【引导学生开展数学探究的策略】 组织数学探究活动的基本策略

　　浙江宁波海龙赛中学 315200 　　 　　摘要：新课程倡导数学探究教学． 本文主要探讨了在高中数学课堂教学中如何引导学生对一个数学问题开展探究的策略、方法． 开展数学探究的行之有效的策略有类比猜想、归纳推广、一般化、逆向思考、变式与扩展等． 通过这些策略，我们可以引导学生从一个数学问题出发，提出许多新的数学问题，体验数学发现和创造的历程，提高数学探索能力．
　　关键词：数学探究；类比猜想；推广；一般化；逆向思考；变式与拓展
　　
　　《普通高中数学课程标准（实验）》在“课程基本理念”中倡导积极主动、勇于探索的学习方式，强调数学教学要使学生“通过各种不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”． 但在课堂教学实践中，如何引导学生对一个数学问题开展探究，广大教师面临很多问题：一是缺乏实际教学案例的参考，缺少探究学习的课程资源；二是对已有的数学问题如何引导学生提出新的数学问题. 很多教师对如何开展探究不是很清楚，无法得心应手地引导学生开展数学探究． 教学中经常看到教师一个题目讲完了，便开始讲另一个题目，既没有对题目中蕴藏的规律进行挖掘、总结，也没有对题与题之间的联系进行总结，有的只是不断地做题，指望学生自己熟能生巧，无形中把学生引向题海战术． 这样做的结果，不仅无法使学生对一类数学问题有一个清晰的理解，更无助于学生对数学思想方法的掌握和创新意识的培养，这样的效果自然不理想．
　　本文希望总结一些课堂教学中如何引导学生开展数学探究的策略和方法，以便更好地指导探究性课堂教学．
　　从数学学习的研究过程来看，我们经常使用如下的逻辑思考方法：类比、归纳推广、一般化、变式、引申拓展、逆向思考，其中突出显示了联系的观点. 通过这些逻辑思考方法，可以极大地促进我们的数学思考，使我们更有效地提出自己感兴趣的问题，并从中获得研究方法的启示．
　　
　　[⇩]策略一：类比猜想
　　所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有相同或相似的性质的一种推理形式．
　　类比作为数学探究的一种重要方法，可以作为组织数学探究性课堂教学的一种重要形式． 数学家波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．” 类比推理是数学发现的一种有效方法，高中数学课程有很多可以类比的途径：平面与空间的类比，数与形的类比，一元与多元的类比，有限与无限的类比，数与向量的类比，不等与相等的类比等． 比如，有关指数函数与对数函数，三角函数中的正弦函数与余弦函数，数列中的等差数列与等比数列，圆锥曲线中的椭圆与双曲线、抛物线的类比等． 类比作为探究性课堂教学的组织形式，它提供了探究的方向，沟通了新旧知识的联系，是联系已知和未知的桥梁，使探究课堂既充满活力，又不会让学生毫无目的、不知所为． 在类比探究的过程中，学生不仅加深了对旧知识的理解，亲身体验了数学“再发现”的过程，而且进一步体会了数学的内在联系．
　　例１在学习等比数列性质时，师生可以借助幻灯片一起回顾等差数列的性质：
　　1． 在等差数列｛an｝中，对任意m，n∈N+，有an=am+（n－m）d或者d=（m≠n）．
　　2． 在等差数列｛an｝中，若m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，则am+an=ap+aq，反之不成立． 特别地，若m+n=2p，则am+an=2ap，但若m+n=k，am+an=ak不成立．
　　3． 若数列｛an｝是等差数列，则数列a1，a1+m，a1+2m，a1+3m，…也是等差数列，公差为md；a1+a2+…+am，am+1+am+2+…+a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m，…也是等差数列，公差为m2d．
　　4． 数列｛an｝是等差数列，则｛an+an+1｝是等差数列，公差为2d；数列｛kan+b｝是等差数列，公差为kd；若数列｛an｝，｛bn｝是项数相同的两个等差数列，公差分别为d1，d2，则数列｛pan+qbn｝也是等差数列，公差为pd1+qd2 ．
　　5． 在等差数列｛an｝中，若a10=0则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n[M][S][T][y][A2][A1][O][x]
　　图1
　　证明由已知不难得出△A1OT∽△SOA2，所以=⇒OS・OT=R2．
　　证明这个结论后，可引导学生类比猜想：椭圆、双曲线上是否有类似的性质呢？
　　类比猜想一：如图2，已知A1，A2是椭圆+=1（a>b>0）长轴的两个端点，点M是椭圆上异于A1，A2的任意一点，A1M，A2M分别与y轴交于点T和点S，那么OS・OT等于多少？结果还会不会是个定值呢？
　　[M][S][T][y][A2][A1][O][x]
　　图2
　　在教学中，可以让学生通过几何画图开展数学实验探究． 可以知道OS・OT=b2为定值．
　　类比猜想二：如图3，已知A，A是双曲线-=1实轴的两个端点，点M是双曲线上异于A1，A2的任意一点，A1M，A2M分别与y轴交于点T和点S，那么OS・OT等于多少？ 类似地，我们可以得到结果OS・OT=b2为定值．
　　[M][S][T][y][A2][A1][O][x]
　　图3
　　
　　[⇩]策略二：归纳推广、一般化
　　解决一个数学问题后，我们往往可以考虑：这个问题是否可以推广？一般情况下是否成立？有没有一般性的结论？
　　例３过抛物线y2=2px（p>0）焦点的一条直线和此抛物线相交，两交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=－p2（定值）．
　　解析设直线方程为x=my+，代入y2=2px（p>0）中，可得y1y2=－p2.
