，田＝１．０，“ｏ＝１．０）

由图Ｌ５．４可见，在一定的范围内，当位移峰值以及谐波频率不变时，非线性阻尼器比线性阻尼的更能耗能，随着非线性阻尼器速度指数口的增大，在一个周期内的耗能能力减小．理论上来说，当速度指数口＝Ｏ时，就成了摩擦型阻尼器。

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

１．６本文主要研究内容

本文针对含非线性液体粘滞阻尼器结构主要开展如下研究工作：

（１）分析了含非线性液体粘滞阻尼器单自由度系统在谐波作用和地震作用下，谐波幅值、阻尼器速度指数和阻尼系数对系统响应的影响。欧进萍等人研究了斜支撑剐度对线性阻尼器耗能效果的影响，本文进一步研究在不同速度指数下，斜支撑刚度对非线性阻尼器耗能效果的影响。

（２）常规处理动力平衡方程中非线性阻尼项的方法是将其线性化；本文研究了对此类非线性动力方程的数值求解方法：基于常微分方程理论的离散方法和基于Ｎｅｗｍａｒｋ－ｆｌ假设的迭代方法，并与现有非线性有限元程序计算结果对比。

（３）研究在考虑结构本身非线性恢复力模型下，阻尼器的耗能；主要分析了硬化双线性折线模型和Ｂｏｕｃ．Ｗｅｎ曲线模型两种恢复力模型。

（４）对一个８度抗震区的８层钢筋混凝士框架结构，用有限元软件Ａｂａｑｕｓ对被控结构在安装非线性粘滞阻尼器做前后进行时程分析，以说明阻尼器的减震效果；分析了不同阻尼器速度指数对结构抗震性能的影响。

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

２单自由度系统分析

本章重点讨论含非线性液体粘滞阻尼器单自由度系统在正弦波和地震波作用下的响应，并就单自由度系统，分析斜支撑刚度对阻尼器减震效果的影响。本章所涉及非线性方程数值解均按第三章所述算法以Ｆｏｒｔｒａｎ编程计算所得。

２．１含液体粘滞阻尼器单自由度系统分析

％¨“（，）

ｐ（ｆ）

图２．１．１单自由度系统模型

单自由度系统模型如图２．１．１所示，根据ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ原理，动力方程如式（２．１．１）所示。

ｍｕ＋ｃｕ＋ｋｕ－Ｉ－ｃ。ｓｇｎ（ｕ）Ｉ“１４＝ｐ（Ｄ

２．１．１正弦波激励下系统响应分析

对于方程（２．１．１），当系统不含有非线性阻尼项时，方程成为：

ｍｕ＋ｃｕ＋ｋｕ＝ｐ９）（２．１．１）

系统受到简谐动力荷载ｐ（ｆ）＝Ａｐｓ砥耐）时，记系统圆频率ｍ＝√两磊，ｃ＝２√础乎（手为系统的阻尼比），则系统稳态响应为：

“（ｆ）＝Ａｓｉｎ（＝ｆ一咖

其中，

４：下宁亏喜——亍生，伊：ｔａｎｑ蠢婴白４＝—Ｆ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝一２，口＝、（—；二二ｊｏ√（∞２—１９＂２）２＋（２和刃）２ｍ’（．１．１．）（２．１．１．２）。…～。、（－０２一口∥

振幅４可写为，

其中，２＝刃／国为频率比，于是系统动力放大系数为圈：彳２而ｉ丽１万Ａｐ∥。而蓊丽１√（１一牙）２＋（２弘）２肌∞２

由式（２．１．１．３）可见，动力放大系数，是频率比名和阻尼比善的函数，与谐波幅值无关；阻尼比孝一定的情况下，频率比离１越远，动力放大系数越小；阻尼比ｆ＝

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

０，频率２＝ｌ时，动力放大系数口专ｍ，产生理想共振。对动力方程（２．１．１）作化简，取∞＝厮，ｃ＝２石砖（孝为安装液体阻尼器

４２嘭４缈２ｕ＋ｃ，，ｓｇｎ（ｕ’）Ｉｕ‘Ｉ／ｍ＝Ａ，ｓｉｎ（；．ａ０／ｍ

作变换ｖ＝五，则方程（２．１．１．４）可写成：前，系统的阻尼比），外荷载为ｐ（ｒ）＝彳，咖（积），取频率比２＝巧／国，于是：

仁…川一讥…肿Ⅳ历，

取模型参数：ｍ＝０．８七Ⅳ＋Ｊ２／ｃｍ，口＝Ｏ．１，气＝２．Ｏ（ｋＹＩｃｍ）．ｏ一，ｋ＝２０ｋＮＩｃｍ，善＝Ｏ．０１；谐波参数：Ａ。＝１５．０，旯＝０．５；积分步长０．００５ｓ，积分时间４０ｓ。

系统各个响应（位移、速度和加速度）时程如图２．１．１．２所示．由图可见，由于非线性阻尼的引入，各个响应已不是简单的谐波了：在振动之初，由于自由振动成分的存在，因而波动较大，随着自由振动分量的衰减，位移响应逐渐表现为平稳的强迫振动。从图２．１．１．２（ａ）看，强迫振动类似于简谐运动。由图２．１．１．１可见，当速度指数取０．１时，非线性粘滞阻尼器（胁）的位移．阻尼力滞回曲线十分饱满，接近摩擦型阻尼器的滞回曲线，这一点也可以从图２．１．１．２的（ｄ）图中看出，鼢的阻尼力响应时程基本上呈现锯齿状。

被控结构的能量分布时程曲线如图２．１．１．３所示，输入系统的能量（尉）存在于以下四种形式：动能（臌）、弹性势能（秭）、非线性液体阻尼器耗能（＆以）和线性阻尼器耗能（占踢，从图中可见，Ｅｄｌ远大于占磁。由图２．１．１．２（ｂ）可见，系统处于低速状态，因而ＦＶＯｓ可以较好地发挥其耗能能力，其位移一阻尼力曲线饱满（如图２．１．１．１所示）。系统的能量平衡（毋一Ｅ卜Ｅｄｌ一影争勖）曲线如图２．１．１．３所示，由图可见，能量在误差范围内可以视为是平衡的。

图２．１．１．１两种阻尼器滞回曲线（口＝０．１）

硕士论文舍非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

２．Ｏ

１．０

０．Ｏ

一８一镩犁－１．０

－２．０

Ｏ１０２０３０４０

时问（ｓ）

（ａ）位移响应时程

４．Ｏ

２．Ｏ

Ｏ．０

∞／Ⅲ。ｖ型锻．２．０

－４．０

０２０３０４０

时间（Ｓ）

（ｂ）速度响应时程

Ｇ１８

专８

遗０

删－８

最．１６

Ｏ２０３０４０

时间（ｓ）

（ｃ）加速度响应时程

２３．０

ｄ１．５

荟ｏ．ｏ

雹．１．５

．３．０

０２０３０４０

时间（ｓ）

（ｄ）ｍｓ阻尼力响应时程

图２．１．１．２ＳＤＯＦ系统在谐波下的各个响应时程

＾８＊互一蛐箍畲ｕ薹ｇ嘲翟

时间（ｓ）

Ｃａ）系统各个能量曲线时间（ｓ）（ｂ）系统能量平衡曲线

图２．１．１．３系统能量曲线

硕士论文舍非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

２．１．１．１谐波幅值以及速度指数对系统的影响分析

设在谐波ｐ（ｆ）＝Ａ。ｓｉｎ（２ｍｔ）（其中０９为被控系统圆频率，旯为频率比）作用下，系统最大位移量响应为（，。．记系统放大系数，＝ｕ。／（Ａｐ／ｋ）。

分别取模型基本参数；ｍ＝０．８七＾ｒ＋Ｊ２／ｃｍ，ｃ。＝２．０（ｋＮ／ｃｍ）一，七＝２０ｋＮＩｃｍ；速度指数口分别取Ｏ．１，Ｏ．３，Ｏ．５，Ｏ．７，０．９和１．０，谐波幅值作如下变化４。＝１．５砸＝１，２，３，．．．，ｌｏ）。积分时间均取ｌＯＯｓ，积分步长根据求解参数的不同而变化。

４

籁

垛

斗＜

辎

图２．１・１．１．１不同速度指数下放大系数与频率比的关系曲线图（ｆ＝Ｏ．０１）

（注：图中的子图（ａ）～（ｆ）中曲线由内至外，系由逐渐改变外荷载峰值彳。所得，４。依次取为１．５ｉ（ｉ＝１，２，３，…，１０），所有曲线均经过了样条平滑处理．）

当阻尼比手＝０．０１时，此时被控系统是小阻尼系统，在不同速度指数下，随谐波幅值变化，放大系数卢与频率比ｙ的关系曲线图如图２．１．１．１．１所示。由图２．１．１．１．１中各个子图可见，当谐波频率与被控系统的频率接近时，系统出现峰值放大系数。由图２．１．１．１．１（ａ）～（ｅ）可见，随着谐波幅值的增大，系统的放大系数也逐渐增大。但是，在速度指数增大时，在同一谐波峰值水平下，系统的放大系数却逐渐减小．系统动力放大系数与谐波幅值直接相关。当速度指数取为１．０，即成为线性阻尼器时，系统的放大系数将不再受到谐波峰

