[-1)的引申和应用>,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一个不等式ln(1+x)≤x(x>-1)的引申和应用] 引申

　　笔者翻阅近几年各地高考试题及各地模拟卷，发现大多试卷压轴题涉及数列不等式，因为这类题目既需要证明不等式的基本思路和方法，又要结合数列本身的结构特点，有着较强的技巧，对学生的要求较高，具有较好的区分度。本文从一个简单不等式探讨这类问题。
　　一、一个结论
　　设x>1，则ln(1+x)≤x，当且仅当x=0时等号成立。
　　（*）
　　证明 构造函数g(x)=ln(1+x)-x，
　　则g′(x)=11+x-1=-x1+x，
　　且当-10时，g′(x)32。
　　证明 由（*），令x=n2-1，得lnn2222-1+232-1+242-1+…+2n2-1
　　=1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1
　　=32-1n-1n+1>32。
　　以上不等式的证明，都是以ln(1+x)≤x(x>-1)为背景，通过对其适当的赋值，合理的变形而得到。因此在学习中，要善于探究知识产生的源头和背景，善于用联系的观点思考问题，举一反三，提高解题能力和学习效率。
　　三、两个应用
　　例1 （2009年稽阳联谊学校高三联考）已知函数f(x)=x2+2aln(1-x)(a∈R)，g(x)=f(x)-x2+x。
　　（1）当a=12时，求函数g(x)的单调区间和极值；
　　（2）当f(x)在［-1，1］上是单调函数，求实数a的取值范围；
　　（3）若数列{an}满足a1=1且(n+1)an+1=nan，Sn为数列{an}的前n项和，求证：n≥2时，Snlnn+2n+1。
　　∴12+13+…+1n+1>ln32+ln43+…+lnn+2n+1=lnn+22，
　　∴a1+a2+…+an　　
　　【参考文献】
　　陈世明。函数f(x)=1+1xx的两个基本性质及应用。中学数学，2009（9）。