圆锥曲线切线的一个优美性质|圆锥曲线的切线性质

　　江苏南京金陵中学210005 　　 　　摘要：本文研究圆锥曲线过定点的动弦的两个端点处的切线的交点轨迹，给出若干定理并证明其结论是充要的，证明过程充分利用了圆锥曲线的参数方程.
　　关键词：圆锥曲线；切线；轨迹；方程
　　
　　圆锥曲线是高中数学的主干知识，有极其丰富和优美的性质，圆锥曲线的切线相关性质也已成为高考命题的重要来源，笔者经过研究发现了一个圆锥曲线的切线的有趣性质，现介绍如下：
　　 定理1过x轴上一点A（－m，0）（m>0）引一条动直线与抛物线y2＝2px相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是x＝（y>，y，ym>0）引一条动直线与椭圆＋＝1（a>b>0）相交于M，N两点，过点M，N分别作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是
　　证明设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），A
　　 则过M，N两点的切线方程为：
　　化简得msin（α－β）＝a（sinα－sinβ），mcos＝acos，tan・tan＝.
　　又x＝＝＝a
　　，0（m>a）引一条动直线与双曲线－＝1相交于M，N两点，过点M，N分别作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是
　　证明设M（asecα，btanα），N（asecβ，btanβ），A
　　则过A，B两点的切线方程分别为
　　联立方程组
　　因为M，N，A三点共线，=，
　　化简得asin（α－β）＝m（sinα－sinβ）， acos＝mcos，
　　＝－2b＝-.
　　定理4过直线x＝m（y>，ym>0）上一点引椭圆＋＝1的两条切线，切点分别为M，N，则M，N的连线过定点
　　，0.
　　定理6过直线x＝my>
　　，ya）上一点引双曲线-＝1的两条切线，切点分别为M，N，则M，N的连线过定点
　　，0.
　　限于篇幅，请读者自行给出定理4、定理5、定理6的证明.
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