数学史选讲与解题教学的整合:数学史选讲

　　浙江三门中学 317100 　　 　　摘要：数学史教学中不仅仅是用数学家的故事和数学发展过程中的趣闻逸事、史料将学生吸引到课堂上，更重要的是从人类认识数学的角度展示数学思维的连续性、完整性、思想性和本质性以及数学知识、思想、方法和思维对于人类的作用．
　　关键词：数学史；解题教学；整合
　　
　　数学史是数学的一个分支，数学史教育则是数学教育的一个部分，同时数学发展的历史也是一部内容丰富、思想深刻的历史． 因此将数学史渗透到问题和解题之中，将有助于学生理解数学、感受数学文化．
　　
　　1. 创设史料问题，促学生理解数学
　　数学是一门科学，也是一种文化，更是一种语言，是描述科学的语言． 苏联著名数学教育家斯托利亚尔说：“数学教学也就是数学语言的教学．” 因此对于数学史中一些史料让学生结合老师创设的问题进行自己阅读，这样能使学生通过与文本语言的交流，规范自己的数学用语，增强对数学语言的理解力，提高数学语言的表达能力，有效地促进数学语言水平的发展，提高自己合乎逻辑、准确地阐述自己的数学思想和观点的能力． 例如在选学第三讲“中国古代数学瑰宝中的中国古代数学家”这一内容时，可以创设这样的史料问题：
　　例1 古今中外，许多人致力于π的研究与计算． 为了计算出π的越来越精确的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血． 古人计算π，一般是用“割圆法”． 欧几里得用正96边形得到π小数点后第3位的精确度；刘徽用正3072边形得到3.14100，B>0，故A=，B=，又由斐波那契数列的性质知
　　Fn+2=Fn+1+Fn（n∈N*）故=1+，=1+
　　因为==C，=所以C=1+，又C>0，故C=，因此A=B=C.
　　解完此题后引导学生思考这个与黄金分割数关系，再联系华罗庚的优选法，及实际生活“符合黄金分割律的形体总是最美的形体”“人类生存的最佳气温约23℃，它正好是人体的正常的体温37℃与黄金分割数0.618的乘积，而且在这一温度中，人体的生理功能、生活节奏等新陈代谢水平均处于最佳状态”． 这样联系现实生活学习数学史，使学习变得不再枯燥，同时也激发学生学习数学史的兴趣，并能体会到数学史的价值．
　　
　　2. 挖掘史料内容,激发学生探究
　　数学史也是一部数学探究的历史，记录了前人研究数学的思想、方法探究的过程，在教学中我们可以挖掘史料中的内容，让学生沿着前人的足迹再探究，让学生尝试数学研究，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神． 如在学习选学第二讲古希腊数学中的“毕达哥拉斯学派”这一内容时，可挖掘这样的史料问题：
　　例3毕达哥拉斯学派通常把数描绘成沙滩上的小石子，按小石子排列而成的形状把数进行分类． 例如：1，3，6，10，…称为三角形数,把1，4，9，16，…称为正方形数． 当代表数的小石子排成几何图形后，整数的一些性质就会显现出来． 毕达哥拉斯学派正是通过观察这些几何图形发现了其间蕴涵的关系．假如你也是该学派的成员，试着解决以下问题：
　　（1）如果用类似的方法定义七边形数，那么七边形数的前4个数依次是多少？其通项是什么？
　　（2）图1-1反映了两个正方形数之间怎样的关系？如果把它推广到第n个正方形数an与第n+1个正方形数an+1之间，那么这个关系式是什么？
　　（3）图1-2表示正方形数与三角形数这两类之间有怎样的联系？用含n的式子表示．
　　
　　图1-1 图1-2
　　（4）如果我们把形数的定义方式推广到三维空间去构造多面体数，那么“正方体数”的前3个数依次是什么？通项又是什么呢？
　　如果你对“形数”产生了兴趣，不妨参照（2）（3）继续研究多面体数，也许会有意想不到的收获．
　　在教学中通过类似此题的探究能够促进学生加深对主要数学知识的理解，更能体会到数学发明创造过程的思考，培养学生的数学思维能力，它还能够让学生了解到数学发展的历史，把握数学发展的整体概貌，感受所学知识在数学发展过程中的地位、作用，从而从整体上加以认识和把握，组织结构良好的知识网络．
　　
　　3. 提炼数学思想,引导学生解题
　　数学思想是数学知识的精髓，是数学知识迁移的基础和源泉，是沟通数学各部分、各分支间联系的桥梁和纽带，同时又在知识转化为能力的过程中起重要的中介作用，是构建数学理论的基石. 数学史中蕴含着丰富的数学思想，在教学中可以把它渗透到例、习题中再现出来，如在学习选学第二讲“古希腊数学中的数学之神――阿基米德”这一内容时，可以根据史料提炼数学思想方法，引导学生解答如下问题：
　　例4已知抛物线C：y2=2px（p>0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
　　（1）求抛物线C的方程.
