圆锥曲线中的数学美探究 圆锥曲线焦点三角形性质探究

　　浙江宁波第三中学315040 　　 　　摘要：数学新课标明确强调要让学生领会数学的美学价值，因此数学教学过程中适时渗透数学美并进行数学美教学是很有必要的． 圆锥曲线教学是高中数学中比较重要的部分，利用数学美的对称性、简单性、统一性和奇异性能巧妙地解决圆锥曲线的有关问题．
　　关键词：方法类；统一类；奇异类；对称类；简单类
　　
　　数学是有趣的、美丽的． 美在简洁明快的公式、和谐对称的图形、绚丽多姿的符号、奇特深奥的问题． 但如此美丽重要的一门学科，却很少有学生发自内心的喜欢它，更谈不上去领略它的美． 数学新课程改革重视挖掘数学的美学价值，《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出“使学生具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义”的课程目标． 数学教学要和数学的审美结合起来，在数学教学过程中结合教材的特点，努力挖掘教材内容，揭示数学美，提高学生欣赏美的能力，培养学生对数学的情感，从数学中感受到“诗情画意”． 为此，笔者就圆锥曲线中所蕴函的数学美进行初步探究．
　　
　　1. 圆锥曲线的方法美
　　一个美的数学方法是指在解决复杂问题中，体现出来的美妙之处使心灵感到愉快． 解析几何的创始人笛卡儿提出：“我想应当去寻求另外一种包括这两门学科（代数、几何）的优点而没有它们的缺点的方法．” 因而，这种寻求两个对象间恰到好处的协调，正是笛卡儿创立解析几何原理的美学思想基础． 解析几何最大的特点就是将数学中的数和形巧妙地统一起来，在引进坐标系的基础上，把曲线用方程表示出来，再通过方程来研究曲线的性质． 这一最主要的思想方法贯穿解析几何学习的始终，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，也体现了数学的简单美．
　　例1 解不等式 +≤8.
　　解析不等式可化为+≤8，这时化静为动，得一个平面区域+≤8．这是一个a=4，c=3的椭圆内部区域+≤1（代数语言化归为几何语言），再以静制动，令y=2，可得原不等式的解为-≤x≤．
　　显然本题是以代数形式给出，但却有明显的几何意义，将代数语言转化为几何语言可使问题变得直观，易于解决，达到事半功倍的效果．
　　
　　2. 圆锥曲线的统一美
　　在解析几何中，不同的圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）可以用一个统一的定义，即平面上到定点和到定直线的距离的比为常数e的动点的轨迹．如此的和谐统一，让人不得不赞叹数学的美妙！方程Ax2+By2=1，当A＞0，B＞0，A≠B时代表椭圆；当AB＜0时代表双曲线. 在椭圆或双曲线的焦点位置不确定时，统一的方程式使得解答过程简洁明快，避免分类讨论．
　　例2 讨论方程（2-k)x2+ky2=1表示的曲线．
　　解析化归为标准方程 x2+y2=1，通过讨论，得到如下结论：
　　①当k＜0时，表示焦点在x轴上的双曲线；
　　②当k=0时，表示平行于y轴的两条直线；
　　③当0＜k＜1时，表示焦点在y轴上的椭圆；
　　④当k=1时，表示圆；
　　⑤当1＜k＜2时，表示焦点在x轴上的椭圆；
　　⑥当k=2时，表示平行于x轴的两条直线；
　　⑦当k＞2时，表示焦点在y轴上的双曲线．
　　在此基础上，再通过多媒体，对k变化时此方程所表示的不同曲线加直观展示，让学生直观地感受数形转化美的和谐统一． 这类动态问题很有趣味性，对学生具有较强的吸引力，一旦通过认真思索、全面分析而解决问题后，白纸上呈现的是一串处于连续变化状态的美丽图形，脑际中留下的是更为清晰的概念和内在的有机联系．
　　
　　3. 圆锥曲线的奇异美
　　数学中的奇异美是对原有的习惯规则和统一格局的突破． 学生有着强烈的好奇心和求知欲，展现数学的奇异美，可以拓展学生的思维，收到奇特的效果． 圆锥曲线的解题思路有很强的程序性，但是盲目操作会带来繁琐的讨论或繁杂的计算，所以要动态地处理问题． 例如“点差法”通过巧代斜率，解法简洁奇特，使人豁然开朗． 解析几何中的“设而不求”往往能使解题的过程焕然一新．
　　例3 设P是双曲线xy=1上任意一点，P′是P关于原点的对称点． 证明以P为圆心，|PP′|为半径的圆与双曲线的另外三个交点A，B，C正好是另一个正三角形的三个顶点．
　　解析此题初读似乎给定的已知条件与要证的结论难以挂钩，令人望而却步． 若用常规解题思路，证明△ABC是正三角形，我们若去解出A，B，C的坐标，再来验证三边相等，这是一个让人望而生畏的复杂运算． 但是，我们仔细阅读，不难发现，条件中的圆心P，即是△ABC的外心，让人产生大胆的猜想，如果能证明P也为△ABC的重心，那问题就迎刃而解了．
　　 设P（x0，y0），则P′（-x0，-y0），圆P的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=4（x+y），
　　又因为x0y0=1，从圆方程与双曲线方程中联立消去y，得到
　　x4-2x0x3-3（x+y）x2-2y0x+1=0，
　　即（x+x0）・（x3-3x0x2-3yx+y0）=0.
