【巧用单调性处理一类无理函数的值域】函数的单调性与值域的教案

　　在中学数学教学中函数的值域问题一直以来都是一个重要的问题．对型如y=mg(x)+� 　　nf(x)其中λf(x)+g(x)=2c（c为常数）λ＞0的无理函数的值域问题还没有一个统一的处理．本文从利用单调性角度谈谈这类无理函数的值域的处理，期望得到一个统一的方法．�
　　结论1：若m∈R�+,n∈R�+，f(x)=�
　　mx+c+nc－x�
　　在区间［－c,m�2－n�2m�2+n�2c］上单调递增．�
　　在区间［m�2－n�2m�2+n�2c,c］上单调递减．�
　　证明： 由f′(x)=m2x+c－n2c－x若f′(x)≥0则m2x+c≥n2c－x�
　　即m�2x+c≥n�2c－x� m�2(c－x)≥n�2(x+c)解出x≤m�2－n�2m�2+n�2c�
　　结合函数定义域［－c,c］得单调递增区间�
　　［－c,m�2－n�2m�2+n�2c］，�
　　单调递减区间［m�2－n�2m�2+n�2c,c］．�
　　同理可以证明�
　　结论2：若 m∈R�－,n∈R�－，f(x)=�
　　mx+c+nc－x的单调递增区间为�
　　［m�2－n�2m�2+n�2c,c］，单调递减区间为［－c,m�2－n�2m�2+n�2c］�
　　结论3： 若m∈R�+,n∈R�－时，y=mx+c在［－c,�+∞�）上是增函数�
　　而y=nc－x在（－∞,c］上也是增函数所以f(x)=mx+c+nc－x在定义域［－c,c］上是增函数．�
　　若m∈R�－,n∈R�+时，y=mx+c在［－c,�+∞�）上是减函数�
　　而y=nc－x在（－∞,c］上也是减函数所以f(x)=mx+c+nc－x 在定义域［－c,c］上是减函数．（证明略）�
　　下面以具体的例子说明这类无理函数值域的处理．�
　　例1求函数y=3x+1+22－x的值域．�
　　解：先作变换，由(x+1)+(2－x)=3可令x+1=t+32则函数化为�
　　y=3t+32+232－t（－32≤t≤32），�
　　由结论1知当－32≤t≤3�2－2�23�2+2�2×32，�
　　即－32≤t≤1526时y=3t+32+�
　　232－t是增函数，�
　　此时f(－32)=23，f(1526)=39，�
　　所以23≤y≤39，�
　　由结论2知当3�2－2�23�2+2�2×32≤t≤32，�
　　即1526≤t≤32时y=3t+32+232－t是减函数�
　　此时f(32)=33， 所以33≤y≤39�
　　所以y=3x+1+22－x的值域为�
　　［23,39］�
　　例2 求函数y=3x�2－1+4－3x�2的值域．�
　　分析：将函数转化为f(x)=mx+c+nc－x形式y=3x�2－1+343－x�2�
　　由(x�2－1)+(43－x�2)=13换元，�
　　令 x�2－1=t+16则函数化为�
　　y=3t+16+316－t（－16≤t≤16）�
　　解：由结论1知，当－16≤t≤3�2－3�23�2+3�2×16即－16≤t≤112时�
　　函数y=3t+16+316－t为是增函数，�
　　f(－16)=1，f(112)=2， 所以1≤y≤2�
　　由结论2知当3�2－3�23�2+3�2×16≤t≤16,�
　　即112≤t≤16时�
　　函数y=3t+16+316－t为是减函数�
　　f(16)=3，f(112)=2，�
　　 所以3≤y≤2．�
　　综上：y=3x�2－1+4－3x�2的值域为［1,2］．�
　　说明：在转化时也可以化为y=33x�2－3+4－3x�2类似处理．�
　　例3 求函数y=32x�2+8x�2+1+�
　　212－x�2－4x�2的值域．�
　　分析：注意到前后两个根式都有x�2+4x�2故可以作代换，变为前面结论的形式．�
　　解：将函数变为y=32x�2+4x�2+12+�
　　212－x�2－4x�2�
　　（也可以变为y=32x�2+8x�2+1+�
　　224－2x�2－8x�2）�
　　由(x�2+4x�2+12)+(12－x�2－4x�2)=252换元令x�2+4x�2+12=t+254函数化为�
　　y=32t+254+2254－t由x�2+4x�2≥4结合定义域有4≤x�2+4x�2≤12．�
　　所以－74≤t≤254．�
　　由结论1知，当－74≤t≤(32)�2－2�2(32)�2+2�2×254，即－74≤t≤17544，�
　　函数y=32t+254+2254－t是增函数．�
　　f(－74)=9+42，f(17544)=511．�
　　 所以9+42≤y≤511．�
　　由结论2知当17544≤t≤254时函数y=�
　　32t+254+2254－t是减函数，�
　　f(17544)=511，f(254)=15．�
　　 所以15≤y≤511，�
　　所以9+42≤y≤511．�
　　综上：y=32x�2+8x�2+1+�
　　212－x�2－4x�2的值域为［9+42,511］．�
　　例4 求函数y=－3x+1+22－x的值域．�
　　解：函数的定义域为［－1,2］函数y=�
　　－3x+1在［－1,2］上单调递减�
　　y=22－x在［－1,2］上也是单调递减．由与结论3类似知�
　　所以y=－3x+1+22－x在［－1,2］上是减函数．�
　　所以y���min��=f(2)=－32+1+�
　　22－2=－33�
　　y���max��=f(－1)=－3－1+1+22+1=23，�
　　即值域为［－33,23］．�
　　例5 求函数y=3x�2－1－4－3x�2的值域．�
　　解：先换元令t=x�2由原函数知1≤x�2≤43，�
　　所以1≤t≤43．�
　　得函数y=3t－1－4－3t（1≤t≤43）�
　　由y=3t－1在1≤t≤43上是单调递增的，�
　　y=－4－3t在1≤t≤43上也是单调递增的，�
　　所以y=3t－1－4－3t在1≤t≤43是增函数．�
　　所以y���min��=f(1)=31－1－4－3=�－1�．�
　　y���max��=f(43)=343－1－4－343=3，�
　　即值域为［－1,3］．�
　　例6 求函数y=－32x�2+8x�2+1+�
　　212－x�2－4x�2的值域．�
　　解：换元令t=x�2+4x�2≥4结合原函数有�
　　－12≤x�2+4x�2≤12，�
　　所以4≤t≤12．�
　　得函数y=－32t+1+212－t（4≤t≤12）�
　　由y=－32t+1在4≤t≤12上是单调递减的，�
　　y=212－t在4≤t≤12上也是单调递减的，�
　　y=－32t+1+212－t在4≤t≤12是减函数．�
　　所以y���min��=f(12)=－32×12+1+�
　　212－12=－15．�
　　y���max��=f(4)=－32×4+1+212－4=42－9，�
　　即值域为［－15,42－9］．�
　　最后要指出的是在求函数y=mg(x)+�
　　nf(x)其中λf(x)+g(x)=2c（c为常数）λ＞0的值域问题时，我们一定要把函数y=mg(x)+nf(x)化为前面的三个结论形式，利用前面结论类似处理．
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