圆锥曲线的所有公式 [常见圆锥曲线系方程及其应用]

　　江苏泰州中学附属初中 225300 　　 　　摘要：本文研究和探讨了共离心率的椭圆系方程和共渐近线的双曲线系方程的两个重要性质在解题中的应用. 　　关键词：共离心率；共渐近线；椭圆系方程；双曲线系方程
　　
　　[⇩]共离心率的椭圆系方程
　　性质1椭圆C是和椭圆+=1（a>b>0）有相同的离心率、焦点也在x轴上、中心也为原点的椭圆⇔椭圆C的方程具有+=λ（a>b>0，λ>0）的形式.
　　证明一方面，设椭圆+=1和椭圆C：+=1（λ>0）的离心率分别为e和e′，则e=，e′==，所以e=e′.故椭圆+=1和椭圆C：+=1（λ>0）有相同的离心率（显然椭圆C：+=1（λ>0）是焦点在x轴上、中心为原点的椭圆）.
　　另一方面，设椭圆C：+=1（a1>b1>0）与椭圆+=1离心率相同，则=，可推出=，则∃λ>0，使a1=a，b1=b.
　　例1求和椭圆+y2=1有相同的离心率，且与直线3x+2y－16=0相切、焦点在x轴上、中心为原点的椭圆方程.
　　解法1设所求椭圆的方程为+y2=λ（λ>0），因为它和直线3x+2y－16=0相切，故可由方程组
　　x2+4y2=4λ，
　　3x+2y－16=0
　　消去x，整理得
　　16y2－16y+64－9λ=0，
　　其根的判别式Δ=（-16）2－4×16×（64－9λ）=0，解得λ=4.
　　故所求椭圆的方程为+y2=4，即+=1.
　　解法2设所求椭圆的方程为+y2=λ（λ>0）.
　　设它和直线3x+2y－16=0相切的切点为（x1，y1），则切线方程也为+y1y=λ，所以==，所以x1=λ，y1=λ，代人所求椭圆的方程中，化简得4λ=λ2，又因为λ>0，所以λ=4.
　　所以所求椭圆的方程为+=1.
　　解法3设所求椭圆的方程为+y2=λ（λ>0），即
　　2+
　　2=1，
　　故可设切点坐标为（2cosφ，sinφ），
　　所以切线方程为+sinφ・y=λ，
　　即cosφ・x+2sinφ・y=2.
　　因为它和直线3x+2y－16=0重合，
　　所以==，
　　所以==，
　　所以=，所以λ=4.
　　所以所求椭圆的方程为+=1.
　　点评我们知道，对于中心为原点的圆x2+y2=r2，过其上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2. 实际上，对于中心为原点的椭圆+=1（a>0，b>0）亦有类似的结论.
　　推论1椭圆C是和椭圆+=1（a>0，b>0）有相同的离心率、焦点在y轴上、中心也为原点的椭圆⇔椭圆C的方程具有+=λ（a>b>0，λ>0）的形式.
　　
　　[⇩]共渐近线的双曲线系方程
　　性质2双曲线C是和双曲线-=1（a，b>0）有共同渐近线的标准（中心为原点，焦点在x轴或y轴上）双曲线⇔双曲线C的方程具有-=λ（a，b>0，λ≠0）的形式.
　　证明（1）必要性. 因为双曲线-=1的渐近线为-=0，即bx±ay=0，而双曲线C：-=1（λ≠0）的渐近线为-=0（λ≠0），即bx±ay=0，故双曲线-=1与双曲线-=λ（λ≠0）有共同的渐近线（显然双曲线C：-=λ（λ≠0）是标准双曲线）.
　　（2）充分性. 设双曲线C：-=1与双曲线-=1有共同的渐近线，得直线bx±ay=0和b1x±a1y=0分别重合，于是存在λ>0，使b1=b，a1=a.
　　设双曲线C：-=1与双曲线-=1有共同的渐近线，同理，存在λ 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文