【一个对称问题的探究性学习】

　　摘 要:求一个对称图形的解析式问题是高考的常见题型,本文经过探究,通过曲线的方程得到这类问题的一般的解决方法. 　　关键词:问题;探究;解决 　　 　　提出问题
　　求y=关于y=x-1的对称图形的解析式.
　　
　　探究问题
　　结论1
　　平面曲线C:F(x,y)=0,关于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称的充分必要条件是F,=0.
　　证明令M={(x,y)F(x,y)=0｝?圯?坌P(x,y)∈M,满足F(x,y)=0,即P在C上. 下面求出P关于Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称点P′(x′,y′),则P′∈M,P′的坐标满足F(x′,y′)=0.
　　经计算x′=,
　　y′=,
　　则F,=0?坩?坌P(x,y)∈M,满足F(x,y)=0.
　　又?摇F,=0,
　　则P′(x′,y′)∈M,其中x′=,
　　y′=.
　　而P(x,y)与P′(x′,y′)关于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称,由P(x,y)的任意性,曲线C:F(x,y)=0,其关于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称.
　　推论1
　　平面曲线C:F(x,y)=0,则有
　　1. C关于x轴对称?圳F(x,-y)=0;
　　2. C关于y轴对称?圳F(-x,y)=0;
　　3. C关于y=x轴对称?圳F(y,x)=0;
　　4. C关于y=-x轴对称?圳F(-y,-x)=0;
　　5. C关于x=m轴对称?圳F(2m-x,y)=0;
　　6. C关于y=n轴对称?圳F(x,2n-y)=0.
　　结论2
　　平面曲线C:F(x,y)=0,关于点(m,n)对称的充分必要条件是F(2m-x,2n-y)=0.
　　证明与结论1的证明类似.
　　推论2
　　平面曲线C:F(x,y)=0,关于点O (0,0)对称的充分必要条件是F(-x,-y)=0.
　　结论3
　　平面曲线C:F(x,y)=0,关于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称的曲线C′的方程是F,=0.
　　证明略.
　　推论3
　　平面曲线C:F(x,y)=0,则有
　　1. C关于x轴对称的曲线C′的方程G(x,y)=F(x,-y)=0;
　　2. C关于y轴对称的曲线C′的方程G(x,y)=F(-x,y)=0;
　　3. C关于y=x轴对称的曲线C′的方程G(x,y)=F(y,x)=0;
　　4. C关于y=-x轴对称的曲线C′的方程G(x,y)=F(-y,-x)=0;
　　5. C关于x=m轴对称的曲线C′的方程G(x,y)=F(2m-x,y)=0;
　　6. C关于y=n轴对称的曲线C′的方程G(x,y)=F(x,2n-y)=0.
　　结论4
　　平面曲线C:F(x,y)=0,关于点(m,n)的对称曲线C′的方程是G(x,y)=F(2m-x,2n-y)=0.
　　证明略.
　　推论4
　　平面曲线C:F(x,y)=0,关于点O(0,0)的对称曲线C′的方程G(x,y)=F(-x,-y)=0.
　　
　　解决问题
　　下面我们来解决最初提出的问题.
　　解令F(x,y)=y-=0?摇?圯F(x,y)=y-+3=0. 又y=x-1?圯x-y-1=0,由结论3得A=1,B=-1,C=-1. F(x,y)=0关于y=x-1的对称曲线方程G(x,y)=F(y+1,x-1)=0,即x+2=?摇?圯y=.
　　注将函数看作图象的方程,上述结论都成立,但所得曲线不一定仍然表示一个函数的图象.
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