客观试题 [活用变形公式　巧解客观试题]

　　江苏南通第三中学226001 　　 　　摘要：本文详细阐述了“源于教材而高于教材”的思想，并通过一个示范解析了应对高考数学的策略． 突出要求我们尝试尽可能多地去把握高中数学里的典型问题的典型结论，并尝试在典型结论的基础之上研究新问题．
　　关键词：典型结论；面积射影定理；正弦余弦定理
　　
　　在解数学高考题时，一般都要使用教材中的定义、公式和定理等． 对于高考中的客观题，除了使用上述手段外，我们还可将课本中某些典型例题或习题的结论，作为解答客观题的有效工具，并称其为变形公式． 此外，我们将课本上某些概念、性质延伸后所得到的结论也称之为变形公式．
　　现在许多高考题是源于课本，而又高于课本的． 其一般有如下两种体现方式：一是原型题，即将课本中的例、习题仅作数据上的变化后作为试题；二是改编题，即以课本中的例、习题为背景，通过科学演绎得出的真命题． 从总体趋势来看，这种源于课本的高考题，原型题越来越少，而改编题越来越多，这是由于改编题立意新颖，真正体现了源于课本，而又高于课本的特点． 改编题既然是源自课本，自然可用同样源自课本的变形公式来求解．
　　1. sin2α-sin2β=sin（α+β）sin（α-β）
　　这个变形公式是课本中的一个例题．从左到右，是将正弦的平方差直接化积；从右到左，是将正弦的乘积化为平方差．
　　例1 sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）
　　A. B.
　　C. D.
　　解析sin20°cos70°+sin10°sin50°=
　　sin220°+sin（30°-20°）sin（30°+20°）=
　　sin220°+sin230°-sin220°=sin230°=．
　　选A．
　　例2 设cos2α-cos2β=m，则sin（α+β）・sin（α-β）的值是（）
　　A. m B. -m C.D. -
　　解析由cos2α-cos2β=m可得
　　（1-sin2α）-（1-sin2β）=m，
　　所以sin2α-sin2β=-m．
　　由变形公式得sin（α+β）sin（α-β）=-m．
　　点评该变形公式结构上类似平方差公式，但形式上不完全相同，有一种对称之美．运用它能巧妙地解决一类三角求值的问题，给人以举重若轻的感觉．
　　2. 在三角形△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA．
　　我们不妨称这个变形公式为正弦余弦定理． 它是由正弦定理===2R及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA消去a，b，c后而得到的．
　　例3 cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值等于（）
　　A.B.C. - D. -
　　解析cos210°+cos250°-sin40°sin80°=sin280°+sin240°-2sin80°sin40°cos60°=sin260°=
　　选B．
　　点评由于该变形公式是将余弦定理中的边化角而得到的，即它是以三角形为背景的，因而使用时要注意公式中的三个角之和必须为180°（或π)．
　　3. S′=Scosα（面积射影定理）
　　该变形公式我们可称其为面积射影定理，其中S表示某个平面图形的面积，S′表示它在另一个平面内射影的面积，α是表示这两个面所成的二面角．
　　例4 侧面为等边三角形的正三棱锥，其侧面与底面所成二面角的余弦值是（）
　　A.B.
　　 C.D.
　　解析由题意易知，该正三棱锥为正四面体，此时求二面角α的余弦，不必作出其平面角，只需利用变形公式S′=Scosα即可．
　　例5 已知正三棱台上下底面的边长分别为3 cm和6 cm，斜高是 cm，那么侧面与底面所成的二面角等于（）
　　A.B.C.D.
　　解析因为 S侧=3××=
　　，S下-S上=（62-32）=．
　　所以由变形公式S′=Scosα得cosα=，即α=，选C．
　　点评该变形公式不仅适用于棱锥、棱台，也适用于圆锥、圆台（在圆锥、圆台中α是母线与底面所成的线面角）． 我们可运用该公式直接解答客观题，但在简答题中应先证明后应用．
　　4. cosθ=cosθ1cosθ2（空间图形中的余弦公式）
　　如图1所示，AO与平面α所成的角是θ1，OC在平面α内，OC与AO在平面α内的射影OB所成的角是θ2，设∠AOC=θ，则cosθ=cosθ1cosθ2，我们称这个结论为空间图形中的余弦公式，它是课本中的一道练习题．
　　[A][B][C][D][O][α]
　　图1
　　例6 如图2所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，使△ABD和△ACD折成相互垂直的两个平面，则∠BAC的度数为多少．
　　解析设△ACD所在的平面为平面α，则AC⊂平面α，AB是平面α的一条斜线，因为平面ABD⊥平面ACD，且BD⊥AD，BD⊥平面α，设∠BAD=θ1，∠CAD=θ2，∠BAC=θ，则θ1=θ2=45°，所以cosθ1=cosθ2=，所以cosθ=cosθ1cosθ2=・=．
　　即∠BAC=θ=60°．
　　例7 如图3所示正三棱锥S-ABC的侧棱SA与底边AB所成的角为45°，则SA与底面所成的角的正切等于（）
　　A.B. 2 C.D.
　　[O][B][C][A][S]
　　图3
　　解析作SO⊥底面ABC于O，
　　由题意O是正△ABC的中心，
　　则AO是侧棱SA在底面上的射影，
　　∠SAO=θ1，∠OAB=θ2=30°，
　　∠SAB=θ=45°且θ1即为SA与底面所成的角．
　　由cosθ=cosθ1cosθ2，
　　即cos45°=cosθ1cos30°，
　　得cosθ1=，
　　所以tanθ1=，选C．
　　点评该变形公式在应用时特别要注意三个角分别是什么角，其中θ为斜线与平面内某直线的夹角，而θ1则是斜线与平面所成角． 故在运用时一定要有线面垂直的条件．
　　实际上，类似这样的“变形公式”还远不止这些，有的老师把它们总结成“小窍门”“小锦囊”等等． 对于基础较好的学生掌握这些“窍门”“锦囊”对灵活解题是大有裨益的．
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