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

值的影响，即为一确定值（如图２．１．１．１．１（ｆ）所示），从前面的分析来看，正是如此。由于系统含两个不同阻尼系数的线性阻尼器，因而在频率比为１．０时，仍不会发生共振现象。同时，在同一谐波峰值水平下，系统的放大系数随速度指数的增大而变的逐渐平缓。

吐吐

籁

谣

Ｋ

耧赫伪Ｋ矮

频率比＾

吐吐频率比ｋ

辐

螨

Ｋ

疆菇幅Ｋ

疆

频率比＾

吐

赫

髅

Ｋ

耧

图２．１．１．１．２不同速度指数下放大系数与频率比的关系曲线图（芒＝０．１０）

（注：图中的子图（ａ）～（ｆ）中曲线由内至外，系由逐渐改变外荷载峰值４。所得，４。依次取为１．５砸＝１，２，３，．．．，１０），所有曲线均经过了样条平滑处理。）

取善＝Ｏ．１０时，此时被控系统是高阻尼系统，在不同速度指数下，随谐波幅值变化，放大系数卢与频率比ｙ的关系曲线图如图２．１．１．１．２所示．同小阻尼系统一样，当谐波频率与被控系统频率接近时，系统出现峰值放大系数，以及随着谐波幅值的增大，系统的放大系数也逐渐增大，并且当速度指数增大时，在同一谐波峰值水平下，系统的放大系数却逐渐减小。

对比图２．１．１．１．１与图２．１．１．１．２可见，在同一谐波峰值水平下，系统处于高阻尼情况时，其放大系数明显要小而且更加平缓。同样，即便在频率比为１．０时，也不会发生共振现象。

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

２．１．１．２阻尼系数以及速度指数对系统的影响分析

同样对于上述模型分析阻尼系数以及速度指数对系统的影响。分别取模型基本参数：ｍ＝０．８ｋＮ＋Ｊ２／佣，七＝２０ｋＮ／ｃｍ，Ａｖ－－１２．５ｋＮ，速度指数口分别取０．１，０．３，０．５，０．７，０．９和１．０，液体阻尼器的阻尼系数作如下变化％＝０．６ｉ（ｉ＝１，２…３。，ｌｏ）。

频率比～

吐吐

籁

幅

斗＜巅

疆幡Ｋ疆

频率比ｋ

图２．１．１．２．１不同阻尼系数下放大系数与频率比的关系曲线图（善＝０．０１）

（注：图中的子图（ａ）～（ｆ）中曲线由外至内，系由逐渐改变阻尼系气数所得，气依次取为Ｏ．６ｉ（ｉ＝１，２，３，．．．，１０），所有曲线均经过了样条平滑处理．）

在小阻尼（善＝０．０１）情况下，在不同速度指数下放大系数∥与频率比，的关系曲线图如图２．１．１．２．１所示。由图２．１．１．２．１中各个子图可见，在谐波峰值一定的情况下，当谐波频率与被控系统的频率接近时，系统出现峰值放大系数。在图２．１．１．２．１（ａ）中，速度指数取为Ｏ．１时，随着ＦＶＤ￥的阻尼系数的增大，系统的放大系数逐渐减小。在同一谐波峰值水平下，当速度指数增大时，系统的放大系数也逐渐减小。

当速度指数取为１．０，即成为线性阻尼器时，系统的放大系数随阻尼系数的增大而减小。在各个不同速度指数下，当阻尼系数足够大时，系统的放大系数受谐波频率的影响甚小．随着速度指数的增大，同一阻尼下的系统放大系数曲线变化逐渐平缓。

硕士论文台非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

矗

籁

１蹈

斗＜

辎

吐

妊

谣

Ｋ

疆

吐

巅

僻

斗＜

疆

图２．１．１．２．２不同阻尼系数下放大系数与频率比的关系曲线图（孝＝０．１０）

（注：图中的子图（ａ）～（ｆ）中曲线由外至内，系由逐渐改变阻尼系ｃ。数所得，气依次取为０．６ｉ（ｉ＝１，２…３．．，１０），所有曲线均经过了样条平滑处理。）

对于高阻尼（善＝Ｏ．１０）系统，在不同速度指数下放大系数∥与频率比，的关系曲线图如图２．１．１．２．２所示。同小阻尼（ｆ＝０．０１）系统类似，即在谐波峰值一定的情况下，当谐波频率与被控系统的频率接近时，系统出现峰值放大系数。但是在各种不同阻尼系数情况下的放大系数与频率比关系曲线要更为平滑，峰值变化平缓。

从图２．１．１．２．２中各个子图可见，当阻尼系数较大时（如Ｃａ＝６．０时），放大系数曲线呈现过阻尼现象（即每个子图中的最内层曲线）。同时，随着速度指数的增大，阻尼系数对放大系数的影响减弱。由于系统的阻尼较大，因而其速度响应幅值不大，导致阻尼器的速度指数对系统放大系数的影响不剧烈。同样，在各个不同速度指数下，当阻尼系数足够大时，系统的放大系数受谐波频率的影响甚小，并且在频率比为１．０时，不会发生共振现象。

２．１．２地震波作用下系统响应分析

２．１．２．１被控系统响应分析

巴“２一讥一ｍⅣｍ，

取被控结构基本参数为：加＝０．８ｋＮ＊ｓ２／ｃｍ，ｋ＝８０ｋＮ／ｃｍ，口＝Ｏ．１，气＝４．８（忌Ⅳ＋ｓ／ｃｍ）…，国＝√面ｉ，善＝ｏ．０１，假定被控结构分别受到Ｔｉａｎｊｉｎ波（峰值调整为７０ｃｍ／ｓ２，时间步长０．Ｏｌｓ，持时１９．２０ｓ）作用，加速度波曲线如图２．１．２．Ｉ．１所示。积分步长取０．０１ｓ，被控结构的响应（位移、速度和加速度）如图２．１．２．Ｉ．２所示。

矿

。

魁

ｊ圈

曼

图２．１．２．Ｉ．ＩＴｉａｎｊｉｎ波加速度时程曲线

时间（ｓ）时间（ｓ）时间（ｓ）

（ｃ）加速度时程（ａ）位移时程

图２．１．２．１．２（ｂ）速度时程Ｔｉａｎｊｉｎ波作用下系统各响应时程

被控结构中的液体阻尼器特征曲线即速度一阻尼力曲线和位移一阻尼力曲线如图２．１．２．１．３所示。被控结构的能量分布时程曲线如图２．Ｉ．２．１．４所示，输入系统的能量（尉）存在以下四种形式：动能（盛）、弹性势能（勘）、非线性液体阻尼器阻尼耗能（晟以）和线性阻尼器阻尼耗能（助缈，从图中可见，点ｄｌ远大于Ｅｄ２．由图２．１．２．１．２（ｂ）以及图２．１．２．１．３（ａ）可见，系统处于低速状态，因而非线性粘滞阻尼器可以较好地发挥其耗能能力。其位移一阻尼力曲线饱满（如图２．１．２．１．３（ｂ）所示）。系统的能量平衡（伍一凰一肋一尉纥靠）曲线如图２．１．２．１．４（ｂ）所示，１７

由图可见，能量在误差范围内可以视为是平衡的。

速度（ｃｍ／ｓ）位移（ｃｍ）

（ｂ）阻尼器位移一阻尼力滞回曲线（ａ）阻尼器速度一阻尼力曲线

图２．Ｌ２．１．３阻尼器特征曲线

省

茎邑

嘲

疆

时间（ｓ）

（ａ）系统各个能量曲线

图２．Ｉ．２．Ｉ．４系统能量曲线时间（ｓ）（ｂ）系统能量平衡曲线

２．１．２．２被控系统与无控系统响应对比

下面对比被控系统与无控系统的位移、速度响应。取被控结构基本参数为：ｍ＝ｏ．８ｋＮ＊ｓ２Ｉｃｍ，ｋ＝８０ｋＮｌｃｍ，国＝√＿ｊ｝，棚，所安装的液体阻尼器基本参数为：口＝ｏ．１，ｃ。＝４．８（盘Ⅳ’ｓ，ｃ棚）“，斜支撑刚度ｋ＆＝５ｃ，，国／３．

取两组阻尼比分别为善＝Ｏ．Ｏｌ和善＝Ｏ．０５。假定被控结构受到图２．１．２．１．１所示Ｔｉａｎｊｉｎ波作用，积分步长取Ｏ．００５ｓ，积分时间２５．Ｏｓ。在『Ｏ，１９．２０］时间内，系统作强迫振动，在［１９．２０，２５．Ｏ】时间内，系统作自由衰减振动。

