【辩证的视角，管窥概念的教学】 辩证否定观视角下的改革开放

　　浙江杭州师范大学附属中学310030 　　 　　摘 要：在平时的教学中，经常出现一些重解题、轻概念的现象，造成数学概念与解题严重脱节，导致学生对数学概念含糊不清与一知半解，这严重影响了教学质量. 在新课程教学中应如何进行有效的概念教学？本文将从辩证的视角，以案例的形式加以阐述.
　　关键词：新课程；辩证；数学概念
　　
　　《普通高中数学课程标准》（实验）曾指出：理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念和结论等产生的背景和应用. 数学概念是反映一类对象的空间形式与数量关系方面的本质属性的思维形式，是数学的逻辑推理起点，是构成数学知识的最基本元素，是巩固知识与形成能力的一个基石，在数学教学与研究中具有重要的地位. 清晰的数学概念是正确思维的前提，正确理解数学概念是学习数学的核心，是培养学生逻辑思维能力的必要条件. 由于一切数学思维都是以数学概念为基础，凭借数学概念来进行判断、推理、运算的，所以概念教学是数学教学的基础要素与基本环节，不是“食之无味，弃之可惜”的鸡肋. 但在我们新课程教学中应该如何促进学生对概念的理解与深化呢？如何使枯燥无味的概念课“活”起来呢？这些都是我们在数学教学中必须要考虑的问题. 本文试图从辩证的视角，以案例的形式来谈谈在新课程概念教学中的一些尝试.
　　
　　[⇩]利用矛盾的观点引入数学概念
　　唯物辩证法认为，矛盾是一切事物发展的动力与内在源泉. 同样地，数学概念也是在矛盾不断产生与不断解决的过程中产生、发展的. 我们在数学教学中可以通过创设有效的问题情境，在新旧概念的逻辑联系点、知识的生长点设置矛盾，引起学生与原有认知的冲突，激发学生学习新知识的积极性. 同时，问题情境也是不断诱发学生探索数学知识、培养学习数学兴趣的动力所在. 例如，在复数概念的引入教学中，我们可以设置问题情境：已知x+=1，求x2+的值. 学生很快得出答案：－1. 此时教师适时点拨：x2≥0，>0，那么x2+的值怎么会是负数呢？至此引出复数的概念便水到渠成了，学生学习复数的内在热情与激情也被点燃了，概念的“孵化”也就在情理之中了. 另外，例如，数的概念的发展也是由于其本身内部矛盾不断发展、激化的结果而不断产生新概念的，所以对复数概念教学的引入也可在讨论方程的解的基础上揭示其矛盾激化的过程. 如方程x+1=0在自然数集上无解，而在整数集上有解，从而引进负数，导致数集由自然数集扩展到整数集. 方程x2－2=0在有理数集上无解，从而引入无理数，导致实数集的产生. 而在实数集上x2+1=0无解，所以我们必须引入一个新的数：虚数，从而导致数的概念拓展到复数集. 例如，函数概念的引入就可以利用两个简单的问题情境引起学生与已知认识的矛盾：（1）y=1（x∈R）是函数吗？（2）y=x与y=是同一个函数吗？当学生无法用初中的变量观来解释时，引导学生利用高中的对应观点来引出函数的概念就成为大势所趋. 这种矛盾不断产生、不断解决的过程始终贯穿着数学概念教学，这种矛盾的思想也符合人类的一般认识规律. 从矛盾的观点引入数学概念，使学生体验、感受引进数学概念的重要性与必然性，让学生亲身参与和主动构建数学概念，暴露数学概念的实质，从而激发学生学习数学的主动性与积极性，唤起学生强烈的求知欲望.
　　
　　[⇩]利用运动发展的观点诠释数学概念
　　客观世界是在不断地运动、变化着，无处不在、无时不有. 作为反映客观世界特征的数学本身，必然也在不断地随之变化、发展，数学概念也在不断地深化着. 在数学概念的教学中，我们有必要引导学生去体验数学概念的来龙去脉，感悟数学概念的发生、发展过程，凸显数学概念的本质之所在.
　　对于一个数学概念的建立，往往要经历由简单到复杂、由特殊到一般的不断发展、螺旋式上升的变化过程. 这个循序渐进的过程既符合事物的发展变化规律，也符合学生的认知发展特征. 在我们新课程的教学改革中，特别强调螺旋式上升而不是一步到位的教学模式，所以在我们数学概念教学中要特别注意有意识地引导学生揭示概念的这种发展、变化规律. 例如：函数单调性概念的建立就经历了一个漫长而有意义的体验过程. 学生在初中学习时的概念是定性的、形象的，从图形直观的视角让学生感知概念，感性地认识概念，教材也只是作描述性的说明：函数值随着自变量的增大而增大或随着自变量的增大而减小的变化趋势. 而到了高一学习数学时的概念则是定量的、抽象的，是一个比较严密的、精确的定义，要求学生能够利用定义，定量地去证明有关函数单调性的问题. 高三数学在学生的思维经历前两种认识的“洗礼”后，回归到最本质的理解：利用导数来加以定义. 从导数的视角重新加以定义是一个高等数学定义的雏形，对函数单调性的刻画则可以说是入木三分、淋漓尽致. 这样，我们学生的函数单调性概念的建立经历了从定性到定量、从具体到抽象、从初等到高等的发展过程，不断实现数学概念的跨越式、螺旋式发展，使学生对数学概念的认识由感性到理性认识的突破，形成科学的数学概念. 又如角的概念，它在我们中学数学中扮演着重要的“角色”，其形式丰富多彩，所以有人曾发出“角的概念如此多娇”的感慨. 在初中的平面几何中，我们是把角定义为“从一点出发的两条射线所成的图形”，是一个孤立、静止的概念，在实际问题解决中有很大的局限性；在高中平面三角的学习中，则把角定义为“一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形”，角的概念由静态到动态，由正角到负角，由锐角到钝角、周角，然后拓展到任意角；在立体几何中又出现了“异面直线所成的角”“直线与平面所成的角”“二面角”等概念，从而角的概念实现了从平面到空间的转化. 这样，角的概念突破了从静态到动态、平面到空间、正角到负角以至于任意角的发展. 像这样用发展、变化的观点，运动的观点来剖析、诠释数学概念，便建立起了一个完整的数学概念网络，串起了内涵丰富的概念链，使学生深入理解了数学概念的本质，从而使所学概念类化. 这对完善学生的认知结构、提升学生的数学思维方式有重要的作用. 在概念教学中，我们教师要抓住时机，适当地加以点拨、整合，使之转化为学生内在的数学思想方法.
