两个重要极限公式推导 [企业理财学科中几个重要计算公式的推导过程]

　　【摘要】在财经和管理学科中，计算公式是比较常见的根据其定义规则而形成的精炼准确的表达式，但大多只有结论，没有严格的推导过程。本文运用企业理财理论和高等数学知识重点就固定股利增长率股票价值和经营杠杆、财务杠杆和总杠杆系数等两组公式进行推导，并总结出一定的规律，以期有利于进一步加深学习者对计算公式的认知和把握。
　　【关键词】企业理财；计算公式；推导过程
　　财经和管理学科中的计算公式很多，这些计算公式往往是在设定某些假定的前提下根据其定义规则建立一定的数学模型，然后进行严格推演而形成的精练准确的表达式。显然，计算公式的严格推导在这类学科的学习中具有极其重要的意义，然而笔者多年在高校从事企业理财学科教学过程中，就目前所见的几本有较大影响的有关公司财务或财务管理的教材和专著，如全国CPA考试辅导教材《财务成本管理》、厦门大学余绪缨主编的《企业理财学》等教材，其中对固定股利增长率股票价值的计算，财务杠杆系数，经营杠杆系数，总杠杆系数的计算，均是只有结论，而没有严格的推导过程，在教学过程中不利于学生对计算公式的深刻认知和全面把握。因此，笔者不揣浅陋运用有关数学和企业财务管理方面的知识将以上几个计算公式进行严格推导，从而加深学习者对这几个计算公式的理解和掌握。
　　1 固定股利增长率股票价值的计算公式的推导过程
　　1.1 股票价值计算的基本模式。
　　即无论是股东永远持有股票，还是不打算永远持有股票，其股票股价的基本模型均可由下式来表示：
　　股票价值V(或P)＝D1（1+Rs）+D2（1+Rs）2+……Dn（1+Rs）n……=Σ∞t=1Dt（1+Rs）t
　　（其中Dt为第t年的股利，Rs为折现率，一般采用资本成本率或投资者的必要报酬率，t为折现期数）
　　1.2 固定成长股票价值计算：
　　假定股票股利每年较上一年固定增长比率为g，则Dt＝Do(1+g)t（其中Do 为基年的股利）
　　∴固定成长股票的价值V＝Σ∞t=1Dt（1+Rs）t=Σ∞t=1D0（1+g）t（1+Rs）t
　　=Σ∞t=1（1+g）t-1（1+Rs）?D0（1+g）（1+Rs）
　　=D0（1+g）（1+Rs）?limn→∞Σ∞t=1（1+g-Rs1+Rs）t-1
　　=D0（1+g）（1+Rs）?limn→∞Σ∞t=1（1+g-Rs1+Rs）n-1g-Rs1+Rs
　　=D0（1+g）（1+Rs）?1+Rsg-Rslimn→∞［（1+g-Rs1+Rs）n-1］=A
　　设limn→∞［（1+g-Rs1+Rs）n-1］=B，以下进行讨论：
　　①当（1+g-Rs1+Rs）＞1时，即g-Rs＞0，g＞Rs时，B值趋于+∞，A式无极限
　　②当（1+g-Rs1+Rs）=1时，即g-Rs=0，g=Rs时，B虽有极限，但A式无意义
　　③当（1+g-Rs1+Rs）＜1时，即g-Rs＜0，g＜Rs，此时，B=-1
　　∴A式=D0（1+g）1+Rs?1+Rsg-Rs?（-1）=D0（1+g）Rs-g
　　综上所述，当g为常数并且仅当Rs＞g时，固定成长股股票的价值计算公式可简化为V＝D0（1+g）Rs-g=D1Rs-g
　　例如，青山旅游公司报酬率为10%，年增长率为12%，D0＝1.5元，则青山旅游公司股票的内在价值V＝D0（1+g）Rs-g=1.5×（1+12%）20%-12%
　　2 经营杠杆、财务杠杆、总杠杆系数等计算公式的推导
　　2.1 经营杠杆系数计算公式的推导。
　　由于固定成本在销售收入中的比重大小对企业风险具有重要影响，在某一固定成本比重的作用下，销售量变动对息税前利润产生的作用被称为经营杠杆，经营杠杆具有放大企业风险的作用。
　　2.1.1 经营杠杆系数的含义：它是企业息税前盈余变动率与销售额变动率之间的比率。即DOL＝△EBITEBIT÷△
　　2.1.2 推导过程。
　　假定企业销售量由Q变动到Q1，即：并假定企业的成本——销量——利润保持线性关系，可变成本在销售收入中所占的比例不变，固定成本也保持稳定， DOL便可通过销售量（额）和成本来表示。
　　则△=1-
　　则DOL=1（P－V）－F－［（P－V）－F］（P－V）－F÷1－
　　=（P－V）（P－V）－F=EBIT+FEBIT=CMCM－F
　　即DOLq=（P－V）（P－V）－F=EBIT+FEBIT=CMCM－F
　　同理可证DOLs=S－VCS－VC－F
　　（其中△EBIT为息税前盈余变动额，EBIT为变动前息前税前盈余，P为产品单位销售价格，V为产品单位变动成本，F为总固定成本，CM为贡献毛益，S为销售额，VC为变动成本总额）
　　2.2 财务杠杆系数计算公式的推导。
　　通常情况下，财务杠杆作用的大小用财务杠杆系数来表示，系数越大，财务杠杆作用越大，其财务风险也越大。
　　2.2.1 财务杠杆系数的含义：它是企业普通股每股收益变动率与息税前盈余变动率之间的比率。
　　即DFL＝△EPSEPS÷△EBITEBIT
　　2.2.2 推导过程。
　　为方便计算公式推导，首先假定企业无优先股股利d1－T，无租赁费L；并假定企业所得税率为T，利息费用为I，息税前盈余变动比率为R，普通股股份数为N。则
　　DFL＝△EPSEPS?△EBITEBIT
　　=［EBIT?（1+R）－I］N－（EBIT－I）?（1－T）N（EBIT－I）?（1－T）N?EBITEBIT?R=EBIT?R?（1－T）N（EBIT－I）?（1－T）N?EBITEBIT?R=EBITEBIT－I