不同阻尼比下的结构位移、速度响应分别如图２．１．２．２．１、图２．１．２．２．２所示，从图２．１．２．２．Ｉ（ａ）和图２．１．２．２．２（ａ）可见，在无控系统阻尼比为ｆ＝０．０１时，无控系统的位移以及速度时程峰值较大，并且衰减速度较慢。而在无控系统取阻尼比为

善＝０．０５时，位移以及速度时程峰值有所减小，并且衰减速度较快（图２．１．２．２．１（ｂ）与图２．１．２．２．２（ｂ）可见）。由图２．１．２．２．１和２．１．２．２．２可见，在两种情况下，有控系统的位移、速度响应均得到了很好的控制，并且系统响应衰减很快，说明了阻尼器的减震效果。

，６

０８

０Ｏ（ａ）４－０．０１

＾ｇｖ簿犁旬８——有控

………无控

０５４６

０８

Ｏ４

Ｏ０．（ｂ）｛＝ｏ．０５Ｊ叫岍～＂泓Ｖ魄氏～州

：ｌ——有控Ｉ

０ｍ４＾ｇｖ漤罩ｍ８４２｜－……～无控ｌ－‘嘲秘１０时问（ｓ）４●．●５１０１５

时间（ｓ）

图２．１．２．２．１不同阻尼比下系统位移时程

（ａ）｛＝０．０１

１２伯５

＾∞１ｕｖ越幽

ｏ巧加啪

Ｏ５１０

时间（ｓ）

＾∞１ｕｖ雠剃

图２．１．２．２．２不同阻尼比下系统速度时程

１９

２．２斜支撑刚度对非线性阻尼器耗能效果影响分析

欧进萍等人【３１１分析了线性阻尼器与斜支撑串连安装至结构中时，斜支撑刚度对线性阻尼器耗能减震效果的影响。尚未有斜支撑刚度对非线性粘滞阻尼器减震效果影响的分析。本节研究斜支撑刚度对非线性粘滞阻尼器耗能减震效果的影响。

２．２．１带斜支撑的非线性阻尼器模型

斜支撑与非线性阻尼器串连后安装在结构中，单自由度系统如图２．２．１．１所示

ｕＡｔ）％ｐ）

气卜—・卜—＋

—，ｐＯ）

图２．２．１．１斜支撑与阻尼器串连模型

由图２．２．１．１所示系统，动力方程可写为：

｛竺篡黧＿

记０。＝ｚ，ｋｓ＝２ｃａｏＤ，ｃ＝２√掰增（其中，∞＝√七／ｍ为系统圆频率、孝为被控结构的阻尼比、Ａ为斜支撑刚度参数）则：

．．三

ｌＩ＇／２２．ｓｇｎ（ｕ１一屹）Ｉ群“啦）ｒ（２．２．１．２）

ｌｚ＝＂－－－［ｐ（ｔ）一（２４ｍｋｇ；ｚ＋ｋｕＩ＋知。ｃｏ（ｕ『ｌ一甜２）】

、，开

记向量１，＝｛ｖ（１），ｖ（２），ｖ（３））７＝｛吨，ｚ，Ｕ２尸，ｐ（ｔ）－．ｍ－－ＩｎＵｇ，则系统动力方程为：

ｖ（２）

咖

ｄｔ一ｕ，－【２√；磅（２）＋如（１）＋．≈气国（ｖ（１）一ｖ（３）］／ｍ

三（２・２・１・３）

ｓｇｎＯ，（Ｄ－ｖ（３））ＩＡ∞（ｖ（１）一ｖ（３））Ｐ

２．２．２斜支撑刚度对非线性阻尼器耗能效果影响分析

记被控结构最大位移量响应为（，Ｏ一；被控结构安装带斜支撑的ＦＶＤ￥时，最大位移量响应为Ｕ１一。下面考察在两组不同阻尼比情况下，斜支撑刚度参数Ａ对液体

硕士论史含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

阻尼器耗能效果的影响，以们一／【厂０一作为耗能效果考察指标。

表２．２．２．１模型基本参数

兰兰坚血箜叠世盘业函１

２００．０８０５．００

４００．１１３７．０７

系统１０．８６００．１３９８．６６０．０１

８００．１６０ｌＯ．００

１０００．１７９１１．１８

１２００．１９６１２．２５

取被控结构的基本参数如表２．２．２．１所示，系统ｌ与系统２分别取阻尼比为０．０１和０．０５，每个系统中的阻尼系数分别为气＝１．６ｉ（ｋＮ＋ｓ／ｃｍ）”Ｏ＝１，２，．．．，５），假定被控结构分别受到Ｔｉａｎｊｉｎ波（峰值调整为７０ｃｍ／ｓ２，时间步长０．０１ｓ，持时１９．２０ｓ）和Ｔａｆｔ波（峰值调整为７０ｃｍ／ｓ２，时间步长０．０１ｓ，持时２７．１９ｓ）作用，两条加速度波曲线分别如图２．１．２．１．１和图２．２．２．１所示。

矿

１３

趟

蚓

量

时间（ｓ）

图２．２．２．１Ｔａｆｔ波加速度时程曲线

图２．２．２．２、图２．２．２．３、图２．２．２．４、图２．２．２．５分别是速度指数口＝０．１、０．３、０．５、０．８，阻尼比为｛＝Ｏ．０１时，在Ｔｉａｎｊｉｎ波作用下，被控结构在安装ＦＶＤｓ前后位移峰值对比图。图２．２．２．２、图２．２．２．３、图２．２．２．４、图２．２．２．５中各个子图中曲线均自上而下，ＦＶＤ￥的阻尼系数分别取ｃ。＝１．６ｉ（ｉ＝１，２￥ｏｏ．９５），分别对应于各个子图中的夙＆及反尸曲线，所有曲线均经过了样条平滑处理。

图２．２．２．６、图２．２．２．７、图２．２．２．８、图２．２．２．９分别是速度指数口＝Ｏ．１、０．３、２１

硕士论文舍非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

０．５、０．８，阻尼比为孝＝０．０１时，在Ｔａｆｔ波作用下，被控结构在安装ＦＶＤｓ前后位移峰值对比图。图２．２．２．６、图２．２．２．７、图２．２．２．８、图２．２．２．９中各个子图中曲线均自上而下，ＦＶＤｓ的阻尼系数分别取ｃ。＝１．６ｉ（ｉ＝１，２，．．．，５），分别对应于各个子图中的及＆及＆，曲线，所有曲线均经过了样条平滑处理。

图２．２．２．１０、图２．２．２．１１、图２．２．２．１２、图２．２．２．１３分别是速度指数口＝Ｏ．１、０．３、０．５、０．８，阻尼比为ｆ＝０．０５时，在Ｔｉａｎｊｉ＿ｎ波作用下，被控结构在安装胁前后位移峰值对比图。图２．２．２．１０、图２．２．２．１１、图２．２．２．１２、图２．２．２．１３中各个子图中曲线均自上而下，ＦＶＤｓ的阻尼系数分别取ｃ。＝１．６ｉ（ｉ＝１，２，．．．，５），分别对应于各个子图中的反Ｇ及晟，曲线，所有曲线均经过了样条平滑处理．

图２．２．２．１４、图２．２．２．１５、图２．２．２．１６、图２．２．２．１７分别是速度指数口＝Ｏ．１、０．３、０．５、０．８，阻尼比为ｆ＝０．０５时，在Ｔａｆｔ波作用下，被控结构在安装ＦＶＤｓ前后位移峰值对比图。图２．２．２．１４、图２．２．２．１５、图２．２．２．１６、图２．２．２．１７中各个子图中曲线均自上而下，ＦＶＤｓ的阻尼系数分别取乞＝１．６ｉ（ｉ＝１，２，．．．，５），分别对应于各个子图中的及＆及反，曲线，所有曲线均经过了样条平滑处理。

