【数学实验课程教学改革研究】 一体化课程教学改革

　　摘要：数学实验在数学教学体系中的作用和地位越来越重要。本文依据数学实验课程的指导思想与能力培养目标，结合学校数学实验课程改革实践，就该课程教学改革中的课程内容设计、课程教学，实验报告撰写、课程学习评价等方面提出了建议。
　　关键词：数学实验；教学改革；素质教育
　　
　　计算机科学的迅速发展对数学科学产生了巨大的冲击，对数学学习和研究的观念及方法产生了深刻的影响。引发这场冲击波的主要事件是1976年，美国伊利诺伊大学的两位数学家K.Appel和w.Haken利用计算机解决了困扰数学界长达近200年之久的著名的“四色猜想”。这一成果震惊了整个数学界，因为两位数学家的论证有很大部分并且是关键的部分是由计算机完成的，这就意味着“数学证明”的概念发生了突变。经过近三十多年的发展，数学科学中的一个新的重要分支――计算机数学得到了人们的广泛关注并有了长足的发展。而计算机数学的发展又引发了现代数学实验的兴起与发展。
　　在我国，十多年前设置数学实验课程的构想一出现，立即在数学教育界引起反响。1995年，在原国家教委组织实施的“高等教育面向2l世纪教学内容和课程体系改革计划”中，“理科非数学类专业高等数学课程体系和内容改革”项目的总体构想报告，就把“数学实验”列为高校非数学类专业的数学基础课之一。2000年，在教育部高教司主持编纂出版的《高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划系列报告》的《高等数学改革研究报告》中，把数学实验列为高校理科类专业的基础课之一，并明确指出了数学实验在数学教学体系中的作用和地位等。实践证明，数学实验在数学教育特别是数学素质教育中的重要地位被越来越多的人所认识，而且，数学实验这一新的数学学习及研究方法也被越来越多的人所接受。
　　
　　一、数学实验与计算机代数系统
　　
　　所谓数学实验，简单地说，就是用计算机代替笔和纸以及人的部分脑力劳动进行科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理等。
　　科学计算包括两类：一类是纯数值的计算，例如求函数值、方程的数值解等；另一类是符号计算，又称代数运算，这是一种智能化的计算，处理的是符号，符号可以代表整数、有理数、实数和复数，也可以代表多项式、函数，还可以代表数学结构如集合、群等。我们在数学的教学和研究中通常用笔和纸进行的数学运算多为符号计算。
　　而用计算机进行符号和代数运算是数学和计算机领域的一个新的发展方向。长期以来，数学家和计算机科学家梦想用计算机代替人脑进行代数符号运算以及数学的各种处理，使数学走向“机械化”的道路，从而也使计算机本身更加智能化。我国著名数学家吴文俊院士首先提出的“吴方法”为数学处理在计算机上的实现奠定了理论基础，并在几何定理机械证明、方程求解、理论物理、机器人学、计算机图形学等数学和高科技领域相继获得了广泛的应用。
　　20世纪80年代以来，用计算机进行代数运算的研究在国内外发展非常迅速，涉及的数学领域不断地扩大，出现了多种符号运算方法、计算程序和系统，并逐渐形成了一个新的数学分支――计算机数学。这是一个以构造性数学为核心，以计算机实现为目标，以实用的算法为研究内容，以实用程序或软件为成果的研究领域。计算机数学的发展逐步产生了一些独立的计算机程序库，称为计算机代数系统。一部分计算机代数系统发展成为完整的专用或通用的数学软件，如美国的Mathematica、Matlab，加拿大的Maple，以及我国具有自主知识产权的数学机械化平台***等。
　　
　　二、数学实验课程的指导思想
　　
　　数学实验是计算机技术和数学软件引入教学后出现的新事物，是数学教学体系、教学内容和教学方法改革的一项尝试。有专家从课程观将数学实验界定为：为获得某种数学理论、探求或验证某个数学猜想、解决某类数学问题，运用一定的物质技术手段，经由数学思维活动的参与，在典型的环境中或特定的条件下进行的一种数学实践活动。数学实验分为传统数学实验和现代数学实验两类。现代数学实验是指以计算机和数学软件为实验手段，以图形演示、数值计算、符号变换等作为实验内容，以数学理论作为实验原理，以实例分析、模拟仿真、归纳发现等作为主要实验形式，旨在探索数学现象、发现数学规律、验证数学结论或辅助做数学、学数学、用数学的学习与研究的实践活动。
　　由于计算机代数系统的方便、快捷及不易出错的特点，学生可从大量繁琐的计算中解放出来，把更多的时间用在数学思想、方法和技巧的理解及应用上，通过数学实验课程中“做数学”的体验，更能够激发学生的兴趣，增强学习的积极性，能给学生提供更多动手的机会，尤其是计算机的人机交互功能，为实现教学的“个别化”创设了理想环境。
　　因此，从推动数学教改和培养创新人才出发，数学实验课程应该强调以学生动手为主，在教师指导下用学到的数学知识和计算机技术，选择合适的数学软件，分析、解决一些实际问题。数学实验课程的能力培养目标可归纳为：
　　1　算法设计能力：分析问题、简化问题的能力以及将问题转化为用逻辑严谨的算法语言表达的能力等。
