在数学教学中指导学生研究性学习

　　摘要:本文结合教学实践,在数学教学中,从问题情境设计研究,一题多解研究,问题变式研究,开放题设计研究四个方面对指导学生研究性学习进行了初步探讨. 　　关键词:指导;研究
　　
　　研究性学习,是指在教师指导下,以类似于科学研究的方法去获取知识和应用知识的学习方式. 它是一种先进的教育指导思想,其注重培养学生以研究的态度去发现事物的内在规律,不断提出新问题、新方法,让学生学会思考、学会学习,使被动地接受式学习转化为主动地探索性学习,从而培养学生的探究能力、创新能力. 本文结合高中数学新教材第二册的教学,对如何指导学生研究性学习进行了初步的探讨.
　　
　　问题情境设计研究
　　研究性学习重在过程、重在参与、重在应用,教师应深入钻研教材,创设问题情境,将数学问题设计成学生身边的实际问题,从而激发学生的学习动机,使学生在主动参与过程中体验到“数学源于生活,用于生活”.
　　例1在“均值不等式”的教学中,可设计两个实际应用问题,让学生在探索中发现“均值不等式及其推论”. 设计如下:
　　(1)某百货公司进行商品降价促销活动,有三个降价方案:甲方案是第一次打a折销售,第二次打b折销售;乙方案是第一次打b折,第二次打a折销售;丙方案是两次都打折销售. 请问:哪一种方案降价最多?
　　(2)一个天平的两臂之长略有差异,其他因素忽略,怎样称物体的重量?有人说只要左右各称一次,再相加除以2就得物体重量,你认为如何?
　　通过审题、分析、讨论后,对问题(1),多数同学能转化为比较ab与2的大小,用特殊值猜出ab≤2,即a2+b2≥2ab;对于问题(2),有同学结合力矩平衡原理,可转化为:设G为物体的真实重量,天平两臂长分别为m,n,两次称的结果为a,b,则mG=na,nG=mb,即G2=ab,所以G=. 这样,问题(2)归纳为比较与的大小,由(1)可得≥. 这样的设计贴近生活,贴近实际,容易使学生产生明显的意识倾向和情感上的共鸣,从而产生浓厚的探索兴趣.
　　
　　一题多解研究
　　波利亚指出:“掌握数学就是善于解题.” 他把教会学生解题看做是教会学生思考,培养独立探索能力的一条主要而又有效的途径. 因此教师解决数学问题时,应适时引导学生从不同的方法、角度、思维方式去观察、联想、分析,根据问题的特定条件探索出一系列解题思路. 这不仅可以调动学生的学习兴趣和探究欲望,而且还可以使学生在探究中学会思考,逐步培养学生的探究能力.
　　例2(人教版新教材第二册上)已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)切线方程.
　　思路1如图1,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,因切线垂直于过切点的半径.
　　
　　图1
　　所以k=-.
　　因为k1=,
　　所以k=-.
　　所以过M的切线方程为y-y0=-(x-x0).
　　整理得x0x+y0y=x+y.
　　又M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,所以x+y=r2.
　　所以所求切线为x0x+y0y=r2. 当M在轴上时上式仍成立.
　　思路2设所求切线的方程为
　　y-y0=k(x-x0)(k为斜率)
　　即kx-y-kx0+y0=0.①
　　因圆与这条直线相切,所以有=r,
　　两边平方整理,得k2x+y-2kx0y0-r2-k2r2=0.②
　　因为(x0,y0)在圆上,
　　所以x+y=r2.
　　将其代入②式有(x0+ky0)2=0,
　　推出k=-.
　　将其代入①式后化简得x0x+y0y=r2.
　　当斜率k不存在时上述等式仍成立.
　　思路3在思路2中联立①与圆的方程,构成方程组,因直线与圆相切即方程组只有一组解,可借助判别式等于零求出k的值,从而求出切线的方程.
　　思路4设P(x,y)是切线上不同于点M(x0,y0)的任一点,
　　那么=(x-x0,y-y0)≠0.
　　因为⊥?摇,
　　所以•=0,
　　即x0(x-x0)+y0(y-y0)=0?圯x0x+y0y=x+y.
　　又因为(x0,y0)在圆上,
　　所以x+y=r2.
　　所以切线方程为x0x+y0y=r2.
　　
　　问题变式研究
　　数学教材中有许多极具教学价值的题目,教师应引导学生认真挖掘题目中丰富的内涵,对原题联想、引申和改造,可以得到综合性强,形式新颖的命题. 这不仅可以完善学生的知识结构和认知结构,而且也有利于提高思维的广阔性与灵活性,培养学生的探究能力.
　　例3(人教版新教材第二册上)抛物线y2=2px上的两个点的纵坐标为y1,y2,且y1y2=-p2,问:过这两个点的直线是否过焦点F?(回答是肯定的,解略.)
　　变式1:y1y2=-p2是直线AB过焦点F的充要条件.
　　变式2:设M(a,0)是抛物线y2=2px对称轴上的一个定点,过M的直线交抛物线于A,B两点,其纵坐标为y1,y2,求证y1y2为定值.
　　证明因为AB与抛物线交于两点,可设直线AB的方程为x=my+a,代入y2=2px中,化简有y2-2pmy-2pa=0,所以有y1y2=-2pa(定值).
　　变式3:设抛物线y2=2px上两动点为A(x1,y1),B(x2,y2),且满足y1y2=k(k为定值),问:AB是否恒过某一定点?
　　解析当x1≠x2时,kAB=,
　　直线AB的方程为y-y1=(x-x1).
　　将x1=代入上式,
　　化简得y=+.
　　因为y1y2=k,
　　所以AB的方程为y=x+,
　　即AB过定点-,0.
　　当x1=x2时,结论仍然成立.
　　变式4:设抛物线y2=2px上两动点A(x1,y1),B(x2,y2)满足y1y2=k(k为常数),求AB中点P的轨迹方程.
　　解析设P(x,y),则x=,y=. 又A,B在抛物线上,所以有
　　x1=,x2=.
　　则x=(y+y)=[(y1+y2)2-2y1y2].
　　所以P的轨迹方程为y2=px+.
　　
　　开放题设计研究
　　传统的教学模式下,学生被动地接受性学习不利于培养学生的创新精神和创新能力,教师应把开放性问题引入课堂. 这有利于激发学生的好奇心和求知欲,为学生的主动学习及其主体性创造条件.
　　例4(人教版高中第二册上)已知a>b>c,求证:++>0.
　　有同学采用如下证明方法:因为+=>0,所以不等式成立,但发现似乎结论中的多余了. 由此教师可引导学生观察分析,类似地还有+=>0. 对此,此题可设计成开放题:
　　(1)已知a>b>c,且++>0, 求λ的取值范围.
　　(2)已知a>b>c,且++≥0,求λ的最小值.
　　(3)已知a>b>c,n∈N,且×+×≥0,求n的可能值.
　　开放题的设计分条件开放、结论开放、策略开放及综合开放. 从以上研究可看出,只要有效地利用教材,在教材中发现研究课题,就能唤起学生的学习兴趣,点燃他们智慧的火花,使他们的探究能力和创新能力得到充分的发展.
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