★譬

／『图２．２．２．２亭＝Ｏ．Ｏｌ，口＝Ｏ．１时Ｔｉａｎｊｉｎ波作用下的减震效果

堡主笙苎鱼！！垡堡整塑里星矍竺塑堕垫查坌堑｜ｆｌ膏耋

日哪，

图２．２．２．３ｆ＝Ｏ．Ｏｌ，口＝０．３时Ｔｉａｎｊｉｎ波作用下的减震效果

ｇｆｌ／ｉ昌

鼋Ⅲ憎里；

１．１

１．０

０９

０．８

§／【０．７

Ｏ．６

０．５

０．４

九九

图２．２．２．４ｆ＝Ｏ．０１。口＝０．５时Ｔｉａｎｊｉｎ波作用下的减震效果

璧主丝苎墨！！堡丝堑堂里星墨堕塑塑垫查坌堡

誉＼【

１．１

１．０

ｎ９１．０ｎ９０．８

ｎ７

ｎ６

ｎ５

ｎ４

ｎ３ｎ８０．７０．６ｎ５ｎ４

图２．２．２．５ｆ＝Ｏ．０１，口卸８ｉａｎｊｉｎ波作用下的减震效果

”兽／—

詈／

量／伽

图２．２．２．６孝＝０．０１，口＝０．１时Ｔａｆｔ波作用下的减震效果

／置图２．２．２．８善＝０．０１，口＝０．５时Ｔａｆｔ波作用下的减震效果

堡主笙茎笪斐望堡苎堂里星墨竺塑堕垫塑坌塑

／善一

图２．２．２．９ｆ＝Ｏ．０１，口＝０．８时Ｔａｆｔ波作用下的减震效果

／看

】眦／

ｒＩ／署九

图２．２．２．１０善＝０．０５，口＝Ｏ．１时Ｔｉａｎｊｉｎ波作用下的减震效果

，＇

图２．２．２．１１ｆ＝Ｏ．０５，口＝０．３时Ｔｉａｎｊｉｎ波作用下的减震效果

／誉三图２．２．２．１２善＝Ｏ．０５，口＝０．５时Ｔｉａｎｊｉｎ波作用下的减震效果

堡主丝兰鱼斐丝丝竺塑里里墨苎塑箜垫垄坌堑

量藿『

图２．２．２．１３善＝Ｏ．０５，口＝０．８时Ｔｉａｎｊｉｎ波作用下的减震效果

兽／冒九

图２．２．２．１４芋＝０．０５，口＝Ｏ．１时Ｔａｆｔ波作用下的减震效果

勰

塑主丝壅宣斐垡堡堑堂里星墨竺塑塑垫垄坌堑

曹『

栅／

／§；＼

图２．２．２．１５善＝０．０５，口＝０．３时Ｔａｆｔ波作用下的减震效果

图２．２．２．１６孝＝Ｏ．０５，口＝０．５时Ｔａｆｔ波作用下的减震效果

鲁★置若童／目

图２．２．２．１７ｆ＝Ｏ．０５，ａ＝０．８时Ｔａｆｔ波作用下的减震效果

分析在两组地震波作用下，两种不同阻尼比系统的位移峰值比，由图２．２．２．２～图２．２．２．１７可见其共同点是：

（１）斜支撵刚度ｋ对非线性粘滞阻尼器的耗能减震效果有较大影响，安装ＦＶＤｓ后，系统的位移峰值均有所减小；

（２）随着斜支撑刚度参数五（名＝毛／气∞）的增大，ＦＶＤｓ的减震效果很快趋向于最佳值；

（３）随着阻尼器速度指数的增大，各个位移峰值比曲线逐渐变化平缓；同等条件下，阻尼系数越大，减震效果越明显；

（４）参数五≥２．０时，可以认为Ａ的增大对ＦＶＤｓ的减震效果影响甚小。尤其是在ＦＶＤｓ的阻尼系数较大时更加明显。一般可以认为当五≥３后，可以忽略斜支撑刚度的影响；

（５）随着被控结构的固有频率的增大，系统位移峰值比基本上呈现减小的趋势，即减震效果渐佳；

文献【１】认为，速度型相关消能器与斜撑、墙体或梁等支承构件组成消能构件时，该部件在消能器消能方向的刚度应按下式计算：

Ｋｂ＝（６石／五）ｃｔ

如

其中，

疋——消能部件在消能方向的刚度；

ｅ——消能器由试验确定的相应于结构基本自振周期的线性阻尼系数；

五——消能减震结构的基本周期；

根据五＝２疟／∞知，消能部件在消能方向的刚度ＫｂＩ（Ｃ，∞）≥３即可，本文结论与此接近。

对比被控结构在两组地震波作用下的位移峰值比可见，外荷载的频谱特性对系统的响应影响较大，在不同速度指数下，Ｔａｆｔ波作用下的位移峰值比曲线明显比同条件下的Ｔｉａｎｊｉｎ波作用下位移峰值比曲线要平缓。

２．３本章小结

本章详细分析了含液体粘滞阻尼器单自由度系统在正弦波和地震波作用下的响应，主要分折了在谐波作用下，分别考虑了谐波幅值以及阻尼器速度指数对系统的影响和阻尼系数以及速度指数对系统的影响。此外，就单自由度系统，分析了斜支撑刚度对阻尼器效果的影响。以上分析表明：

（１）在谐波作用下，系统放大系数与谐波幅值直接相关，在低阻尼比被控系统中显得更为明显；

（２）同一幅值水平下，阻尼器速度指数对放大系数影响剧烈，但在高阻尼比被控系统中表现不明显；

（３）无论是在谐波还是地震波作用下，被控系统安装了非线性液体阻尼器后，响应明显减小；

（４）斜支撑刚度影响分析表明，当斜支撑刚度参数兄≥２．０（Ａ＝ｋ／ｃ。国）后，旯的增大对减振效果影响甚小．同时可以认为名≥３后，可以忽略斜支撑刚度的影响。

硕士论文古非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

３动力方程求解

３．０引言

结构动力分析总要求解动力学方程，常见的动力方程如式（３．０．１）所示。

【Ｍ】｛“｝＋【Ｃ】｛Ｈ｝＋【豳｛Ⅳ）＝｛－厂Ｏ）｝（３．０．１）

其中伽｝、｛“）和｛Ｕ）分别为位移、速度和加速度向量，ｎ维待求；【Ｍ】、暖】和【ｑ是ｎｘｎ阶质量矩阵，阻尼或陀螺矩阵以及刚度矩阵；∥（ｆ））是给定外力向量。初值条件已知

伽（ｏ）｝＝伽ｏ），仁（Ｏ）｝＝｛Ｕ０）

一般均要求求解系统的位移响缸），从数学上讲上述方程是二阶常微分方程组的积分问题。通常【Ｍ】、【／ｑ和【ｃ】均为常量矩阵。求解方法分为模态叠加法和直接积分法。

模态叠加法，将动力方程求解化为对系统的特征值分析，再进行广义自由度的变换，即可得到系统的响应，由特征值分析而发展了一批模态求解方法嘲口订嘲。直接积分法是基于差分理论的积分方法，常见的有Ｎｅｗｍａｒｋ一口法、Ｗｉｌｓｏｎ一０法、Ｈｏｕｂｏｌｔ法以及中心差分法等嘲聃瑚’。

更为一般的非线性动力平衡方程为

【Ｍ】｛“｝＋｛，（｛“））｝＋｛Ｇ（｛“｝）｝＝｛ｐ（ｆ），（３．０．２）

对于方程（３．０．２），一般是在每个积分区间内采用线性假设，进行迭代求解。

本章首先介绍线性系统中的Ｎｅｗｍａｒｋ一∥法、精细积分法和基于常微分方程理论的求解方法，然后介绍非线性系统的基于Ｎｅｗｍａｒｋ一口假设的迭代求解方法和基于常微分方程理论的求解方法，并给出相关算例。

３．１线性系统

本节所述的线性系统系指，当方程（３．０．１）中的【Ｍ】、【明和［ｃ】均为常量矩阵时，所代表的系统。首先介绍广为使用的Ｎｅｗｍａｒｋ一，法。

３．１．１Ｎｅｗｍａｒｋ一口法

３．１．１．１基本假设

Ｎｅｗｍａｒｋ一∥法建立于以下两个广义假设０４：

ｒ｛口）＝（１－力｛”（ｆ）｝十ｙ｛”（ｆ＋△ｒ）｝（０≤，ｓ１）（３．１．１．１．１）

｛

并且，．Ｌ｛口）＝（１—２ｆ１）｛“（ｆ）｝＋２∥｛“（ｆ＋ａｔ））（０≤２∥≤１）（３．１．１．１．２）

氍二：＝巍＋知，

式（３．１．１．１．１）和（３．１．１．１．２）中的，和∥是控制参数。

将式（３．１．１．１．１）代入式（３．１．１．１．３）得：

｛甜（ｆ＋△ｒ）｝＝｛甜Ｏ））＋（１一，）△ｆ｛“（ｒ）｝＋ｙａｔ｛ｕ（ｔ＋△ｒ）｝（３．１．１．１．５）

将式（３．１．１．１．２）代入式（３．１．１．１．４）得：

伽（ｆ＋址））＝伽（ｆ）｝＋△ｒ扛（ｆ）｝＋（二１一刃△，２｛品（ｆ）｝＋ｐａｔ２｛；（，＋血），（３．１．１．１．６）

由式（３．１．１．１．５）和式（３．１．１．１．６）可得

（３．１．１．１－７）

１ｆ面（ｆ＋△ｒ）｝＝瓦≥（伽ｏ＋△ｒ）｝＿似（ｆ）｝）一古西（啦一岛一１）珏（ｆ））

ｌ・＇，甲・＇，・・

【缸ｏ＋址）｝２盍‘伽（，＋△，））－。扣（ｆ）））＋（１－分似（，）｝＋（１一旁扣（ｆ）｝△ｆ（３・１・１．Ｌ８）

式（３．ｉ．１．１．７）和式（３．１．１．１．８）即为Ｎｅｗｍａｒｋ一∥法的广义基本假设。从上述假设可见其本质是，当ｆ时刻响应（协）、印）和翻｝）已知时，将ｔ＋ａｔ时刻的速度及加速度均表示成ｒ＋址时刻位移的函数，以ｆ＋血时刻的位移作为基本变量求解ｔ＋Ａｔ时刻系统的平衡方程。ｔ＋ａｔ时刻的动力平衡方程为

