大学概率论第一章答案:概率论同济大学课后答案

习题1-2

1. 选择题

(1) 设随机事件A ，B 满足关系A ⊃B , 则下列表述正确的是( ).

(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.

(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.

解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).

(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件表示( ).

(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.

(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.

解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式

本题应选(D).

2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:

(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观

察其颜色;

(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；

(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；

(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数.

解 (1) {黑球, 白球}； (2) {黑黑, 黑白, 白黑, 白白}； (3) {0,1,2}；

(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为

{10+n |n =0,1, 2, L }.

3. 设A, B, C是三个随机事件, 试以A, B, C的运算关系来表示下列各事

件：

(1) 仅有A 发生；

(2) A , B , C 中至少有一个发生;

(3) A , B , C 中恰有一个发生;

(4) A , B , C 中最多有一个发生;

(5) A , B , C 都不发生;

(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生.

解 (1) ABC ; (2) A U B U C ; (3) ABC U ABC U ABC ; (4) ABC U ABC U ABC U ABC ; (5) ABC ; (6) A (B U C ) .

4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：

A 1∪A 2∪A 3; (3)3; (4) A 2－A 3; (5)A 2U A 3； (6)A 1A 2. (1) A 1∪A 2; (2)

解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目

标;(3) 射手第三次没有击中目标; (4) 射手第二次击中目标, 但是第三次没有击

中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没

有击中目标.

习题1-3 B I C =B U C ,

1. 选择题

(1) 设A, B为任二事件, 则下列关系正确的是( ).

(A)P (A −B ) =P (A ) −P (B ) . (B)P (A U B ) =P (A ) +P (B ) .

(C)P (AB ) =P (A ) P (B ) . (D)P (A ) =P (AB ) +P () .

解 由文氏图易知本题应选(D).

(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB ) =0, 则下列结论正确的是

( ).

(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.

(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0.

解 本题答案应选(C).

2. 设P (AB )=P (), 且P (A ) ＝p ，求P (B ).

解 因 P (AB ) =1−P (A U B ) =1−P (A ) −P (B ) +P (AB ) =P (AB ) ,

故P (A ) +P (B ) =1. 于是P (B ) =1−p .

3. 已知P (A ) =0.4, P (B ) =0.3, P (A U B ) =0.4, 求P () .

解 由公式P (A U B ) =P (A ) +P (B ) −P (AB ) 知P (AB ) =0. 3. 于是

P (AB ) =P (A ) −P (AB ) =0.1.

4. 设A , B 为随机事件, P (A ) =0.7, P (A −B ) =0.3, 求P (AB ) .

解 由公式P (A −B ) =P (A ) −P (AB ) 可知, P (AB ) =0.4. 于是P (AB ) =0.6.

5. 已知P (A ) =P (B ) =P (C ) =1

4, P (AB ) =0, P (AC ) =P (BC ) =1, 12

求A , B , C 全不发生的概率.

P AB ）解 因为ABC ⊂AB , 所以0≤P (ABC ) ≤（=0, 即有P (ABC ) =0.

由概率一般加法公式得

P (A U B U C ) =P (A ) +P (B ) +P (C ) −P (AB ) −P (AC ) −P (BC ) +P (ABC )

7=. 12

由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是

P () =P (A U B U C ) =1−P (A U B U C ) =

习题1-4

1. 选择题 512.

在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7

为概率的事件是( )．

(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.

(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.

解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为C 3×C 2

C 5211, 没有一等品的概率为C 3×C 2C 5202, 将两者加起即为0.7.

答案为（D ）.

2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.

12C 5C 45解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是3C 50

13C 52C 45C 50C 45; (3 )至少有1件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是33C 50C 50

31210C 50C 45C 5C 45C 52C 45C 53C 45+; (5) 至少有2件次品的概率是+. 3333C 50C 50C 50C 50

3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：

(1) 两个球均为白球的概率；

(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；

(3）至少有一个黑球的概率.

解 从9个球中取出2个球的取法有C 9种，两个球都是白球的取法有C 4种，一黑一白的取法有C 5C 4种，由古典概率的公式知道

2C 4(1) 两球都是白球的概率是2; C 9

11C 5C 4; (2) 两球中一黑一白的概率是2C 91122

2C 4(3) 至少有一个黑球的概率是1−2. C 9

习题1-5

1. 选择题

(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )

(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件.

(C) AB =B . (D)P (AB ) =P (B ) .

解 由条件概率定义可知选(D).

(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0

(A) 若P (=P (A ) , 则A , B 互斥.

(B) 若P (A ) =1, 则P (AB ) =0.

(C) 若P (AB ) +P (AB ) =1, 则A , B 为对立事件.

(D) 若P (B |A ) =1, 则B 为必然事件.

解 由条件概率的定义知选（B ）．

2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2, …,X 中任取一个数, 记为Y , 求P {Y =2}.

解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}

+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}

=111113×(0+++)=. 423448

3. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.