　　数学概念是多结构、多层次的. 理解和掌握数学概念应遵循由具体到抽象、由低级到高级、由简单到复杂的认知规律. 因此，一个数学概念的建立和形成，应该通过学生的亲身体验、主动构建，通过分析、比较、归纳等方式，揭示出概念的本质属性，形成完整的概念链，从而加强学生分析问题、解决问题的能力，形成学生的数学思想.
　　[⇩]利用质变的观点理解数学概念
　　唯物辩证法认为，任何客观事物都是质与量的有机统一体. 由于事物在永恒地运动、变化，则必然表现为量变与质变两种基本形式的交替进行. 而事物的发展过程就是不断由量变到质变的变化过程. 在数学概念教学中，我们应该有意识地渗透量变与质变的辩证思维，尤其应让学生体验从量的积累引起质的飞跃的变化过程，促进学生对数学概念的理解，特别是一些数学核心概念（如函数、极限、导数等）的构建过程，它们往往要经历一个量变引起质变的突变过程. 例如，曲线的切线就是割线的极限状态，从割线变成切线就是量变引起质变的过程；又如在讲授圆锥曲线的统一定义时，可以引导学生体验圆锥曲线的离心率变化与曲线类型变化的内在关系：当曲线的离心率e由0（不含0）逐渐接近1时，曲线由椭圆逐渐变为扁平椭圆，这是一个量变的积累过程；当e=1时，就发生了质变，它不再是椭圆了，而是一条抛物线；当 e>1时，曲线再次发生了质变，变为双曲线了，接着又是一个量变的过程，随着e趋向于无穷大，曲线则“蜕化”成为两条相交直线（双曲线的两条渐近线），这说明圆锥曲线的离心率在数量上的变化引起了图象由椭圆、抛物线、双曲线到两条相交直线的质变. 在教学中，利用量变引起质变的观点来理解数学概念，剖析概念的外延与内涵的变化，更能触及数学概念的本质，同时也使学生明白：任何事物的发展都是通过一个由量变到质变、由质变到量变的无限交替过程来实现的.
　　
　　[⇩]利用对立统一的观点深化概念
　　唯物辩证法认为，任何事物都是既对立又统一的，是一个矛盾的统一体. 同样，数学中充满着辩证的统一：正与负、动与静、曲与直、实与虚、有理与无理、有限与无限、常量与变量……时时刻刻交错在一起，同时在一定条件下不断进行转化. 在我们的概念教学中要不断地揭示其内在的对立、统一关系. 例如：数列极限概念的精髓就在于巧妙地把无限的过程与有限的结果和谐地统一于一体. 又如，在复数概念教学中，当引进虚数之后，虚数与实数既是对立的，又相互依存――没有虚数就无所谓实数，它们统一于复数，而且在一定的条件下可以转化：实数乘以i转化为虚数，纯虚数除以i转化为实数. 以上都说明数学本身充满辩证. 教师在教学过程中要不失时机地给学生以揭示，从而提高学生对数学概念的理解与深化. 例如圆锥曲线本身就是一个非常典型的对立又统一的矛盾体，所以从对立又统一的角度去看圆锥曲线的概念就显得非常的自然. 在椭圆的第二定义教学中，如果我们直接拿出定义，就好像“从帽子中变出一只兔子”（玻利亚语），所以学生对椭圆的第二定义始终有一种“雾里看花”的感觉，但如果从椭圆的第一定义出发，分析内在的对立统一，层层挖掘，展开进行教学，就会使得一切都在情理之中. 设椭圆的两个焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），M（x，y）为椭圆上任意一点，则由椭圆定义得MF1+MF2=2a，代入坐标得+=2a. 因为［（x+c）2+y2］－［（x-c）2+y2］=4cx，两式相除得－=. 所以=a－x，①
　　=a+x.②
　　其实，这就是椭圆的焦半径公式. 如果把①式变为=e
　　-x⇒=e（其中e为椭圆的离心率），这就是椭圆的第二定义，真可谓“两个定义，一脉相承”. 这样从学生知识的最近发展区，从对立统一的观点去深化数学概念，可以说是一举两得，何乐而不为呢？
　　在数学概念的教学中渗透辩证法，不仅有利于学生探究概念的发生、发展过程，促进学生对数学概念本质的深刻理解，而且对培养学生良好的思维品质和科学的世界观都有重要作用. 数学教材中蕴涵着极其丰富的辩证唯物主义观点，深入挖掘数学教材，深刻体会其中辩证法的观点，结合教学活动，使学生在数学学习活动中潜移默化地领悟到辩证法的熏陶，当是数学教育的一个高境界.
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