【Ｍ】｛；Ｏ＋缸）｝＋【ｃ】＜厶（，＋出））＋瞵】砸０＋出）｝＝｛，（ｒ＋址）＞

由式（３．１．１．１．９）求解出ｔ＋ａｔ时刻位移基本变量，再代入式（３．１．１．１．８）可以得出此时的速度向量；此时的加速度向量有两种求解方法，其一是直接用式（３．１．１．１．７）得出；其二是利用，＋△ｆ时刻平衡方程（３．１．１．１．９）。一般偏向于采用第二种方法，因为可以通过利用ｆ＋血时刻的平衡方程来消除此时的不平衡向量。即，由于误差的产生，如果利用式（３．１．１．１．７）求解Ｈ－血时刻的加速度，可能导致此时的平衡方程存在残向量。但是，当质量矩阵【肘】阶数较大且对角线以外的元素较多时，一般还是采用式（３．１．１．１．７）求解此时的加速度向量，因为此时对质量矩阵【肘】求逆运算会增加相当可观的计算量。同样，可以得到Ｎｅｗｍａｒｋ一口假设的另两种形式：

ｆ｛ＪｊＣｔ＋鳓＝去（嘶＋训“（ｆ）））一（专－１）ｍ）｝（３．１．１．１．１０）‰圳｝＿｛删｝＋ｏ一分嘶（ｆ）｝＋等嘶（ｆ圳）＋（｝争出２ｍ＞（３．１．１．１，１１）｛ｆ扣ｏ＋垃））＝扣。）｝＋｛玉ｏ））△ｒ＋届酊２（函ｏ＋△ｆ）｝一｛玉ｏ）））＋等｛玉（ｆ）｝．．（３．１．１．１．１２）。～．．

Ｌ红Ｏ＋△ｆ））＝伽Ｏ）｝＋△ｆ｛“（ｆ），＋ｙＡｔ（｛ｕ（ｔ＋Ａｔ）｝－伽（ｆ）））（３．１．１．１．１３）

式（３．１．１．１．１０）和式（３．１．１．１．１１）是以ｔ＋Ａｔ时刻的速度为基本变量，式（３．１．１．１．１２）和式（３．Ｉ．１．１．１３）是以Ｈ．岔时刻的加速度为基本变量。将上述假设代入ｆ＋址时刻的平衡方程即可求解相应基本变量，再回代至基本假设中便可求解ｒ＋缸时刻相应的其他变量。一般地，以采用位移为基本变量的假设。本文采用此种假设。

研究表明，当取，＝０．５，户＝０．２５时，Ｎｅｗｍａｒｋ－ｐ法成为平均加速度法，是无条件稳定的；当取ｙ＝０．５，／３＝１／６时，Ｎｃ＂ａｍａｒｋ一∥法成为线性加速度法，是有条件稳定的；一般地，∥取值在１／４～１，８之间较好嘲．

３．１．１．２算法流程

由于Ｎｅｗｍａｒｋ—ｐ法的广泛适用性，其算法流程已有固定格式，本文直接引用Ｋ．ｄ．．Ｂａｔｈｅ原著中的流程啪１如流程３。１．１．２．１所示。

流程３．１．１．２．１

Ａ．初始计算Ｎｅｗｍａｒｋ一口算法

１．形成刚度矩阵瞵】，质量矩阵【Ｍ】和阻尼矩阵［ｃ】

２．初始化伽（ｏ）），｛ｉ（ｏ））和函（ｏ），

３．选择积分步长△ｆ和参数∥，，，并计算积分常数：

，≥０．５０，∥≥０．２５（０．５＋，）２

‰２万。铲亩川：２面川，２万ｑ。．１，，１１

ｍ２≯：以。等（芳啦‰＝垃（１一易；嘶＝岔，

４．形成有效刚度矩阵【足】：晖】＝【足】＋口。【膨】＋ｑ【ｃ】５．三角化【刚：【网＝陋】【Ｄ１口】ｒ

硕士论文舍非线性粘滞阻尼嚣结构的动力分析

Ｂ．对每个时间步

１．计算ｒ＋出时刻有效荷载：

＾

．．

乞厂Ｏ＋△ｆ）＞＝￡厂（ｆ＋△ｒ），＋【膨】（ａｏ｛”Ｏ））＋ｑ｛“Ｏ）｝＋口３｛“（ｆ）｝）

＋【ｃ】（口１｛ⅣＯ）＞＋４．｛“Ｏ），＋ａ，｛Ⅳ（ｆ）｝）

２．求解ｒ＋缸时刻的位移向量：

【ＬＩ［ＤＩ［Ｌ］７扣Ｏ＋岔）｝＝｛ｆ（ｔ＋Ａｔ）｝

３．计算ｒ＋出时刻的速度和加速度向量：

｛”（ｆ＋△ｆ））＝ａｏ（｛ｕ（ｔ＋△ｆ）卜“（，）’）－ａ２扣（ｆ））－ａ，｛“（，）｝

扣（ｆ＋出）｝＝伽Ｏ）｝＋‰｛材∞）＋口，伽Ｏ＋岔）｝

按照上述流程可以容易地实现线性系统的数值求解。

Ｎｅｗｍａｒｋ一口法在一个时间步Ａｔ内，采用假设（３．１．１．１．７）和（３．１．１．１．８），由于这个假设，积分的精度就与步长△ｆ与振动周期２ｚｌｏ口的比密切相关，即参数２ｚ／（ｃｏａｔ）的大小，表示每个振动周期内所划的积分步数。从计算的角度看，积分步数越大越好，但过小的步长出将使积分步数大量增加。一般而言，对于工程问题，每１／４个周期内如能有８步，精度使是可以接受的。

多自由度系统有多个固有频率。从保证计算精度的角度看，应按最高参振频率来选择步长。当高参振频率比基频大很多倍时，则在基本周期内执行的积分步就很多。但工程振动中阻尼的存在，高频振动分量在几个周期后就会衰减掉，其分量对响应的贡献居于次要地位。因而积分步长可以大些。如果是计算冲击类荷载问题，则高频振动分量的重要性增加，积分步长要减小。

３．１．２基于微分方程理论的求解方法

动力方程（３．０．１）系二阶常微分方程组的初值问题（ＯｒｄｉｎａｒｙＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｉｔｉａｌ－ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ即ＯＤＥ），根据微分方程理论，可以将其化简为一阶常微分方程组初值求解。对动力方程３．１作以下变换嘲：

｛ｖ｝’＝｛∽Ｔ似７）

｛，）７＝｛｛ｏ｝ｒ，∽【Ｍ】一）

【明＝－－［Ｍ］。【Ｋ】

【Ｇ】＝１Ｍ】。【ｑ阶暇冼Ｌ

硕士论文含非线性粘滞阻尼嚣结构的动力分析

另一种常用变换是哈密顿体系常用的方法：

∽７＝｛∽７，｛ｐ｝７）

｛ｐ｝＝【Ｍ１｛“’＋【ｑ｛ｕ｝／２

【棚＝１Ｍ】＿ｌ［ｃ］／２

陋】＝［Ｃ１［Ｍ】。Ｄｃ】，４一【网

【Ｇ】＿书】ＣＭ】．１／２

吲＝暖锶。。

｛ｒ厂＝｛（ｏ）ｒ，∽－７）

于是，方程（３．０．Ｉ）可以写为：

｛；｝＝【日】ｐ）＋｛ｒ）

于是，在线性系统内，动力方程（３．０．１）的解即为一阶常微分方程组（３．１．２．３）的解，但同时应该看到，方程的阶数直接增加了一倍。常微分方程的数值求解方法均可用来求解式（３．１．２．３）。常微分方程的求解方法的一种分类方法分为单步法和多步法，另一种分类方法分为显式方法（Ｅｘｐｌｉｃｉｔ）和隐式方法（Ｉｍｐｌｉｃｉｔ）嘲嘲。下面介绍常用的求解方法．

３．１．２．１单步法

常见的显式单步法有助＾盯法，Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法等，同样存在隐式的助胁法和Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕ搿ａ法．由于隐式方法在每一个时间步内均要求解相当可观数量的非线性方程组，一般仅仅在刚性方程中才部分地采用。刚性方程更多的时候采用Ｇｅａｒ算法，关于刚性方程的求解有专门的文献可供参考即．下面讨论一阶常微分方程初值问题的解法，本节主要介绍高阶显式单步法Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法。