　　解完后，我们可以引导学生思考：直线过焦点有这个性质，那么不是过焦点，而只是过x轴上的任意一点，有没有什么结论呢？也就是：
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　　类似地，我们不难得到y1y2=－2pc，也是定值．
　　例４直线与抛物线y2=2px（p>0）交于A，B两点，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝，那么直线AB过定点吗？
　　解析设直线AB的解析式为x+a=my，代入y2=2px（p>0），得y2－2pmy+2pa=0.
　　由韦达定理，有y1+y2=2pm，y1y2=2pa .
　　因为α+β=，
　　所以tanα=tan
　　－β=cotβ.
　　所以=，
　　即x1x2=y1y2 .
　　所以・=y1y2 .
　　所以y1y2=4p2.
　　所以2pa=4p2，
　　即a=2p.
　　所以直线AB的解析式为x+2p=my，
　　即直线AB恒过定点（－2p，0）．
　　推广把例4中的条件α＋β＝作进一步的推广，α＋β＝θ（00）交于A，B两点，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝θ（0[M][S][T][y][A2][A1][O][x][图4]
　　例6过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点C，求证：直线BC平行于抛物线的对称轴.
　　题目证完后，可以引导学生逆向思考：过抛物线y2=2px（p>0）焦点的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC平行于抛物线的对称轴，那么直线AC过原点吗？
　　我们知道，一个定理的逆命题不一定成立，经过证明后成立则可以成为逆定理． 逆向思考，是寻找、发现新定理的重要途径． 比如，在立体几何中，许多的性质与判定都有逆定理，如三垂线定理及其逆定理，直线与平面平行的性质和判定定理等. 在教学中，教师可以引导学生进行自主探索，让学生自己经历定理“发现”的过程． 经常注重引导学生逆向思考，注意条件与结论的转化，对开阔学生的思维视野，活跃学生的思维空间是非常有益的．
　　[⇩]策略四：变式与拓展
　　当我们解决一个数学问题后，我们可以进行反思：对这个问题能不能进行变式与引申拓展呢？在原问题的基础上增加一些相关的数学元素会有什么结论呢？修改一些条件、强化或弱化条件，结果又会怎样呢？有时，进行适当的变式和拓展，会给我们带来意想不到的收获．
　　例7已知关于x的方程ax2+x+1=0（a>0）有两个实数根x1，x2 .
　　（1）求（1+x1）（1+x2）的值；
　　（2）若∈
　　，10，试求a的最大值．
　　分析对于（1），由韦达定理易求得（1+x1）（1+x2）=1+（x1+x2）+x1x2=1，对于（2），有多种方法进行解决，以下只列出一种.
　　解析（2）由韦达定理，有
　　x1+x2
　　=－，
　　x1x2
　　=. ①
　　设=t∈
　　，10，则x1=tx2，代入①可得（t＋1）x2
　　=－，
　　tx
　　
　　=.
　　消去x2，可得=.
　　所以a===≤=，当且仅当t=，即t=1∈
　　，10时，取“=”. 所以amax=.
　　这个问题解决后，我们可以引导学生作如下的拓展探究：
　　（1）若条件不变，a有没有最小值呢？
　　（2）题目中的∈
　　，10到底有什么用呢？我们通过认真分析，可以看出，当a取最大值时，=1∈
　　，10，也就是说其实只要所给的的区间包含1，这个问题的结果就是一样的． 由此，我们完全可以把这个条件进行强化和弱化，让学生真正认识到其中的数学奥秘． 比如我们可以把条件∈
　　，10修改为∈
　　，m且m为正数，或者把所给的范围扩大或缩小，如∈［2，5］，求a的值． 此时，a===，当t=∈［2，5］时，可知a为单调递减函数，所以当t=2时，a有最大值．
　　我们是否可以将已知的条件再进一步拓展呢？
　　1． 比如将拓展到非齐式，如∈-10，-
　　，求a的最大值．
　　2 ． ∈-10，-
　　，这个区间还可以怎么改动？
　　例8在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．
　　在教学时，教师可以考虑引导学生进行如下变式：
　　变式1条件不变，求使△ACM为钝角三角形的概率．
　　变式2条件不变，求使△ACM为直角三角形的概率．
　　变式3把“在斜边AB上任取一点M”改为“过顶点C任作一射线l，与斜边AB交于点M”，求AM小于AC的概率．
　　变式4在等腰直角三角形ABC中，若点M在△ABC内，求使△ACM为钝角三角形的概率．
　　开展数学探究教学，不仅要求教师平时要注意收集经典的、好的探究教学案例，还要求教师注意掌握、引导学生开展探究活动的策略、方法，提高自身数学专业素养，这样，教师才能更加得心应手地在课堂中引导学生有效地开展探究活动．
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