[高考中线性规划习题的三种变式]
随着线性规划问题在数学教学的深入，高考在这方面出题的角度也变得越来越新．它由原来传统的已知线性约束条件，求线性的最值问题．转变成多种非线性最值问题和非最值问题的求解．
1 目标函数的变式
1．1 目标函数变成了z=|ax+by+c|结构，对于此类问题可以转换成z=|ax+by+c|a2+b�2・a2+b�2结构，即转化成区域内的点（x,y)到直线ax+by+c=0距离的最近、最远问题．
例1 已知实数x,y满足x-y+2≥0
图1解：如图1，原目标函数可以变成：
z=|2x+y+4|=|2x+y+4|5・5．
此问题可以看成阴影部分的点到直线2x+y+4=0的距离的最小值乘以5．通过观察，点（0，2）到直线2x+y+4=0距离为阴影部分的点到直线距离的最小值．
1．2 目标函数变成了z=(x-a)�2+(y-b)�2结构．此问题可以转换成区域内的点到定点（a,b)的最近距离和最远距离．
x+2y-4≥0，求z=x2+y2的最值．
图2解：如图2，原目标函数可以转换成区域内点（x,y)到定点（0，0）的距离的最值．过点（0，0）作临近直线x+2y-4=0的垂线，垂足落在可行域内，最小值为点（0，0）到边界线x+2y-4=0的距离为：d=|-4|1+4=455，最大值为点（4，0）到点（0，0）的距离4．
注：对于本结构在求最小值时，大家要特别注意是到边界线的距离，还是到临近顶点的距离，例如上题中的目标函数改为：z=(x+2)�2+(y-2)�2，则此题的最小值为点（0，2）到点（-2，2）的距离．对于这样问题的判定标准为：过定点做临近边界线的垂线，若垂足落在可行域内，则最小值为点到直线的距离；若垂足没有落到可行域内，则到临近顶点的距离为最小值．
1．3 目标函数变成了z=y-bx-a结构．此类题可以转换成可行域内的点（x,y)与点（a,b)连线斜率的取值的范围．
例3 已知实数x,y满足x-y+2≥0
图3解：如图3，目标函数可以看作点（x,y)到点�（-2，1）�斜率，则其最大值和最小值为连线斜率的最大值和最小值．通过观察，点（1，3）与点（-2，1）连线的斜率为斜率的最大值，即z的最大值为23，点（4，0）与点（-2，1）连线的斜率为斜率的最小值即z的最小值为-16．
1．4 目标函数变成了：z=|�OA�||�cos�θ|．（其中点A为可行域内的点，θ为�OA�，�OB�所成角，B为定点）．这个问题可以翻译成向量�OA�在�OB�上投影的绝对值．即过点A做直线OB的垂线，垂足为到点O的距离．
例4 已知实数x,y满足x-y+2≥0
这个问题可以翻译成向量�OA�在�OB�上投影的绝对值．通过可行域可观察到，过（4，0）点作直线OB的垂线段，垂足D到O的距离最远，所以最大值为|OD|=|-8|5=855．
1．5 所求问题是非最值求解题，例如求可行域的面积和已知最优解的个数求变量取值范围等等．
2 由线性约束条件向非线性约束条件的变式
随着线性规划解题的深入，在出题时动点所在的区域的表示方式也发生着变化，但区域表示形式的变化仍然不改变线性规划的解题思想的实质．
图5解：动点所在的区域如图5所示．
在点（22,22）处切线的斜率为-1，所以在圆x2+y2=1，x∈［22,1］,y≥0的切线的斜率取值范围为（-∞,-1］．
所以对于y=-13x+z3来说不可能成为圆x2+y2=1，在x∈［22,1］，y≥0范围内的切线．
所以y=-13x+z3过点）（22，22）时在y轴上的截距最大，所以 z���max��=22．
注：在非线性习题的处理中，要做好平移直线是否可以成为曲线的切线的判定．例如把目标函数改为：z=x+13y，则当y=-3x+3z为圆�x2+y2�=1 (x∈［22,1］,y≥0)的切线时，切点带入目标函数后值最大．
3 由显性到隐性的变式
在题中不能明确看出本题是线性规划的习题，需要对习题进行进一步的翻译和转化，将表面不是线性规划结构的问题转化成线性规划结构的问题．
例6 （2007年全国卷2（文）第22题）已知函数f(x)=13ax�3-bx2+(2-b)x+1在x=x�1处取得极大值，
通过以上三种变式的分析，虽然线性规划的变式结构比较多，但其由数到形的转换思想并没有改变．所以，对于新题大家要注意进行由数到形、由表面不象线性规划结构到线性规划结构的转换，只要一道习题可以翻译成：已知一组变量相互关联的取值范围，求变量组合取值范围的习题，都可以考虑运用线性规划中体现出的数形结合的思想来处理．
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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