　　所以xA，xB，xC是方程x3-3x0x2-3yx+y0=0的根．
　　所以xA+xB+xC=3x0，
　　同理可得yA+yB+yC=3y0.
　　因此，P是三角形ABC的重心，由已知P是三角形ABC的外心，外心与重心合一的三角形是正三角形．
　　此题设点而不求，巧用韦达定理，借助三角形的重心寻觅到这样的奇异解，充分展示了奇异美的魅力．
　　
　　4. 圆锥曲线的对称美
　　圆锥曲线的图形具有简明性、对称性、概括性和趣味性． 三种曲线都可以用实物操作得到，也可以演示相关的课件，形象、直观，妙趣横生． 曲线椭圆和双曲线都关于坐标轴及原点对称，具有对称美，抛物线则只关于一条坐标轴对称，奇异美更显突兀． 数学美之所以奇妙，是因为若能深刻地理解数学的对称美，体会到掩盖在对称后面的本质属性，还能够使学生在解答数学问题中，产生全新的解题思路．
　　例4 已知双曲线C的实轴在直线y=2上，由点A（-4，4）发出的三束光线射到x轴上的点P，Q及坐标原点O，被x轴反射恰好通过双曲线的左焦点F1、右焦点F2及双曲线的中心M． 若|PQ|=4，又过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为，试求双曲线C的方程和入射光线AP，AQ所在直线的方程．
　　解析如图1，易求点A关于x轴的对称点为A′（-4，-4），则有 M（2，2）．
　　[A][F1][F2][M][y][x][Q][O][P][A′]
　　图1
　　设双曲线方程为-=1．
　　在△A′F1F2中，由PQ∥F1F2得
　　==，
　　则2c=×4，所以c=3.
　　F1（-1，2），F2（5，2），
　　从而P（-2，0），Q（2，0）．
　　由两点式先得到入射光线AP，AQ所在直线的方程分别是2x+y+4=0与2x+3y-4=0．
　　由于点2+
　　，
　　也在直线A′F2：2x-3y-4=0上，则代入可解得a2=4，b2=5，故双曲线C的方程为-=1．
　　
　　5. 圆锥曲线的简单美
　　数学中最简单的表示和最简单的解法，才是最优美的． 数学的基本概念、理论、公式所呈现的简单性就是一种实实在在的美． 例如抛物线y=ax2（a≠0），形式简单，但却可以描述自由落体的规律（S=gt2），可以用于计算圆的面积（S=πr2），也可以表示爱因斯坦的质能方程（E=mc2）等等． 它的图象既可以表示为炮弹的运动路线，又可以刻画浩瀚宇宙中天体的运行轨道等等． 诸多事物的数形变化规律竟统一于如此简单的数学式子中，真是奇妙无比．
　　解析几何问题在解答时，要充分挖掘其几何性质，包括图形的平面几何性质，曲线的几何定义，光学性质等等，其真正的目的就是为了追求简单美．
　　例5 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，垂足为P（x0，y0），证明:+＜1.
　　解析此题最醒目的条件是两直线互相垂直，给我们一点启示，P在以F1F2为直径的圆上．
　　即x+y=1，
　　因此+＜+=＜1，使问题解决非常的简洁．
　　第六届国际数学教育会议提出：“数学教育还必须将数学中所固有的美展示给学生，使学生不仅获得知识，而且还受到美的熏陶．” 教学中通过对数学美的分析、挖掘，让学生在感受数学美、鉴赏数学美、应用数学美、创造数学美的过程中激发他们对学习的兴趣和热情，去享受数学所带来的快乐．
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文