【空间角探究性问题的向量法求解策略】 用向量法探究点的位置

　　立体几何中空间角的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力，是命题的热点．因此，对于常见的探究方法的总结是必不可少的．　　一、探究两条异面直线所成的角
　　【例1】 如图1，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°，并加以证明.
　　分析：设AP=x(0≤x≤2)，利用PF与BC所成的角是60°来构建以x为元的方程，再解x就确定了点P的位置.
　　图1
　　解：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，∴AF⊥AC，AF⊥平面ABCD.
　　又AB=2,AF=1,AC=2,设AP=x(0≤x≤2)
　　，以A为坐标原点，直线AB、AD、AF分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,0,1),P(2x2,2x2 ,0)，
　　∴BC=(0,2,0),PF=(-22 x,-22 x,1)
　　.要使PF与BC所成角是60°，只需使|BC?PF||BC|?|PF| =cos60°
　　，所以x2?x2+1=12，∴x=1,所以当点P是线段AC的中点时，PF与BC所成的角为60°.
　　二、探究直线与平面所成的角
　　图2
　　【例2】 如图2，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=3,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形，在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成角30°，若存在，确定E的位置；若不存在，请说明理由.
　　分析：在AC上任取一点E,使CE=x(0≤x≤2），利用ED与面BCD所成的角为30°来构建方程，再求x.
　　解：以D为坐标原点，以直线DB、DC分别为x轴、y轴的正方向，以过D
　　与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
　　则D(0,0,0)，E(22x,1,22x),DE=(22x,1，22x),
　　又平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1)，要使ED与面BCD成角30°，
　　只需使DE与n成60°，只需使|DE?n||DE|?|n|=cos60°，即22x
　　x2+1=12,∴x=1，
　　当CE=1时,ED与面BCD成30°角.
　　三、探究二面角
　　【例3】 如图3,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动，当AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为π4 .
　　分析：设AE=x(0≤x≤2)，利用二面角D1-EC-D的平面角的大小为π4 来构建以x为元的方程，再求解x，就确定AE的值了.
　　图3
　　解：∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，AD=A1A=1，AB=2,以D为坐标原点，分别以直线DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
　　AE=x(0≤x≤2)，则D(0,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),E(1,x,0),
　　∴CE=(1,x-2,0),CD1=(0,-2,1).
　　设平面D1EC的一个法向量为n=(a,b,c)，
　　由n?CE=0，n?CD1=0，
　　得a+b(x-2)=0，2b-c=0.
　　令b=1，则c=2，a=2-x，∴n=(2-x,1,2).又平面的一个法向量为DD1=(0,0,1)，要使二面角D1-EC-D的大小为π4 ，只需使
　　|DE?n||DE|?|n| =cosπ4 ,∴21×(x-2)2+5 =22
　　，
　　∴x=2-3,x=2+3（舍去）
　　，所以当AE＝2-3时，二面角D1-EC-D大小为π4 .
　　对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题来解决.对于立体几何的探索性问题最适合用空间向量的方法，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中把“是否存在的问题”转化为“点的坐标”是否有解、“是否有规定范围内”有解的问题，使问题得到简单、有效地解决.
　　(责任编辑 金 铃）