　　2　程序设计能力：应用计算机代数系统进行程序设计的能力，具备运用适当的数学思想、方法和技巧解决所遇到的实际问题的能力等。
　　3　综合创新能力：初步具备一定的创造能力、书面表达能力，以及与他人分工合作能力等。
　　
　　三、数学实验课程教学改革
　　
　　1　数学实验课程的内容设计
　　作为数学实验课程的内容，既要注意揭示数学概念、定理的形成和发展过程，展示数学问题的解决过程，又要与基本的数学思想、数学方法挂钩，有机地和数学知识教学相互结合、相互促进。
　　一般来讲，数学实验课程内容可分为以下五类：
　　(1)基础实验。熟悉并掌握计算机代数系统(如Maple，Matlab等)的基本操作，熟悉数值计算、符号计算及图形绘制等基本功能。
　　(2)验证性实验。通过数学实验，体验数学中的基本思想和典型方法，加深对数学抽象概念的感性认识，揭示数学知识生成的规律性。
　　(3)探究性实验。任课教师提出实验课题，学生设计实验方案，运用数学理论和方法，通过数学实验寻求解决问题的途径。
　　(4)应用性实验。结合实际问题，特别是数学建模问题，让学生亲身体验用数学解决问题的全过程，培养学生分析问题、解决实际问题的能力。
　　(5)拓展性实验。对数学中定理、命题进行不同角度、不同层次的变式实验，揭示数学知识之间的联系，从中发现新知识。或以数学为中心向边缘学科发散，例如非线性分析中的分形、混沌等研究。
　　
　　2　数学实验课程教学
　　数学实验课程的具体教学过程中，针对不同的实验类型使用不同的教学方式。不拘一格。验证性实验通常采用“告诉一验证一应用”的教学模式，在实验中所有 的学生都做同样的事情，学生被告知如何操作，观察什么，记录什么，如何得出结论，这是一种比较固化的操作模式。而探究性实验则可采用“问题――实验――交流――猜想――验证――证明”的教学模式，一般由教师提出问题，学生提出假说，引导学生朝着预先设计的方向提出实验方案，预测可能的结果，然后学生进行数学实验，验证猜想，让学生在探究过程中理解数学、获得知识。例如，关于“迭代”复杂性问题，可选择Logictic差分方程的迭代引起分岔并最终导致混沌的实验，以及Lorenz系统、Rossler系统的动力学行为的实验，在此基础上初步形成对系统混沌行为的认知。拓展性实验则可由教师或学生提出问题，学生设计并实施实验方案，收集处理和分析数据、得出结论，并将其应用于新的情景加以检验。这种模式强调探索和创造，学生以一种近似数学家发现数学问题的方式进行数学发现学习，不再强调获得正确的结论，而是强调对过程和结论的解释。如利用“兔子繁殖”问题对Fibonacci数列进行探索，通过实验，使学生了解Fibonacei数列及与之密切联系的黄金分割数，继而探索高阶线性差分方程的求解问题和优选法的基本原理，最后对“树的分支”、“杨辉三角形”等问题进行研究，提高了学生使用离散方法建立数学模型的能力。
　　但是值得注意的是，必须恰当地处理实验结论。通过数学实验提出猜想并得到结论，并不代表数学实验结束，还需要验证结论，对结论用演绎推理方法加以证明，因为数学结果只有经过证明才是可信的。
　　
　　3　数学实验报告撰写
　　与其他科学实验一样，数学实验也应撰写实验报告。实验报告是实验进程中的最后一步，是实验结果的书面总结。通过撰写实验报告，可以培养学生对问题的分析能力和对实验结果的处理能力。数学实验报告可包括如下几部分：
　　(1)引言：简单描述实验动机与目标。
　　(2)实验过程：详细记录下操作的流程与条件，如果需要，简述实验所涉及的数学理论和方法。
　　(3)结果：条理分明地写出实验结果，照实陈述实验所得结果。
　　(4)讨论(或论证)：由观察所得到的结果。进一步整合分析，说明由实验结果透露出来的信息。若有与事实或已知不符的要仔细讨论或解释，通常都要引用已发表的论点来讨论，并且引申出可能的解释模型。该部分最重要的是体现学生的专业能力。
　　(5)图形与表格：与实验有关的图表一定要精确制作，正确而易懂的图表有助于研究结果的判读，图表要加相应的文字说明。
　　(6)参考文献：实验报告中若引用他人结果，一定要列入参考文献。
　　
　　4　数学实验课程学习评价
　　由于数学实验课程的特殊性，应该重新全面确立评价标准和内容，使学习评价从单纯检查掌握知识向既检查知识又考查能力的综合性评价过渡，注重对教学过程的全程评价。目前，我校的做法是，学生的学习评价由两部分组成，一部分是笔试成绩(占70％)，另一部分是实验考查与创新设计(占30％)。实践证明，这种改进使以往学生只重视书本知识的机械记忆的局面得以改变，学生普遍认为更重要的是数学应用能力、数学素质以及创造力的培养。
　　以“数学建模、数值计算、数据处理”为核心的数学实验技术进入教学过程和学生课堂是实施以数学素质教育为中心的数学教学改革的重要组成部分。但是，我们必须清醒地认识到，数学实验课程绝不能取代传统的数学教学，它只能作为传统数学教学的一个“补丁”，只有真正把数学实验思想融入数学类主干课程，力争与已有的教学内容有机结合，才能充分体现数学实验思想的引领作用，才能真正实现“做数学”、“用数学”的教学目标。
　　
　　责任编辑　余大品