推理与证明在高中数学学习中的应用|

　　 [摘要] 《2009高考新课程标准数学科考试大纲》指出:要具有“推理论证能力,推理是思维的基本形式之一”,“一般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行证明”。本文将结合《新课标》,通过实例探讨推理与证明在高中数学学习中的应用。
　　[关键词] 推理 证明 高中数学 应用
　　
　　推理和证明是通过生活实例和数学实例,利用推理去猜测和发现一些新结论,探索和提供解决一些问题的思路和方向,利用演绎推理去进行一些推理,证明一些数学结论等。本文将结合《新课标》,通过实例探讨推理与证明在高中数学学习中的应用。
　　一、归纳推理与证明
　　所谓归纳推理与证明,是指通过对特例的分析去引出普遍的结论;主要是通过实验、观察、分析从而归纳出结论,有时得到的结论不一定是正确的,要求对归纳出的结论进行严格的证明。具体过程是:归纳(不完全)――猜想――完全归纳。
　　例1.由圆是二次曲线,椭圆是二次曲线,抛物线是二次曲线,双曲线是二次曲线,归纳出圆锥曲线是二次曲线,用的就是完全归纳法。
　　归纳推理与证明是将一个无穷的归纳过程,根据归纳公理转化成一个有限的特殊演绎(直接验证和演绎推理相结合)过程,所以它有证明的功能。如欧拉定理,可以看出归纳猜想证明是思考问题解决问题的一种重要的方法。
　　二、类比推理与证明
　　《普通高中数学课程标准》(实验)把培养学生的类比推理能力作为主要的能力培养目标之一,并且近年来高考试卷中也频频出现了类比思维的问题。所谓类比推理与证明,就是已知两类事物之间所具有的某些共性,从而推测它们在其他性质上也可能相同的一种推理与证明形式。在数学研究中常用的类比有:数与形的类比、平面与空间的类比、有限与无限的类比等。可以通过对数的研究来探讨有关图形的性质,也可以通过对图形的研究来推出数的某些性质;熟悉了平面图形、掌握了它的性质之后,在遇到空间问题时,往往通过与平面图形的比较发现类似之处:或结论的形式类似、或解决问题的方法类似,进而找到解决问题的方法和途径。
　　例2.平面三角形与空间四面体的类比。
　　平面三角形与空间四面体的相似性推理可以表述如下:三角形是平面上数目最少的简单分界元素(直线)围成的图形,四面体是空间中数目最少的简单分界元素(平面)围成的图形。三角形是平面上最简单的(直边)封 闭图形,四 面体是空间中最简单的(直面)封闭图形。三角形与四面体从生成上看具有相似性(三角形上可看作平面上一条线段外一点与这条线段各点的连线构成的图形,四面体可看作空间中一个三角形外一点与这个三角形上各点的连线构成的图形。)因此,根据平面三角形的性质可以推测空间四面体的性质。
　　三、演绎推理与证明
　　演绎推理与证明的前提和结论之间有着必然的关系。只要前提是真的,推理是合乎逻辑的,就一定能得到正确的结论。因此,演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。
　　例3.在三角形的条件下,有许多恒等式与不等式,如
　　tana+ tanb + tan c= tana tan b tanc
　　ctana + ctan b + ctanc= (ctana)(ctanb)(ctanc)
　　cosa + cos b + cosc≤1/2等,只要有前提“ a + b +c= π”,借助于一些有关知识,经过一系列的推理与证明,都可以推出或说前提“ a + b + c= π”蕴涵有这些恒等式及不等式。
　　四、假设推理与证明
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