　　（2）如图2，设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）且｜y1－y2｜=a（a>0），M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于D，得到△ABD；再分别过弦AD，BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E，F，得到△ADE和△BDF．
　　[M][x][A][B][F][O][D][E][y]
　　图2
　　解决下列问题：
　　①求证：a2=
　　②计算△ABD的面积S△ABD
　　③根据△ABD的面积S△ABD的计算结果，写出△ADE，△BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法,并求出此封闭图形的面积．
　　解析易得抛物线C的方程y2=4x． 由抛物线与直线AB的方程可计算出：
　　S△ABD=MD・y1－y2=
　　・a=． 由此可知， △ABD的面积值仅与y1－y2=a（a>0）有关． 所以yA－yD=，yB－yD=，所以△ABD与△BDF的面积为S△ADE=S△BDF==.
　　因此可以设计算法：按题设中方法依次不断地取弦的中点作平行线构造三角形，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积看成无穷多个三角形的面积的和，即数列2n-1・
　　的无穷项和，则封闭图形的面积为
　　S=+2・+22・+23・+…+2n・+…=.
　　该问题融合了解析几何与数列极限两大版块知识，分步分层复原了古希腊阿基米德求抛物线弓形的算法，把弓形面积的算法隐含在整个探究过程中. 该解法涉及的核心数学思想是数列极限思想与化归思想，用无数个规则几何图形的面积之和来逼近非规则几何图形的面积， 同时也蕴含了微积分的基本思想．
　　另外，学生解完此题后可引导他们思考和回顾一下数学史的相关内容，如让他们谈一谈阿基米德．
　　（1）阿基米德（数学史上三大巨匠之一）的数学贡献．
　　①求圆周率的穷竭法；
　　②确定各种几何图形的面积与体积（包括抛物线弓形的面积）；
　　③阿基米德螺线；
　　④三次方程的几何解法；
　　（2）作为物理学家的阿基米德，让学生整理叙述阿基米德在物理学的几项重要成就及相关故事.
　　①杠杆原理“给我一个支点，我将撬动地球”――豪言壮语，科学判断．
　　②浮力定律“洗澡时冥思苦想，跳出浴缸奔走相告”――忘情投入，科学乐趣．
　　③凹镜聚光制造“烧船镜”，抗击侵略． ――学以致用，报效祖国．
　　（3）阿基米德之死.
　　罗马士兵攻破城池，阿基米德还在潜心计算，当士兵把刀架在他脖子上时，他还说：“等一等，让我把这道题证完．” ――视死如归，献身科学．
　　当然数学学习离不开习题的解答，但是，让学生完成习题解答不是教学追求的最终目标. 它追求的是让学生通过解答去掌握数学原理、方法，提高学生思考问题的能力，改变单纯的习题演算，注重把蕴含在习题背后的鲜活的原理方法通过数学活动让学生领悟． 同时数学所赋予人的力量并不完全在于知识的应用，而是数学独特的思维方式和不断改进的思想方法，以及数学家坚忍不拔的意志． 因此作为数学教育的任务，不仅是知识传授，能力的培养，还是文化的熏陶、素质的培养． 为此教学应从数学史料中寻找教学素材，从历史发展中获得教学启示，使数学史因而不再是“无用的学问”，而是能够为数学教学提供丰富养料的“宝藏”．
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