解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则B i (i =0,1, 2,3) 表示“恰有i 发击中目标”. B i 为互斥的完备事件组. 于是

没有击中目标概率为P (B 0) =0.6×0.5×0.3=0.09,

恰有一发击中目标概率为

P (B 1) =0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36,

恰有两发击中目标概率为

P (B 2) =0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.7=0.41,

恰有三发击中目标概率为

P (B 3) =0.4×0.5×0.7=0.14.

又已知 P (A |B 0) =0, P (A |B 1) =0.2, P (A |B 2) =0.6, P (A |B 3) =1,

所以由全概率公式得到

P (A ) =∑P (B i ) P (A |B i ) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.

i =03

4. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.

(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.

解 (1)以A 表示“取得球是白球”，“取得球来至第i 个箱子”, i =1,2,3. H i 表示

则P (H i )=1115, i =1,2,3, P (A |H 1) =, P (A |H 2) =, P (A |H 3) =. 3528

由全概率公式知

P (A )=P (H 1) P (A |H 1) +P (H 2) P (A |H 2) +P (H 3) P (A |H 3) =53. 120

P (AH 2) P (H 2) P (A |H 2) 20== (2) 由贝叶斯公式知 P (H 2|A )=P (A ) P (A ) 53

5. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.

(1) 求这件产品是次品的概率;

(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？

解 设A 表示“取到的是一件次品”, B i (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品

来自甲、乙、丙工厂”. 易知, B 1, B 2, B 3是样本空间S 的一个划分, 且

P (B 1) =0.4, P (B 2) =0.38, P (B 2) =0.22，

P (A |B 1) =0.04, P (A |B 2) =0.03, P (A |B 3) =0.05.

(1) 由全概率公式可得

P (A ) =P (A |B 1) P (B 1) +P (A |B 2) P (B 2) +P (A |B 3) P (B 3)

=0.4×0.04+0.38×0.03+0.22×0.05 . =0.0384.

(2) 由贝叶斯公式可得

P (A |B 1) P (B 1) 0.4×0.045P (B 1|A ) ===, P (A ) 0.038412

P (A |B 2) P (B 2) 0.38×0.0319==, P (B 2|A ) =P (A ) 0.038464

P (A |B 3) P (B 3) 0.22×0.0555=. = P (B 3|A ) =P (A ) 0.0384192

习题1-6

1. 选择题

(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).

(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.

(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件.

解 用反证法, 本题应选(B).

(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).

(A) A 与独立. (B) 与独立. (C) P () =P (P (B ) . (D) A 与B 一定互斥.

解 因事件A 与B 独立, 故A 与B , A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).

(3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0

(A) P (A |B ) =P (A ) . (B) P (=P () P () .

(C) A 与B 一定互斥. (D)

P (A U B ) =P (A ) +P (B ) −P (A ) P (B ) .

解 因事件A 与B 独立, 故A 与B 也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).

2. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：

ABC =∅, P (A ) =P (B ) =P (C )

2, 且P (A U B U C ) =9

16,

求P (A ) .

解 根据一般加法公式有

P (A U B U C ) =P (A ) +P (B ) +P (C ) −P (AC ) −P (AB ) −P (BC ) +P (ABC ) . 由题设可知 A , B和C 两两相互独立, ABC =∅, P (A ) =P (B ) =P (C )

P (A U B U C ) =3P (A ) −3[P (A )]2=

于是P (A ) =916, . 4424

3. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：

(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；

(2) 恰有一人命中目标的概率；

(3) 目标被命中的概率.

解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是

(1) P (AB ) =P (A ) P (B ) =0.7×0.8=0.56; (2) P (AB ) +P (AB ) =0.7×0.2+0.3×0.8=0.38;

(3) P (A U B ) =P (A ) +P (B ) −P (A ) P (B ) =0.7+0.8−0.56=0.94.

总 习 题 一

1. 选择题：设A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 且0

(A)A U B 与C . (B)AC 与C . (C) A −B 与C . (D) AB 与C .

解 由于A , B, C是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确. .

2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回. 求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.

95×519解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为. =100×99396

95×5+5×9519(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为=. 100×99198

3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有

第一家工厂生产的, 其它二厂各生产1的产品是21. 又知第一、第二家工厂生产的产品中4

有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.

解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设 A ={取到的产品是次品}, B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =∅(i ≠j, i, j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=111, P (B 2) =, P (B 3)=, 244

224P (A | B 1)=, P (A | B 2)=, P (A | B 3)=, 100100100由全概率公式得

P (A )=P (B 1) P (A |B 1)+P (B 2) P (A |B 2)+P (B 3) P (A | B 3)

=121214=0.025. ×+×+×[1**********]0

4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？

解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到

P (B ) =P (A ) P (B |A ) +P (P (B |=0.75×0.9+0.25×0.3=0.75.

由贝叶斯公式可得

P (A |B ) =P (AB )

P (B ) =P (A ) P (B |A ) 0.75×0.9=0.9. =P (B ) 0.75

5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02, 而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？

解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”, 以表示事件“接收到信息B ”. 已知

21P (D ) =0.02, P (R ) =0.01, P (D ) =, P () =. 33

由贝叶斯公式知

P (D R ) =P (R D ) P (D ) P (DR ) 196==. P (R ) P (R ) P () +P (R D ) P (D ) 197