正弦定理证明

正弦定理证明_正弦定理的证明

正弦定理的证明（方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当 ? ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而asin Aasin A?bsin BcsinC ??bsin B?bsin Bcsin C思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由 从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（方法二）利用向量证明? ? ???? 如图，在 ? ABC 中，过点 A 作一个单位向量 j ，使 j ? AC 。于涉及边长问题，当 ?BAC 为钝角或直角时，同理可证上述结论。

从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数， 即存在正数 k 使 a ? k sin A ， b ? k sin B ， c ? k sinC ；asin A ?bsin B?csin C- 1 -（2）asin A?bsin B?csin C等价于asin A?bsin B，csinC?bsin B，asin A?csin C下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学探索。

（方法三）利用复数证明 如图， 如图2， 建立平面直角坐标系． 在复平面内， 过点 A 作 BC 的平行线， 过点 C 作 AB 的平行线，交于点 D ．根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部．可以得出（方法四）利用 ? ABC 的外接圆证明Ⅰ 如图， ?O 是 ? ABC 的外接圆，设半径为 R ，分 别连结 OA 、OB 、 OC ，过点证明：O作 OD ? BC , 垂足为 D 。（方法五）利用 ? ABC 的外接圆证明Ⅱ 如图，?O 是 ? ABC 的外接圆， 设半径为 R ，连结 BO 并延长，交 ? O 于点 D ，连结 AD 。- 2 -证明：（方法六）利用 ? ABC 的高线证明 如图，在 ? ABC 中，过点 B 作 BD ? AC ，垂足为 D 证明：（方法七）利用两角和的正弦公式证明 如图，在 ? ABC 中，过点 B 作 BD ? AC ，垂足为 D- 3 -

正弦定理证明_正弦定理的三种证明

△ABC 中的三个内角∠A，∠B，∠C 的对边，分别用 a , b , c 表示. 正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即a s in A = b s in B = c s in C证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之. (1) 在 R t ? A B C 中，如图 1-1s in A = a cA， s in B =a = bb c =cc ba s in A b s in B CD b c s in C CD a b s in B a s in A = b s in B = c s in C因此，s in As in B有因为 sin C =1 ，所以==C ，a CB（2）在锐角△ABC 中，如图 1-2 作 C D ? A B 于点 D ，有 s in A = 因此， b sin A = a sin B ，即 同理可证：a s in A = c s in C a s in A， s in B ==b . Aa，故B c C D（3）在钝角△ABC 中，如图 1-3 作 C D ? A B ，交 A B 的延长线于点 D ，则s in A = CD b， s in ? A B C = s in C B D =a s in A =CD ab因此， b sin A = a sin B ，即 同理可证： 故a s in A = b s in B b s in B = = c s in C c s in Cs in Bb aA 综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.cBD证明：如图所示，圆 O 是△ABC 的外接圆，半径为 R 连接 A O 并延长，交圆 O 于点 D ，连接 C D ， A 易知， ? A C D = 9 0 ， ? B = ? Ds in D = AC AD = b 2R?，即 s in B =b 2R因此b s in B=2RO B C同理，延长 B O , C O ， 可证 故a s in A a s in A = = b s in B c s in C = c s in C =2R =2RD证明：过点 B 作单位向量 j ? B C ，那么就有? ??? ???? ? ??? ? ? ???? j ?A C ? j ?A B ? j ?B C? b co s(9 0 ? C ) ? c co s(9 0 ? B ) ? 0 ? ? b sin C ? ? c sin B? b s in B ? a s in A c s in C ?b s in B =A，b s in Bc s in C? j同理有 故a s in A。cb=BC a【小技巧】 根据几何图形确定向量夹角的方法： 如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么 （1） 向量夹角为锐角，很容易判断； （2） 向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角 例如： 确定向量 j 与向量 A B 的夹角时，由于是钝角， 先确定向量 j 与向量 B A 的夹角为 9 0 ? B ，再求补角，即为 9 0 ? B 确定向量 j 与向量 A C 的夹角时，先平移 j ，同上可得，夹角为 9 0 ? C? ???? ?? ????? ???????

