[用柯西不等式解在ａ＋ｂ＋ｃ＝１条件下的不等式赛题] 柯西不等式a+b+c
华南师范大学数学科学学院2008级硕研 510631 摘要：本文通过使用柯西不等式来解决在a+b+c=1条件下的一类整式、分式、无理不等式以及函数最值的竞赛试题，并对其进行了进一步的探究与推广.
关键词：柯西不等式；推广；试题
各级各类数学竞赛中，经常涉及在a+b+c=1条件下的不等式问题. 经探索，此类问题都可以使用柯西不等式来解决.
[⇩]简证a+b+c=1条件下的一类整式不等式
例1 （前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛试题）设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥.
证明由柯西不等式得3（a2+b2+c2）=（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a＋b＋c）2=1，所以a2+b2+c2≥，且当且仅当a=b=c=时取得等号.
推广1设a，b，c∈R+，且a+2b+3c=6，求证：a2+2b2+3c2≥6.
证明由柯西不等式得6（a2+2b2+3c2）=（a2+2b2+3c2）（1+2+3）=［a2+（b）2+（c）2］・［12+（）2+（）2］≥（a+2b+3c）2=62，所以a2+2b2+3c2≥6，且当且仅当a=b=c=1时取等号.
推广2设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥9abc.
证明由柯西不等式得a2+b2+c2=（a＋b＋c）（a2+b2+c2）=［（）2+（）2+（）2］・（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2≥3・
2=9abc，所以a2+b2+c2≥9abc，且当且仅当a=b=c=时取得等号.
例2（1984列宁格勒数学竞赛试题）设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a3b+b3c+c3a≥abc.
证明因为a3b+b3c+c3a≥abc等价于++≥1. 由柯西不等式得
2＝（a+b+c）2＝1，所以++≥1，即a3b+b3c+c3a≥abc，且当且仅当a=b=c=时取等号.
[⇩]简证a+b+c=1条件下的一类分式不等式
例3（1990日本IMO选拔题）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：++≥36.
证明由柯西不等式得++=
2＝（1+2+3）2＝36，且当且仅当a=，b=，c=时取等号.
[⇩]简证a+b+c=1条件下的一类无理不等式
例4 （2006中国数学奥林匹克国家集训队考试题）设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：++≤.
证明由柯西不等式得
⇔4a2b（b＋c）＋4b2c（a＋c）＋4c2a（a＋b）≤（a＋b）（a＋c）（b＋c）（a＋b＋c）
⇔a3b+ab3+b3c+bc3+c3a+ca3－2（a2b2＋b2c2＋c2a2）≥0
⇔ab（a－b）2＋bc（b－c）2＋ca（c－a）2≥0，这显然成立.
从而得证. 当且仅当a=b=c=时取等号.
例5（1997“希望杯”全国数学邀请赛高二年级一试试题）设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：++≤3.
证明由柯西不等式得（++）2=（・1+・1+・1）2≤［（）2+（）2+（）2］・（12+12+12）=（3a+1+3b+1+3c+1）・3=［3（a+b+c）+3］・3=18，从而++≤3，且当且仅当a=b=c=时取等号.
推广3设a，b，c∈R+，且a+b+c=m，求证：++≤（其中m，n均为正常数）.
证明由柯西不等式得（++）2=（・1+・1+・1）2≤［（）2+（）2+（）2］・（12+12+12）=（na+1+nb+1+nc+1）3=［n（a＋b＋c）+3］・3=3mn+9，从而++≤，且当且仅当a=b=c=时取等号.
[⇩]简解a+b+c=1条件下的一类函数最值
例6（1990山东临沂高一数学竞赛试题）设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，则++的取值范围是（）
A. ［5，+∞） B. （5，+∞） C. ［9，+∞） D. （9，+∞）
解析由柯西不等式得++=
・2＝（1+1+1）2＝9，当且仅当a=b=c=时取等号. 故选C.
推广4设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求++的取值范围.
解析由柯西不等式得
・2＝（1+1+1）2＝9，从而++≥，当且仅当a=b=c=时取等号.
推广5设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求++的取值范围.
解析++=＋＋=+a++b++c=1+++.
由柯西不等式得
所以++≥，当且仅当a=b=c=时取等号.
例7（第11届“希望杯”全国数学邀请赛高二培训题）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，则++的最大值是_______.
解析由柯西不等式得（++）2=（・1+・1+・1）2≤［（）2＋（）2＋（）2］・（12+12+12）=（a+b+c）・3=3，从而++≤，当且仅当a=b=c=时取等号.
推广6设a，b，c∈R+，且a+b+c=m，求证：++≤（其中m为正常数）.
证明由柯西不等式得（＋＋）2=（・1+・1+・1）2≤［（）2＋（）2＋（）2］・（12+12+12）=（a+b+c）・3=3m，从而++≤，当且仅当a=b=c=时取等号.
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