法治思维的特点是 [以适宜的“问”引领数学思维]

　　中南大学附属实验中学 410083 　　 　　摘要：数学是以问题为中心的科学，只有积极的数学思维才能把我们引入华丽的数学殿堂. 数学实践证明，课堂上应在适当的时候提出适当的问题，即以适宜的问题引领学生的数学认知活动，促使学生不断思考、不断探究、不断创新，从而有效地发展数学认知能力和数学创新能力.
　　关键词：数学思维；数学方法
　　
　　1. 问在学生思维的最近发展区，激励学生积极探究、不断创新
　　数学学习主要依靠学生对数学知识的自主构建. 在教学工作中，我们要不断地创造时机，引领学生对一些典型问题进行深入分析，在深入分析中发现数学知识更丰富、更深刻的意义.
　　例1 （一个课本习题的教学设计）已知向量++=0，
　　+
　　+
　　=1.
　　求证：△P1P2P3是正三角形.
　　第一环节：积极思考，开展解法探究.
　　第二环节：挖掘意义，实施拓展探究.
　　问题1平面上满足条件++=0的点O是△P1P2P3的什么特征点？
　　结论1 点G为△ABC的重心的充要条件是++= 0.
　　问题2设O是△ABC的外心，H是△ABC的垂心，问++=？++=？
　　结论2设O是△ABC的外心，H是△ABC的垂心，则++=；++=2.
　　问题3设G是△ABC的重心，O是△ABC的外心，H是△ABC的垂心，则G、O、H三点共线吗？
　　结论3△ABC的重心、垂心、外心在一条直线上（这条直线称为欧拉直线）.
　　第三环节：小试牛刀，开展应用练习.
　　点评只有与学生已具有的认知结构有丰富联系的问题情境才能激发学生进行联想与类比、归纳与推理等认识活动. 在新课程的学习中要引导学生改变学习方式，鼓励学生进行探究发现，让学生在体验数学知识的自我发现与创造的过程中，不断地发展数学思维和创新意识.
　　
　　2. 问在运用数学思想方法产生解题策略的“关节点”上，促使学生不断地提高解题能力
　　在综合运用所学知识解题的过程中，知识是基础，数学思想方法是灵魂. 一个好问题的简解、巧解都是一定的思想方法结出的硕果. 老师要引导学生自然地、和谐地运用数学思想方法进行解题活动.
　　例2（课堂解题教学实录）过圆外一点P（a，b）引圆x2+y2=R2的两条切线，切点为A，B，求直线AB的方程.
　　自然求解：设切点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA的方程为x1x+y1y=R2，切线PB的方程为x2x+y2y=R2. 将点P（a，b）的坐标代入，得
　　ax1+by1=R2 ①
　　ax2+by2=R2②
　　将①与x+y=R2联立，解出x1，y1，或者将②与x+y=R2联立，解出x2，y2，然后建立直线AB的方程.
　　上面的解题过程运算量大，大多数学生不愿算下去，很多学生渴望新的解题思路！老师提示：“‘数形结合万般好’，你们能抓住切线性质活用平面几何知识吗？”
　　学生很快会发现O，A，P，B四点共圆且此圆的方程为
　　x－2+
　　y－2=或写成x（x－a）+y（y－b）=0.
　　而直线AB是圆x2+y2=R2与圆x2+y2－ax－ay=0的相交弦所在的直线，所以直线AB的方程为（x2+y2－R2）－（x2+y2－ax－ay）=0，即ax+ay=R2 . ③
　　我们借助图形中的几何性质轻松获解！同学们为这一解法欢欣鼓舞，但是不愿轻易放弃的同学实在难舍自然求解中的合理成分，怎么办？
　　老师：你们注意到自然思路中①②两式的几何意义了吗？
　　学生会发现①②③惊人的相似：①②式说明点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线ax+ay=R2上，根据“两点确定一条直线”可得直线AB的方程为ax+ay=R2.
　　点评这种解法妙在“设而不求”，利用方程的特征和本真意义直达求解的目的. 此解法十分简捷、非常优美！
　　
　　3. 问在数学问题变式的“发散点”，促使学生形成一定的发散思维能力
　　在课堂上，“变式”教学相当盛行，教师们常常变题发问，以一个问题引申出一串的变式题，使得典型题的价值得以充分体现；变公式发问，使得公式的意义丰富多彩；明“知”故问，从概念、方法的基本意义出发，多角度、多方位地对知识进行表征，使得学生对概念、方法的认知既准确又富有灵性. 实践中，通过变式创建的问题情境往往能激活学生思维的“兴奋中枢”，这有利于培养学生的创造性思维.
　　例3（“完全平方式”的教学设计）完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2结构简洁，是我们配平方数（式）的重要方法. 为了强化公式的结构特征并有效地激活学生的思维，下面引导学生研讨三个问题.
　　问题1下列各式能配成平方式吗？
　　（1）a2－2ab+b2；（2）x2++2；（3）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
　　问题2试将下列各式写成几个平方数（式）之和的形式.
　　（1）x2+xy+y2；（2）a2+b2+c2+ab+bc+ac；（3）x2－x+（x>0）.
　　问题3怎样的整数满足不等式a2+b2+c2+3　　点评问题1旨在启发学生思考“配平方”的几种典型形态；问题2、3旨在引导学生关注“配平方”的灵活性. 这样的教学使学生在探究活动中感受快乐，在成功解题中培养能力.
　　
　　4. 问在教学知识的“交汇处”，促使学生形成良好的认知结构
　　数学教育科学的研究表明：数学不应被等同于事实性结论的汇集，而应该被看成是一个由“问题”“方法”“语言”“命题”等多种成分组成的一个复合体. 在数学课程中，知识往往是分章分节呈现的，具有相对的独立性，而在课程实施中，教师要扮演好“引导者”“组织者”的角色就要努力促使学生形成和谐的数学认知结构. 在概念、公式、定理、方法、问题等数学知识的学习过程中，一方面要保证学生对各知识点的准确、深入的理解，另一方面要引导学生构建稳定、可靠、科学、便捷的知识模块.
　　例4（1）设函数f（x）=（x+1）・ln（x+1），若对所有的x≥0都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围；
　　（2）已知c>0，设P：函数y=cx在R上单调递减；Q：不等式x+x－2c>1的解集为R，如果P和Q有且只有一个正确，求c的取值范围.
　　（3）设0 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文