正弦定理证明_正弦定理与余弦定理的证明

一、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1） 当 ? ABC 是锐角三角形时， 设边 AB 上的高是 CD， 根据锐角三角函数的定义， C 有 CD ? a sin B , CD ? b sin A 。

由此，得asin Aasin A ??bsin B ， ?同理可得csinC?bsin B，Aba B故有bsin Bcsin C .从而这个结论在锐角三角形中成立.D（2）当 ? ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D， 根据锐角三角函数的定义，有 CD ? a sin ?CBD ? a sin ?ABC ，CD ? b sin A 。由此， 得asin A ?bsin ?ABC ， ?同理可得csin C .csinC?bsin ?ABCb A a B D C故有asin Absin ?ABC?由(1)(2)可知，在 ? ABC 中，asin A?bsin B?csin C成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即asin A ?bsin B?csin C .2.利用三角形面积证明正弦定理? 已知 △ ABC, 设 BC ＝ a, CA ＝ b,AB ＝ c, 作 AD⊥BC, 垂足为 D.? 则 Rt△ ADB AD A 中, sin B ? ,?∴AD=AB· sinB=csinB.? AB 1 1 1 1 ∴S△ ABC= a ? AD ? ac sin B .?同理,可证 S△ ABC= ab sin C ? bc sin A .? 2 2 2 2 1 1 1 C ∴ S△ ABC= ab sin C ? bc sin A ? ac sin B .?∴absinc=bcsinA=acsinB,? D 2 2 2 sin C sin A sin B a b c ? ? ? ? 在等式两端同除以 ABC,可得 .?即 . c a b sin A sin B sin C 3.向量法证明正弦定理 (1)△ ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC ,则 j 与BAB 的夹角为AB ,?90° -A,j 与 CB 的夹角为 90° -C.?由向量的加法原则可得? AC ? CB ?为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量第 1 页 共 1 页j 的数量积运算,得到 j ? ( AC ? CB) ? j ? AB 由分配律可得 AC ? ∴|j|j ? CB ? j ? AB .?j ABAC Cos90° +|j| CB Cos(90° -C)=|j| AB Cos(90° -A).?a c ? .? sin A sin C∴asinC=csinA.?∴C另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 AC 的夹角为 90° +C,j 与 AB 的夹 角为 90° +B,可得c b ? .? sin C sin B(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与 为 90° -C,j 与AC 的夹角AB 的夹角为 90° -B)?∴a b c ? ? .? sin A sin B sin C(2)△ ABC 为钝角三角形,不妨设 A＞90° ,过点 A 作与 与AC 垂直的单位向量 j,则 jCjAB 的夹角为 A-90° ,j 与 CB 的夹角为 90° -C.?AB ,得 j·AC ?+j· CB =j·AB ,?A由 AC ? CB ?即 a· Cos(90° -C)=c· Cos(A-90° ),?∴asinC=csinA.?∴ 另外,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量 j,则 j 与 角为?90° +B.同理,可得 4.外接圆证明正弦定理a c ? sin A sin CABAC 的夹角为 90° +C,j 与 AB 夹a b c b c ? ? ? .? ∴ sin B sin C simA sin B sin C在△ ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结 BO 并延长交圆于 B′,设 BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所 对的圆周角相等可以得到 c c ? 2 R .? ∠BAB′=90° ，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′= sin C ? sin B ? ? .?∴ 2R sin C a b a b c ? 2 R, ? 2 R .?∴ ? ? ? 2 R .? 同理,可得 sin A sin B sin A sin B sin C 这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式?第 2 页 共 2 页a b c ? ? .? sin A sin B sin C法一(平面几何)：在△ABC 中，已知 AC ? b, BC ? a, 及?C ，求 c。过 A 作 AD ? BC于D，是AD＝AC sin C ? BC sin C ，CD ? AC cos ? b cos c,BAC在 Rt ?ABD 中， AB ? AD ? BD ? (b sin c) ? (a ? b cos c) ? a ? b ? 2ab cos c ，2 2 2 2 2 2 2法二（平面向量） ：??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? AB ? AB ? ( AC ? BC ) ? ( AC ? BC ) ? AC ? 2 AC ? BC ? BC ? AC ? 2 | AC | ? | BC |??? ?2 cos(180? ? B) ? BC ? b2 ? 2ab cos B ? a2 ，即： c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos c法三（解析几何）：把顶点 C 置于原点，CA 落在 x 轴的正半轴上，由于△ABC 的 AC=b， CB=a， AB=c， 则 A， B， C 点的坐标分别为 A(b， 0)， B(acosC， asinC)，C(0，0)． |AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2 =a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C =a2+b2－2abcosC， 即 c2=a2+b2－2abcosC．.法五（用相交弦定理证明余弦定理）:如图，在三角形 ABC 中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。现 在以 B 为圆心，以长边 AB 为半径做圆，这里要用长边的道理 在于，这样能保证 C 点在圆内。BC 的延长线交圆 B 于点 D 和 E 这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为 AG=2acosα ，所以 CG=2acosα -c。根据相交弦定理有： DC×CE=AC×CG，带入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acosα -c) 化简以后就得 b =a +c +2accosα 。也就是我们的余弦定理。