记一阶常微分方程组的一般形式为：

良¨∥蚰

％＋ｌ＝％＋办∑ｃ，耳

ｒ＝ｌ

Ｒ

巧＝，以＋４，ｈ，％＋＿Ｉｌ∑ｋＥ）

ｓ－Ｉｒ＝１，２，３，…，Ｒ

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

因为它需要有五个，Ｏ，Ｖ）的值，故称为Ｒ级的方法。将系数ｃ，、ａｒ和６。写成向量和矩阵的形式如式（３．１．２．１．３）所示。

其中｛ａ）＝（ｑ，．．．，ａ。｝７，｛ｃ）＝｛ｃｌ，．．．，靠）７，陋】＝晚】，系数间有如下关系：

异Ｒ

∑ｃ，－－－１，ａ，＝∑ｂ。（，＝１，２，３，．．．，Ｒ）

ｒ＝ｌⅢ

式（３．１．２．１．２）中需要求解Ｒ个函数Ｋｊ．Ｏ＝１，２，３，．．．，Ｒ）的非线性方程组，如果初值问题（３．１．２．１．１）是ｍ维的，则此时式（３．１．２．１．２）就需要求解ｍＲ维非线性方程组，故隐式Ｒｕｎｇｅ．Ｋｕｔｔａ法比同阶显式方法复杂得多。

如果【明是严格下三角矩阵，即Ｊ≥，时有ｋ＝０，那么式（３．１．２．１．２）就是显式的Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法，此时ＫＩ＝ｆ也，％），由式（３．１．２．１．２）可递推计算置（ｆ＝２，３，ｏ，Ｊ９五）；若即Ｊ＞，时有ｋ＝０，但【司的对角线上的元素步全为０，此时称为半显式的Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法嘲（Ｓｅｍｉ－Ｅｘｐｌｉｃｉｔ－Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ）。

显式Ｒ级Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ法中以四级四阶Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法最为常用。常见形式有经典Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法，基尔（Ｇｉｌｌ）法等。经典Ｒｕｎｇｅ．Ｋｕｔｔａ法和Ｇｉｌｌ法分别如式（３．１．２．１．４）和式（３．１．２．１．５）所示。

经典Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法

』‘Ｖ）’“＝｛嵋’＋鲁（｛墨｝＋２｛岛）＋２｛墨）＋｛蜀｝）【Ｉｖ｝ｏ＝｛ｖｏ），（．，＝１，２～３．．）

ｆ｛墨｝＝，Ｏ’，｛ｖ｝７）

ｌ｛Ｋｓ）＝，（ｒ’＋ｈ／２，｛ｖ）７＋ｈｉ［Ｋｌ｝，２）

Ｉ｛蜀｝＝，（ｆ’＋ｈｉ２，｛Ｖ｝’＋＾｛岛｝／２）（３．１．２．１．４）

【｛墨）＝ｆ（ｔ’＋＾，｛Ｖ｝’＋｜ｊＩ＜Ｋ３））

Ｉ｛ｖ）川＝纠＋鲁（懈…２一场％）＋（２＋厕％｝＋％））【｛ｖ｝ｏ＝｛ｖ０），（＿，＝１，２—３。）

硕士论文台非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

其中，

ｒ｛蜀）＝加’，｛ｖ）’）

Ｉ（局）＝，（ｆ。＋ｈ１２，｛Ｖ）’＋Ｍ墨）／２）

汹＝ｆ（ｔ‰，２，｛ｖ），＋字蝇）＋竽憾））

Ｉ．％｝：ｆ（ｔｊ＋ｈ，｛ｖＶ－华＾｛＆｝＋半＾％｝）ｌ广＿，

高阶显式单步法还有其他很多不同的形式，如休恩三阶法（Ｈｅｕｎ）、库塔三阶法（Ｋｕｔｔａ）、休塔六阶八级法（Ｈｕｔｓ）等。本文所编程序以采用经典Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ法和基尔法为主。

以上均是等步长法，另外有一类方法为变步长法，以Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ－Ｆｅｈｌｂｅｒｇ四阶法为代表侧。因为在微分方程解比较平缓的区域，可以采用较大的步长，而变换比较剧烈的区域应该采用较小的步长。本文所述模型一般受到地震作用，荷载在任何区域均变化剧烈，故采用等步长法，这里不详细介绍变步长法的流程，一般的数值计算文献上均有算法说明。下面介绍线性多步法。

３．１．２．２多步法

在单步法中，为了提高截断误差的阶，每个步长内必须增加计算右端函数ｆ（ｔ，ｖ）的次数。当ｆ（ｔ，∞的结构比较复杂时，计算量较大。线性多步法由此产生，即在计算公式中，增量％“一％不仅依赖于％，而且也直接依赖于ｖ。，ｖ。等已经算出来的值，但每个步长内仅计算一次ｆ（ｔ，ｖ）。本节仅介绍线性多步法中的四步四阶显式Ａｄａｍｓ法和Ａｄａｍｓ四阶预测一校正一修正格式（ＰＭＥＣＭＥ）。显式Ａｄａｍｓ法的通式如式（３．１．２．２．１）所示。

‰靠岛厶扣叶％丘％磬”饼憎，川珂

在Ａｄａｍｓ显式方法中，最常用的是ｑ＝３的情形：

％“＝ｖ。＋３＋ｈ［ｓｓｆ．＋３—５９ｆｎ＋２＋３７五“一９工１／２４

其截断误差为

Ｔｎ＋４＝７２２５。１ｈＳｖＯ）以）＋。（＾５）

显然，上述四步四阶显式一如鄹法在一个步长内仅需要计算一次厂（ｒ，ｖ）的函数

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

值，较之四级四阶Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ法可以大大减小计算量。但是，四步四阶显式Ａｄａｍｓ法不是自启动的，即需要给定初始的四个积分点的函数值。一般采用同阶的Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ法计算初始启动值。另外，还可以利用一些解析方法来计算这些初始值，如Ｔａｙｌｏｒ级数法以及Ｐｉｃａｒｄ逐次逼近法等。

关于数值解截断误差的近似估计与隐式方法的求解问题，一般通过引入预测一校正格式解决。所谓预测一校正格式是指，既要利用隐式方法的稳定性以及精确性，又要利用显式方法的简易性，把两者结合起来，做到取长补短，即先按同阶显式方法确定好迭代初值，然后再按隐式方法迭代一两次达到精度要求。

这里介绍Ａｄａｍｓ四阶预测一校正一修正格式（ＰＭＥＣＭＥ）洲，如式（３．１．２．２．３）所示。

预测：以“＝‰＋ｈｔ５５：．日一５９ｆ。＋２＋３７Ｌ＋Ｉ一９Ｌ］

改进：。＝‰＋丽２５１乜．¨一ｐ。，）

计算；＿“＝，（矗“，‘“）

校正．Ｃｎ＋４＝‰＋去【％“＋１９ｆ，“一觋ｎ＋允】

改进：‰＝‰＋丽１９（以“一‰）

计算：ｆ．．＝厂阮…ｎ．。、

其中，初始值Ｚ，五，五，兀需要另外计算，可以采用四级四阶Ｒ“Ｈ弘一勋妇法计算。开始时可令厶＝０，ｎ＝０。ＰＭＥＣＭＥ格式的Ｆｏｒｔｒａｎ语法标准流程如流程３．１．２．２．１所示。

