高考数学线性规划题型总结|高考数学线性规划
线性规划常见题型及解法 2016.5.5
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
⎧2x -y ≤2⎪
例1、设变量x 、y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，则z =2x +3y 的最大值为 。
⎪x +y ≥1⎩
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z
最大值为18
点评：本题主要考查线性规划问题, 由线性约束条件画出可行域, 然后求出目标函数的最大值. ，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。
⎧x ≤2⎪
习题1、若x 、y 满足约束条件⎨y ≤2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）
⎪x +y ≥2⎩
A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y＝0，将
l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
⎧x ≥1, ⎪
例2、已知⎨x -y +1≤0, 则x 2+y 2的最小值是⎪2x -y -2≤0⎩
解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而x 2+y 2表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。x +y 的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
2
2
⎧2x +y -2≥0⎪
习题2、已知x 、y 满足以下约束条件⎨x -2y +4≥0 ，
⎪3x -y -3≤0⎩
则z=x+y的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2
2
2
图2
4C 、13， D
、
55
解：如图，作出可行域,x +y是点（x ，y ）到原点的距离
的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即
2
|AO|=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为
2
2
4
，选C 5
⎧x +2y -5≤0
，则
⎨x ≥1, y ≥0⎪x +2y -3≥0⎩
练习2、已知x ，y 满足⎪
y
的最大值为___________，最小值为____________．
x
2，0
三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
⎧x +y -2≤0
例3、在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎨x -y +2≥0表示的平面
⎪y ≥0⎩
区域的面积是（）
(A)
(B)4 (C) (D)2
⎧x +y -2≤0
解析：如图６，作出可行域，易知不等式组⎪⎨x -y +2≥0表示
⎪y ≥0⎩
的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于
11
是三角形的面积为：S =|BC |⋅|AO |=⨯4⨯2=4. 从而选Ｂ。
22
点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。
⎧2x +y -6≥0⎪
习题3、不等式组⎨x +y -3≤0表示的平面
⎪y ≤2⎩
区域的面积为
（ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为
所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B
四、已知平面区域，
2
2
例4、已知双曲线x -y =4的两条渐近线与直线x =3围成一个三角形区域, 表示该区域的不等式组是（）
⎧x -y ≥0⎧x -y ≥0⎪⎪
(A)⎨x +y ≥0 (B)⎨x +y ≤0 (C)
⎪0≤x ≤3⎪0≤x ≤3⎩⎩
2
2
⎧x -y ≤0⎧x -y ≤0
⎪⎪
⎨x +y ≤0 (D)⎨x +y ≥0 ⎪0≤x ≤3⎪0≤x ≤3⎩⎩
解析：双曲线x -y =4的两条渐近线方程为y =±x ，与直线x =3围成一个三角形区域（如图4所示）时有⎪
⎧x -y ≥0
。
⎨x +y ≥0⎪0≤x ≤3⎩
点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。
习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是
y >-2y >-2⎧⎧y >-2y ≥-2⎧⎧
⎪⎪A ⎪ B 3x -2y +6≥0 C ⎪D ．3x -2y +60⎨3x -2y +6>0
⎪⎪⎪⎪x ≤0x
（ ）
C
五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
⎧x ≥0
例5、在约束条件⎪下，当3≤s ≤5时，目标函数⎪y ≥0
⎨
⎪y +x ≤s ⎪⎩y +2x ≤4
C
z =3x +2y 的最大值的变化范围是（）
A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]
解析：画出可行域如图3所示, 当3≤s
z max
E (0, 处取得最大值, 即
=3⨯0+2⨯4=8, 故z ∈[7,8], 从而选D;
在点
点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。
六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x－y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则
m 的取值范围是 （ ）
A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3） 解：|2x－y ＋m|＜3等价于⎨
⎧2x -y +m +3>0
⎩2x -y +m -3
由右图可知⎨
⎧m +3>3
, 故0＜m ＜3，选C
⎩m -3
习题6、不等式|2x +y +m |
B ．0
D ．0
七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
⎧1≤x +y ≤4
y 例7、已知变量x ，满足约束条件⎨。若目标函
-2≤x -y ≤2⎩
数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的
取值范围为 。
解析：如图5作出可行域，由z =ax +y ⇒y =-ax +z 其表示为斜率为-a ，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z =ax +y （其中a >0）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y =-ax +z 过Ａ点且在直线x +y =4, x =3（不含界线）之间。即-a 1. 则a 的取值范围为(1,+∞) 。
点评：本题通过作出可行域，在挖掘-a 与z 的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。
⎧x +y ≥5⎪
习题7、已知x 、y 满足以下约束条件⎨x -y +5≤0，使
⎪x ≤3⎩
z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为
（ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay＝0，要使目标函
数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D
八、研究线性规划中的整点最优解问题
例8、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件
⎧5x -11y ≥-22, ⎪
则z =10x +10y 的最大值是 ⎨2x +3y ≥9,
⎪2x ≤11. ⎩
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解析：如图７，作出可行域，由z =10x +10y ⇒y =-x +为斜率为-1，纵截距为
z
，它表示10
z
的平行直线系, 要使z =10x +10y 最得最大值。当直线z =10x +10y 10
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通过A (, ) z 取得最大值。因为x , y ∈N ，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点
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附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，Z max =90.
点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
九、求可行域中整点个数
例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个
⎧x +y ≤2⎪x -y ≤2⎪
解：|x|＋|y|≤2等价于⎨
⎪-x +y ≤2⎪⎩-x -y ≤2
(x ≥0, y ≥0)
(x ≥0, y 0)
(x 0, y ≥0) (x 0, y 0)
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选C
习题9、不等式x +y
A ． 13个 B ．
10个 C ． 14个 D ． 17个 A