如图，在△ ABC 中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线 AD＝2 cm，求此三角形面积.2 2 2分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式 S△ ABC＝第 3 页 共 3 页1 AB· AC· sinA，需求出 2sinA ，而 △ ABC 面积可以转化为 S△ ADC ＋ S△ ADB ，而 S△ ADC ＝1 A 1 AC· ADsin ， S△ ADB ＝ 2 2 2A A AB· AD· sin ，因此通过 S△ ABC＝S△ ADC＋S△ ADB 建立关于含有 sinA，sin 的方程，而 sinA＝ 2 2 A A A A 2sin cos ，sin2 ＋cos2 ＝1，故 sinA 可求，从而三角形面积可求. 2 2 2 2 解：在△ ABC 中，S△ ABC＝S△ ADB＋S△ ADC， ∴ ∴ 1 1 A 1 A AB· ACsinA＝ · AC· AD· sin ＋ · AB· ADsin 2 2 2 2 2 1 1 A A · 4· 3sinA＝ · 3· 2sin ，∴6sinA＝7sin 2 2 2 2A A A ∴12sin cos ＝7sin 2 2 2 ∵sin ∴sin A A 7 A π ≠0，∴cos ＝ ，又 0＜A＜π，∴0＜ ＜ 2 2 12 2 2 A ＝ 2 A 1－cos2 2 ＝ 95 ， 12A A 7 95 ∴sinA＝2sin cos ＝ ， 2 2 72 ∴S△ ABC＝ 1 7 95 · 4· 3sinA＝ （cm2）. 2 12在△ ABC 中，AB＝5，AC＝3，D 为 BC 中点，且 AD＝4，求 BC 边长. x 解：设 BC 边为 x，则由 D 为 BC 中点，可得 BD＝DC＝ ， 2 AD2＋BD2－AB2 在△ ADB 中，cosADB＝ ＝ 2AD· BD x 42＋（ ）2－52 2 x 2× 4× 2 x 42＋（ ）2－32 2 x 2× 4× 2AD2＋DC2－AC2 在△ ADC 中，cosADC＝ ＝ 2AD· DC又∠ADB＋∠ADC＝180° ∴cosADB＝cos（180° －∠ADC）＝－cosADC. x x 42＋（ ）2－52 42＋（ ）2－32 2 2 ∴ ＝－ x x 2× 4× 2× 4× 2 2 解得，x＝2 所以，BC 边长为 2. 2.在△ ABC 中，已知角 B＝45° ，D 是 BC 边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求 AB. 解：在△ ADC 中， AC2＋DC2－AD2 72＋32－52 11 cosC＝ ＝ ＝ ， 2AC· DC 2× 7× 3 14第 4 页 共 4 页5 3 又 0＜C＜180° ，∴sinC＝ 14 AC AB 在△ ABC 中， ＝ sinB sinC sinC 5 3 5 6 ∴AB＝ AC＝ · 2 ·7＝ . sinB 14 2 3 5 3.在△ ABC 中，已知 cosA＝ ，sinB＝ ，求 cosC 的值. 5 13 3 2 解：∵cosA＝ ＜ ＝cos45° ，0＜A＜π 5 2 4 ∴45° ＜A＜90° ，∴sinA＝ 5 ∵sinB＝ 5 1 ＜ ＝sin30° ，0＜B＜π 13 2∴0° ＜B＜30° 或 150° ＜B＜180° 若 B＞150° ，则 B＋A＞180° 与题意不符. 12 ∴0° ＜B＜30°cosB＝ 13 3 12 4 5 16 ∴cos（A＋B）＝cosA· cosB－sinA· sinB＝ · － · ＝ 5 13 5 13 65 又 C＝180° －（A＋B）. 16 ∴cosC＝cos［180° －（A＋B） ］＝－cos（A＋B）＝－ . 65第 5 页 共 5 页