流程３．１．２．２．１

ｄｏｊ－－１，４，１

ｔｊ－ｊ地

ｃａｌｌｆ（ｔｊ，ｖＯ。ｋ１）

ｃａｌｌｆ（ｔｊ＋０．５＊ｈ。ｖＯ＋０．５＊ｈ＊ｋｌ，ｋ２）

ｃａｌｌｆｉｔｊ＋０．５＊ｈ，ｖＯ＋０．５＊ｈ．ｋ２，ｋ３）

ｃａｌｌｆｆｔｊ＋ｈ，ｖＯ＋ｈ．ｋ３。ｋ４）计算初始的ｖｌ，Ｖ２，…，，ｖ４以数组ｔｅｍｐ记录

ｖｌ＝ｖＯ＋ｈ・（ｋｌ＋２＂ｋ２＋２＂ｋ３＋ｋ４）／６．

ｔｅｍｐ（：，ｉ）－－ｖｌ

ｖＯ＝ｖｌ

ｅｎｄｄｏ

ｃａｌｌｆ（ｈ＊１．，ｔｅｍｐ（：，１），ｆ０）

ｃａｌｌｆｏｌ・２．．ｔｅｍｐ（：，２），ｆＤ

ｃａｌｌｆ（１ｌ｝３．，ｔｅｍｐ（：，３），ｆ２）

ｃａｌｌｆ（ｈ・４．，ｔｅｍｐ（：，４）。ｆ３）计算初始的石，五，石，五

ｙ３＝ｔｅｍｐ（：。４）

ｃ３＝０．

ｐ３＝０．

ｄｏｉ－－５。ｎ。１

ｔｉ＝ｉ＊ｄｅｌｔ

ｐ４＝ｖ３＋”（５酗ｆ３—５９．ｆ２＋３７＂ｆｌ一９．ｆ０）／２４

１４＝ｐ４＋２５１＂（ｃ３一ｐ３）／２７０

ｃａｌｌｆ（ｔｉ，１４。ｒ４）

ｃ４＝ｖ３＋”（９’ｒ４＋１９．ｆ３－５＂ｆ２＋ｆ１．）／２４

ｖ４＝ｃ４＋１９＂（ｐ４一ｃ４）／２７０

ｃａｌｌｆ（ｔｉ．ｖ４，ｆ４）

ｆ０＝ｆｌ

ｆｌ＝ｆ２

ｆ２＝ｆ３

ｆ３＝ｆ４

ｐ３＝ｐ４

ｃ３＝ｃ４

ｖ３＝ｖ４

ｏｕｔｐｕｔｄａｔａ

ｅｎｄｄｏ

与Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ法相比，线性多步法每步计算右端函数ｆ（ｔ，ｖ）的值明显减少。若用显式公式，每步仅计算一次ｆ（ｔ，ｖ）的值；若用预测一校正格式，每步仅计算两次ｆ（ｔ，ｖ）的值，比Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ法少一半。因此，线性多步法适用于求解步数较多的情形。另外，由于多步法的计算公式涉及到好几个已经计算出的值，改变步长就比较麻烦，一般地，多步法没有变步长的格式。

３．１．３精细积分法

精细积分由钟万勰院士【４１】提出，源于对指数矩阵的精细计算。在林家浩院士的著作㈣中亦有部分介绍。本节在此简略介绍精细积分相关内容，以说明常微分方程组的另一类数值解法。４０

精细积分法宣于处理一阶常微分方程组：

渤＝【明｛ｖ｝＋｛，｝

其中，｛ｖ）是待求２栉维向量，【日】是定常矩阵，｛ｒ）是非齐次外力向量。

上述方程的齐次通解为：

｛ｖ｝＝ｅｘｐ（［Ｈ］ｔ）｛ｖｏ｝

记，指数矩阵【ｍ（ｆ）】＝ｃｘｐ（［Ｈ］ｔ），其级数表达为：（３．１．３．２）

懿ｐ（【砷）＝口】＋Ｕ彳ｐ＋（【日】ｆ）２／２＋…＋（【日ｐ）‘，觏＋…（３．１．３．３）

当系统为时不变时有：

【①Ｏ）】＝【中（ｒ—ｆ）］【中（ｆ）】

选择一个时间步长血，一系列的等步长时刻为：

气＝ｋＡｔ，ｋ＝０，１，２，…（３．１．３．４）

于是递推逐步积分公式为：

｛ｖ｝Ｉ“＝ＩＴ】｛ｖ｝Ｉ（３．１．３．５）

其中，Ｔ＝ｅｘｐ（【Ⅳ】血）。

利用指数函数的加法定理有：

ｅｘｐ（［ｇ］Ａｔｌ＝（ｅｘｐ（［／－／］△】ｔ／ｍ））”（３．１．３．６）

可取２”类算法，即ｍ＝２”，若Ｎ＝２０，则聊＝１０４８５７６。由于步长出本身不大，对其进行ｍ等分后，形成更小的时间区间．

记ｒ＝Ａｔ／ｍ，对上式进行ｔａｙｌｏｒ展开：

Ｉ。ｘｐ（［Ｈ］Ａｔ）２明＋阮１

ＩＩＴ，】＝【日ｌｒ＋（【Ｈ】ｆ）２／２＋（【日】ｆ）３，３“（【明ｆ）４／４『＋（【日】ｆ）５／５１（３．１．３．７）

进行计算机计算时，仅仅存储小量矩阵【瓦】，因为矩阵【Ｌ】很小，当它与单位阵阴相加时成为尾数，精度容易丧失。

对矩阵口】进行分解得

口］＝（明＋阮】）矿＝（明＋【瓦】）２“×（叨＋阮】）２“

分解Ⅳ次，并注意对任意【瓦】、阮】有：（３．１．３．８）

（们＋【Ｔｄ）ｘ（明＋阢】）＿【刀＋晖】＋ＩＴ，】＋医】睡】

于是利用计算机循环实现如下：

Ｔａ＝０．４１

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

ｄｏｉ＝０．１，Ｎ

Ｔａ＝２Ｔａ＋Ｔａ＊Ｔａ

ｅｎｄｄｏ

于是，Ｆ】－明＋ＩＴ．】，再按式（３．１．３．５）进行逐步积分。在合理的积分步长内，常系数线性方程的精细积分是不会发生稳定性问题和刚性问题。但对于变系数方程可能会发生稳定性问题和刚性问题。

方程（３．１．３．１）的通解为齐次解与特解之和，假定在时间步也，ｆＭ）内外荷载认为是线性变化的，即｛，Ｏ）＇＝｛，ｏ）＋｛＾｝（ｆ一‘）（其中｛ｒｏ＇，饥）是该步内给定的荷载向量）。则方程（３．１．３．１）的解为：

｛Ｖｔ＋１）＝旷ⅡｐＩ’＋【明－１（｛，ｏ｝＋【月Ｔ４｛‘））】一【日】－１【｛％）＋【日】－１｛ｒ３＋ｉｒｄ△ｔ］（３．Ｌ３．９）

式（３．１．３．９）称为ＨＰＤ－Ｌ格式，文献【３４】【４３】介绍了非线性动力问题的逐步精细积分法。在此不详述。

３．２非线性系统

本节主要介绍非线性动力方程的基于Ｎｅｗｍａｒｋ一∥假设的迭代求解方法。首先介绍常见的非线性方程组的解法。记非线性方程组一般表达式为

ｒＺ（ｕｔ，．－－，ｇ。）＝０

｛Ｌ‘“，…，虬）＝０；（３．２．・）

采用向量符号表示为：

Ｆ（∽＝０（３．２．２）

下面介绍牛顿迭代法（Ｎｅｗｔｏｎ－ｇａｐｈｓｏｎＩｔｅｒａｔｉｏｎ）和拟牛顿迭代法（Ｑｕｓｉ－ＮｅｗｔｏｎＩｔｅｒａｔｉｏｎ）求解方程（３．２．２）。

３．２．１牛顿迭代法洲阚Ｈ町Ｍ

假定矿是方程（３．２．２）的解，它的ｋ次近似解为Ｕ‘，对３．３０进行Ｔａｙｌｏｒ展开有

０＝Ｆ（Ｕ‘）＝Ｆ（Ｕ‘）＋Ｆ’（【，‘）（Ｕ‘一Ｕ‘）＋尺（己，。一Ｕ‘）

其中，（３．２．１．１）

Ｒ—（ａ—Ｖ）ＩＩ；ｏ，船面２’１ｉｍ＿：ＩＩ

Ｆ‘（∽为Ｆ的Ｊａｃｏｂｉ矩阵

Ｆ‘∽＝糕＝

、锐锐Ｏｕｔ抛２锐识抛ｌ抛２兢兢ＯｕＩＯｕ２当Ｕ‘靠近Ｕ’时，略去余项Ｒ（ｕ‘－Ｕ‘），得线性方程组：孰Ｆ’（扩）ＡＵ＝一Ｆ（Ｕ‘）以△Ｕ近似差Ｕ‘一【厂‘，记ＡＵ＝Ｕ埘一【，‘，于是：Ｉ（，“１＝【，‘＋ＡＵ‘ＩＦ。∥‘）Ａｕ‘＝一Ｆ（Ｕ‘）

算法如流程３．２．１．１所示。

流程３．２．１．１牛顿迭代法

（１）给定初始ｃ厂ｏ，及精度要求ｅｐｕ，Ｅ矿

（２）计算Ｆ（Ｕｏ）和Ｆ．（Ｕｏ）

（３）对七＝０，１，２，…计算

由Ｆ。∥‘）ＡＵ‘＝一Ｆ（Ｕ‘），计算ＡＵ‘

计算ＵＭ＝Ｕ‘＋ＡＵ‘

检验０△ｕ’Ｉｌ＜ｅｐｕ或８，∥“‘）０＜Ｅ矿？，若满足，转（４）

（４）输出ＵＭ，９Ｆ（Ｕ‘“）¨０△Ｕ‘０

从上面的算法分析可以看出，Ｎｅｗｔｏｎ—Ｒａｐｈｓｏｎ中有存在下面两个方面的问题：（１）每个时间区间内的每次迭代计算中均需要求解ｄａｃｏｂｉ矩阵。（２）每次迭代计算中求解线性方程组。

为克服上述问题，人们提出了很多解决方案，主要针对上述两方面提出，如牛顿松弛型迭代法、修正牛顿法、割线法和拟牛顿法等。牛顿松弛型迭代法是采用线性方程组的松弛技巧求解每次迭代中的线性方程组；修正牛顿法是每次迭代中采用相同的Ｊａｃｏｂｉ矩阵，即Ｊａｃｏｂｉ矩阵仅求解一次，迭代线性收敛；割线法不用计算Ｊａｃｏｂｉ矩阵，而是对函数的线性插值导出，每步的计算量与牛顿法相当。下面介绍拟牛顿法。３．２．２拟牛顿迭代法‘伽呻瑚瑚１

拟牛顿迭代法具有一系列的计算方法，本节仅介绍其中的两个著名算法一舾Ｐ和ＢＦＧＳ秩２算法。

牛顿法、离散牛顿法及割线法均可表示为４３

Ｕ“＝Ｕ‘一４１Ｆ（Ｕ‘）（尼＝Ｏ，１，２，・・．）

计算量主要有两部分：Ｆ的Ｊａｃｏｂｉ矩阵式（３．２．１．２）和求解线性方程组（３．２．１．３）。线性方程组的求解目前有较为成熟的技术，如何减少Ｆ的Ｊａｃｏｂｉ矩阵的计算量成为研究的重点。拟牛顿法便是针对这一问题提出的新方法。它用４近似Ｆ‘（扩），而４。可在４的基础上用一个低秩的她来校正，这样既减少了计算函数值次数，又是使得４１运算量降为“疗２）次算术运算。一般取△４的秩为１或２。

Ｂｒｏｙｄｅｎ首先提出了计算△４的秩ｌ算法，称此类算法为Ｂｒｏｙｄｅｎ算法族。

较为常用的Ｂｒｏｙｄｅｎ算法如式（３．２．２．１）所示。｛”４＋铧ｒＵＭ＝Ｕ‘一每１Ｆ（Ｕ‘）

【．ｉ｝；ｏ，ｌ，２，…

其中，

＆＝ＵＭ—Ｕ‘

几＝Ｆ（Ｕ“１）－Ｆ（Ｕ‘）

另外两个著名的秩２算法是ＤＦＰ和ＢＦＧＳ秩２算法，现列如下。

ＤＦＰ（Ｄａｖｉｄｏｎ－Ｆｌｅｔｃｈｅｒ－Ｐｏｗｅｌｌ）秩２算法如式（３．２．２．２）所示。

ｒＵｈｌ＝（厂‘一４，（ｕ‘）

卜－吐＋掰一瓮高等【＿ｊ｝；ｏ，ｌ，２，…

其中，

＾＝Ｕ‘“一Ｕ‘或＆＝一４＋，（Ｕ‘）

几＝Ｆ（ｕＭ）一Ｆ（Ｕ‘）

ＢＦＧＳ（Ｂｒｏｙｄｅｎ・Ｆｌｅｔｃｈｅｒ－Ｇｏｌｄｆａｒｂ．Ｓｈａｎｎｏ）秩２算法如式（３．２．２．３）所示。

｛彳ｔ“＝４＋』垒。＝！Ｌ二‘坠２二二！蔓ｉｉ乒；主ｉ生二巡ｃｓ．ｚ．ｚ．ｓ，ｒｕＭ＝ｕ‘一４Ｆ（Ｕ‘）

【－．ｉ｝：ｏ，１’２，…

其中，

＆＝Ｕ‘＋１－Ｕ‘或％＝一４’Ｆ（ｕ‘）

硕士论文含非线性粘滞阻尼器结构的动力分析

儿＝Ｆ（Ｕ“）－Ｆ（Ｕ‘）

／ｕｔ＝１４。豁

ｍｕ＋ｆ（ｕ）＋ｇ（ｕ）＝ｐ∽（３．２．３．１）

ｔ＋＆。ｔ＋＿．１．＆ｔ＋＆上述算法可以很容易地用计算机语言实现。下面介绍基于Ｎｅｗｍａｒｋ一口假设的非线性动力方程求解方法。３．２．３基于Ｎｅｗｍａｒｋ一口假设的迭代求解本节以一个单自由度系统为例，推导基于Ｎｅｗｍａｒｋ一∥假设的非线性动力方程迭代求解方法。动力方程如式（３．２．３．１）所示。这里假设外荷载ｐ（ｔ）与系统位移无关。ｔ＋Ａｔ时刻系统平衡方程：

ｍ“＋厂（甜）＋ｇ（甜）＝Ｐ

将Ｎｅｗｍａｒｋ—ｐ假设（３．１．１．１．７）和（３．１．１．１．８）代入方程（３．２．３．２），并记

ｔ＋ＡｔＩｔ．ｔ—Ｉ＋口

方程左边为Ｇ（Ⅳ，”，“，“）

于是方程（３．２．３．２）可写为：

ｔ＋Ａｔ“血

Ｇ＝Ｐ

方程（３．２．３．３）为非线性方程，可以采用３．２节所述方法求解。这里以牛顿法为例，作以下迭代：

ｆ，Ｋ（ｆ－１）△“ｐ）；ｔ＋６ｔｐ—ｔ＋ＡｔＧ（ｔ％ｔ玉，‘玉，ｔ＋６ｔⅣＯ－１））

１“Ⅳ＂ｏ）＿ｆ＋口甜（１－１）＋△“∞

其中，当前切向刚度阵：‘足Ｏｑ）一否石Ｏ：Ｇ丐ｌ。一，

Ｉ＋６｜ｔｔ．ｔ．．“扯ｔｊ－１’“出０４）

记Ｇ（却，Ⅳ，甜，“）＝Ｇ，式（３．２．３．４）可写为：

ｆ

初始迭代：ｔ足（Ｉ－１）血（。：ｔ＋Ａｔｐ—ｔ＋ＬｔｔＧ‘㈣１“∥一““‘㈣＋△∥）

ｔ＋Ａｔｕ（Ｏ）＝ｔｔｌ；＂＝蒿ｋ；”Ｇ柳－ｆＧ

硕士论文舍非线性黏滞阻尼器结构的动力分析

ｔ－ｖＡｔ“出（１）

记不平衡力△Ｒ“’＝Ｐ—

［３０］１４２］：Ｇ，在迭代过程中可供选择的收敛准则有如下三种

（１）位移准则：≤白

（２）力准则：Ｉ陋ｍ８：ｓ勺旷“ｐ－＇Ｇｌｌ：

（３）能量准则：△“‘０１（“●ｐ一卜出Ｇ‘ｔ－１））ｓｅ，（Ａｕ‘０１（“●ｐ—“血Ｇ））

迭代格式（３．２．３．５）也可以选用３．２．１．２节中的ＤＦＰ或ＢＦＧ８秩２算法。

对于多自由度系统，将Ｎｅｗｍａｒｋ一∥假设带入动力平衡方程，在每个积分步长内形成非线性方程组（３．２．１），再利用３．２．２节中的ＤＦＰ和ＢＦＧＳ秩２算法求解即可。３．２．４基于微分方程理论的求解方法

按照３．１．２节中的微分方程理论，构造不同的变换方式，同样可以求解非线性动力方程，本节以方程（３．２．４．１）为例说明求解方法。

【Ｍ】｛“）＋｛Ｆ（｛Ⅳ｝）｝＋｛Ｇ（｛“｝）｝＝｛，（ｒ），

这里假设外荷载向量｛ｐ（ｆ）｝与结构变形无关，即不考虑大变形。

作变换，｛ｖ）＝仁｝，则式（３．２．４．１）可记为（３．２．４．１）

ｒ｛ｖ）＝【Ｍ】“（｛ｐ（ｆ）卜｛，（｛ｖ）））－｛Ｇ（扣））’）

｛．

Ｌ｛ｕ｝＝｛ｖ）（３．２．４．２）

结合方程（３．２．４．１）的初值，于是二阶常微分方程组（３．２．４．２）就转化为一阶常微分方程组的初值问题，再利用３．Ｉ．２节的介绍的方法即可求解。正如３．１．２节所述，方程（３．２．４．２）的维数是方程（３．２．４．１）的两倍，对于原方程维数不大的情况可以采用。

３．３算例

对于含非线性粘滞阻尼器的系统方程求解，国内外的学者多采用等效刚度、等效阻尼模型进行非线性时程分析。研究表明，这种等效方法不能真实反映实际情况，将直接影响到减震结构的时程分析结果。文献［１８］构造了一种基于Ｎｅｗｍａｋ－ｆｌ假设的迭代格式，对系统受谐波作用时收敛性较好；文献［２０］根据单自由度系统动力方程的特点，以Ｗｉｌｓｏｎ一０假设为基础，对此方程进行迭代求解并与软件Ｓａｐ２０００计算结果进行对比，（Ｓａｐ２０００采用的等效线性化求解方法），对比表明，当阻尼器速度指数小于０．２时，两种方法出现差异；速度指数越小，差异越大。